Diagramas de caja
Emma está eligiendo entre dos celulares. Los dos anuncios dicen "unas 20 horas de batería". En las pruebas de los reseñistas, el celular A casi siempre dura entre 18 y 22 horas. El celular B a veces dura 10 horas y a veces 30. Los promedios pueden coincidir y, aun así, los celulares se comportan de manera muy distinta. Un diagrama de caja (también llamado diagrama de caja y bigotes, box plot) muestra esto de un vistazo: no solo el centro de los datos, sino también qué tan dispersos están y qué forma tienen. ¿En cuál celular confiarías? Lo responderemos al final.
El resumen de cinco números
La mediana divide los datos ordenados en dos mitades. Los cuartiles los dividen en cuatro partes con aproximadamente la misma cantidad de valores en cada una.
Con una cantidad par de valores no hay un valor central que dejar fuera. La mediana es el promedio de los dos valores centrales, y las mitades dividen la lista exactamente en dos.
Prueba tus propios números en la herramienta de abajo y observa cómo se mueven los cuartiles.
Las notas de un grupo de $9$ estudiantes en un examen de matemáticas son: $3, 4, 5, 6, 7, 8, 8, 9, 10$. Determina el valor mínimo, el primer cuartil ($Q_1$), la mediana…
Las notas de un grupo de $9$ estudiantes en un examen de matemáticas son: $3, 4, 5, 6, 7, 8, 8, 9, 10$.
Determina el valor mínimo, el primer cuartil ($Q_1$), la mediana ($Me$), el tercer cuartil ($Q_3$) y el valor máximo para construir un diagrama de caja.
Los precios (en dólares) de $11$ libros en una estantería son: $12, 15, 15, 18, 20, 21, 24, 25, 28, 30, 35$. Calcula los cinco valores necesarios para trazar su diagrama…
Los precios (en dólares) de $11$ libros en una estantería son: $12, 15, 15, 18, 20, 21, 24, 25, 28, 30, 35$.
Calcula los cinco valores necesarios para trazar su diagrama de caja.
Un equipo de baloncesto ha anotado los siguientes puntos en sus últimos $15$ partidos: $65, 72, 78, 81, 82, 85, 88, 90, 92, 95, 98, 101, 105, 108, 112$. Halla el resumen…
Un equipo de baloncesto ha anotado los siguientes puntos en sus últimos $15$ partidos:
$65, 72, 78, 81, 82, 85, 88, 90, 92, 95, 98, 101, 105, 108, 112$.
Halla el resumen de cinco números y calcula el rango intercuartílico.
Cuartiles a partir de tablas y datos agrupados
A veces te dan una tabla de frecuencias en lugar de una lista. No reescribas cientos de valores: solo cuenta posiciones.
Cuando los datos están agrupados en intervalos, no puedes conocer los valores exactos, pero sí puedes estimar cada cuartil. Supón que los valores están repartidos de manera uniforme dentro de cada intervalo.
La siguiente tabla de frecuencias muestra el número de hermanos de los alumnos de una clase: $0$ hermanos: $6$ alumnos $1$ hermano: $10$ alumnos $2$ hermanos: $8$…
La siguiente tabla de frecuencias muestra el número de hermanos de los alumnos de una clase:
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$0$ hermanos: $6$ alumnos
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$1$ hermano: $10$ alumnos
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$2$ hermanos: $8$ alumnos
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$3$ hermanos: $4$ alumnos
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$4$ hermanos: $2$ alumnos
Determina el mínimo, $Q_1$, $Me$, $Q_3$ y el máximo para poder construir el diagrama de caja correspondiente.
Los salarios (en miles de dólares) de $200$ trabajadores se agrupan en los siguientes intervalos: $[10, 20)$: $40$ trabajadores $[20, 30)$: $80$ trabajadores $[30, 40)$:…
Los salarios (en miles de dólares) de $200$ trabajadores se agrupan en los siguientes intervalos:
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$[10, 20)$: $40$ trabajadores
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$[20, 30)$: $80$ trabajadores
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$[30, 40)$: $60$ trabajadores
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$[40, 50)$: $20$ trabajadores
Estima los valores de $Q_1$, $Me$ y $Q_3$ utilizando interpolación lineal dentro de los intervalos para poder esbozar su diagrama de caja.
Dibujar y leer un diagrama de caja
Un diagrama de caja se dibuja sobre una recta numérica. La caja va de $Q_1$ a $Q_3$, con una línea dentro en la mediana. Dos bigotes llegan hasta el mínimo y el máximo.
Para leer un diagrama de caja, fíjate en dónde cada línea vertical toca la recta numérica. Para dibujar uno: marca los cinco números en una escala, dibuja la caja de $Q_1$ a $Q_3$, añade la línea de la mediana y luego dibuja los bigotes hasta el mínimo y el máximo.
En un conjunto de datos perfectamente simétrico, la mediana queda justo a la mitad entre $Q_1$ y $Q_3$, y también a la mitad entre el mínimo y el máximo. Eso te permite trabajar hacia atrás a partir del rango y del RIC.
El siguiente diagrama de caja representa las edades de los visitantes a un museo durante una mañana. A partir del gráfico, indica cuál es la edad mínima, el primer…
El siguiente diagrama de caja representa las edades de los visitantes a un museo durante una mañana.
A partir del gráfico, indica cuál es la edad mínima, el primer cuartil, la mediana, el tercer cuartil y la edad máxima de los visitantes.
El resumen de cinco números de los pesos (en libras) de los perros atendidos en una clínica veterinaria es: Mínimo = $5$, $Q_1 = 12$, Mediana = $18$, $Q_3 = 24$, Máximo…
El resumen de cinco números de los pesos (en libras) de los perros atendidos en una clínica veterinaria es: Mínimo = $5$, $Q_1 = 12$, Mediana = $18$, $Q_3 = 24$, Máximo = $35$.
Calcula el rango de la distribución y el rango intercuartílico (RIC).
Una distribución de datos es perfectamente simétrica. Se sabe que su rango es de $40$ unidades, su rango intercuartílico (RIC) es de $16$ unidades y el valor mínimo es…
Una distribución de datos es perfectamente simétrica. Se sabe que su rango es de $40$ unidades, su rango intercuartílico (RIC) es de $16$ unidades y el valor mínimo es $10$.
Calcula los valores exactos de $Q_1$, $Me$, $Q_3$ y el valor máximo.
Cada cuarto contiene el 25% de los datos
Los cinco números cortan los datos en cuatro partes. Cada parte tiene aproximadamente el $25\%$ de los valores, sin importar qué tan larga se vea en el diagrama.
Así, la caja contiene el $50\%$ central de los datos. Por encima de $Q_3$ hay un $25\%$, y por debajo de $Q_1$ hay otro $25\%$. La mitad de los datos está por encima de la mediana.
En un diagrama de caja que representa el tiempo (en minutos) que tardan los alumnos en llegar a la escuela secundaria, el primer cuartil es $15$ y el tercer cuartil es…
En un diagrama de caja que representa el tiempo (en minutos) que tardan los alumnos en llegar a la escuela secundaria, el primer cuartil es $15$ y el tercer cuartil es $30$.
¿Qué porcentaje exacto de los alumnos tarda entre $15$ y $30$ minutos en llegar a la escuela secundaria?
Un diagrama de caja resume las estaturas de $120$ atletas. Si el tercer cuartil ($Q_3$) es $185$ pulgadas y el valor máximo es $205$ pulgadas, ¿cuántos atletas…
Un diagrama de caja resume las estaturas de $120$ atletas. Si el tercer cuartil ($Q_3$) es $185$ pulgadas y el valor máximo es $205$ pulgadas, ¿cuántos atletas aproximadamente tienen una estatura superior a $185$ pulgadas? Asume que no hay valores repetidos que coincidan exactamente con los cuartiles.
En una empresa de ingeniería, el $25\%$ de los empleados que más cobran tienen un salario mensual superior a $\$3500…
En una empresa de ingeniería, el $25\%$ de los empleados que más cobran tienen un salario mensual superior a $\$3500$. Además, el salario más bajo de la empresa es de $\$1200$ y el $50\%$ de la plantilla cobra menos de $\$2100$.
Identifica a qué parámetros específicos del diagrama de caja (Mínimo, $Q_1$, $Me$, $Q_3$, Máximo) corresponden los valores $\$3500$, $\$1200$ y $\$2100$.
Dispersión y asimetría en el diagrama
El lugar donde queda la línea de la mediana dentro de la caja, y la longitud de cada bigote, te dicen la forma de los datos.
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Asimétrico a la derecha (una cola hacia los valores altos): la caja queda a la izquierda, la mediana está cerca de $Q_1$ y el bigote derecho es largo.
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Asimétrico a la izquierda (una cola hacia los valores bajos): lo contrario.
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Aproximadamente simétrico: la mediana está cerca del centro de la caja y los bigotes tienen longitudes parecidas.
Un bigote corto significa que ese cuarto de los datos está agrupado en un intervalo pequeño. Un bigote largo significa que ese cuarto está repartido en un intervalo amplio. De igual manera, si la distancia de $Q_1$ a la mediana es pequeña y la distancia de la mediana a $Q_3$ es grande, entonces el segundo cuarto está concentrado y el tercer cuarto está disperso. Si dibujaras un histograma de datos asimétricos a la derecha, tendría una cola larga a la derecha.
Un diagrama de caja muestra que la distancia entre el primer cuartil y la mediana es de $2$ unidades, mientras que la distancia entre la mediana y el tercer cuartil es…
Un diagrama de caja muestra que la distancia entre el primer cuartil y la mediana es de $2$ unidades, mientras que la distancia entre la mediana y el tercer cuartil es de $10$ unidades.
¿Qué indica esta diferencia sobre la distribución y concentración de los datos en la parte central?
En un diagrama de caja, el bigote izquierdo (del mínimo al $Q_1$) es muy corto, mientras que el bigote derecho (del $Q_3$ al máximo) es extremadamente largo. ¿Qué…
En un diagrama de caja, el bigote izquierdo (del mínimo al $Q_1$) es muy corto, mientras que el bigote derecho (del $Q_3$ al máximo) es extremadamente largo.
¿Qué significa esto respecto a la dispersión de los datos en los extremos de la distribución?
Un diagrama de caja tiene una caja muy estrecha desplazada hacia el extremo izquierdo, con un bigote derecho muy largo. Si tuvieras que representar estos mismos datos en…
Un diagrama de caja tiene una caja muy estrecha desplazada hacia el extremo izquierdo, con un bigote derecho muy largo. Si tuvieras que representar estos mismos datos en un histograma, ¿qué forma tendría la distribución? (Simétrica, sesgada a la derecha o sesgada a la izquierda). Explica brevemente por qué.
La línea de la mediana no es la media
La media y la mediana reaccionan de manera distinta a los valores extremos. Mira cinco salarios (en miles de dólares): $30, 32, 35, 38, 90$. La mediana es $35$. La media es $\dfrac{225}{5} = 45$. El único valor grande sube la media, pero no la mediana.
Por eso, en datos asimétricos a la derecha, la media suele ser mayor que la mediana. En datos asimétricos a la izquierda, la media suele ser menor que la mediana. Esto es un patrón, no una garantía: un diagrama de caja por sí solo no te da suficiente información para calcular la media.
Indica si la siguiente afirmación es verdadera o falsa y justifica brevemente tu respuesta: "En cualquier diagrama de caja, la media aritmética siempre coincide…
Indica si la siguiente afirmación es verdadera o falsa y justifica brevemente tu respuesta:
"En cualquier diagrama de caja, la media aritmética siempre coincide exactamente con la línea vertical interior que divide la caja."
En un diagrama de caja de los ingresos de una población, se observa que la distancia de $Q_1$ a la mediana es de $\$500$, mientras que de la mediana a $Q3…
En un diagrama de caja de los ingresos de una población, se observa que la distancia de $Q_1$ a la mediana es de $\$500$, mientras que de la mediana a $Q3$ es de $\$2500$. Además, el bigote superior es mucho más largo que el inferior.
¿Qué relación esperas que haya entre la media aritmética y la mediana (cuál será mayor)? Razona tu respuesta basándote en la asimetría mostrada por la caja.
Comparar distribuciones
El verdadero poder de los diagramas de caja está en dibujar varios sobre la misma recta numérica. Compara siempre las mismas tres cosas.
El siguiente gráfico muestra los diagramas de caja de la duración de la batería (en horas) de dos marcas de teléfonos celulares, Alpha y Beta. a) ¿Qué marca tiene una…
El siguiente gráfico muestra los diagramas de caja de la duración de la batería (en horas) de dos marcas de teléfonos celulares, Alpha y Beta.
- a) ¿Qué marca tiene una mayor mediana en la duración de su batería?
- b) ¿Cuál de las dos marcas presenta una mayor variabilidad en el $50\%$ central de sus datos (mayor rango intercuartílico)?
El siguiente gráfico muestra los tiempos de ejecución (en milisegundos) de tres algoritmos informáticos diferentes procesando la misma cantidad de datos. Si necesitas…
El siguiente gráfico muestra los tiempos de ejecución (en milisegundos) de tres algoritmos informáticos diferentes procesando la misma cantidad de datos.
Si necesitas elegir un algoritmo para un sistema crítico en tiempo real donde es indispensable que el tiempo de ejecución nunca supere los $60$ ms, pero al mismo tiempo quieres que el rendimiento general (mediana) sea lo más rápido posible, ¿qué algoritmo elegirías y por qué? Justifica tu respuesta descartando los otros dos.
Valores atípicos y la regla de 1.5 × RIC
Un bigote muy largo puede estar escondiendo un valor raro. Ese valor es un valor atípico (outlier), y conviene graficarlo por separado en lugar de estirar el bigote hasta él.
A veces un valor desconocido decide si hay un valor atípico. Entonces se resuelve una desigualdad (también llamada inecuación).
En un estudio sobre el número de pulsaciones por minuto de un grupo de atletas en reposo, se obtuvo el siguiente resumen: $Q_1 = 48$, $Me = 52$, $Q_3 = 58$. Uno de los…
En un estudio sobre el número de pulsaciones por minuto de un grupo de atletas en reposo, se obtuvo el siguiente resumen: $Q_1 = 48$, $Me = 52$, $Q_3 = 58$.
Uno de los atletas registró $75$ pulsaciones por minuto. Utilizando el criterio matemático del rango intercuartílico (un valor es atípico si es mayor que $Q_3 + 1,5 \cdot RIC$), determina si este valor debe representarse como un dato atípico en el diagrama de caja.
Dado el siguiente conjunto de datos ordenados sobre el tiempo de reacción (en milisegundos) de un experimento: $120, 135, 140, 145, 150, 160, 170, x$. Halla el valor…
Dado el siguiente conjunto de datos ordenados sobre el tiempo de reacción (en milisegundos) de un experimento: $120, 135, 140, 145, 150, 160, 170, x$.
Halla el valor mínimo que debe tener la incógnita $x$ para que sea considerada un valor atípico superior en el diagrama de caja. (Recuerda que para este cálculo $N=8$).
Qué pasa cuando cambian los datos
Supón que cada valor de un conjunto de datos se cambia de la misma manera, como cuando se le suma una curva a cada calificación o cuando se convierten unidades.
Se ha construido un diagrama de caja con las temperaturas máximas de una ciudad en julio, obteniendo $Q_1 = 28^\circ \text{C}$, $Me = 31^\circ \text{C}$ y…
Se ha construido un diagrama de caja con las temperaturas máximas de una ciudad en julio, obteniendo $Q_1 = 28^\circ \text{C}$, $Me = 31^\circ \text{C}$ y $Q_3 = 35^\circ \text{C}$.
Si debido a una ola de calor, al año siguiente todas las temperaturas máximas registradas aumentan exactamente $3^\circ \text{C}$, ¿cuáles serán los nuevos valores de $Q_1$, $Me$ y $Q_3$? ¿Cambiará el valor del rango intercuartílico?
Un conjunto de datos tiene el siguiente resumen de cinco números: Mínimo = $10$, $Q_1 = 20$, $Me = 25$, $Q_3 = 35$, Máximo = $50$. Se aplica la transformación lineal…
Un conjunto de datos tiene el siguiente resumen de cinco números: Mínimo = $10$, $Q_1 = 20$, $Me = 25$, $Q_3 = 35$, Máximo = $50$.
Se aplica la transformación lineal $y = -2x + 100$ a todos los datos.
Calcula el nuevo resumen de cinco números para la variable $y$ y determina su nuevo rango intercuartílico. Ten especial cuidado con el orden de los cuartiles al multiplicar por un número negativo.
Construir datos a partir de un resumen, y lo que la caja esconde
También puedes trabajar hacia atrás: dado un resumen de cinco números, construye un conjunto de datos que coincida. Usa las posiciones de los cuartiles en una lista ordenada.
Para otras cantidades de datos, las posiciones de los cuartiles cambian. Con $6$ valores, por ejemplo, la mediana es el promedio de $a_3$ y $a_4$, y cada mitad tiene tres valores. Anota qué posiciones dan cada número antes de elegir los valores.
Un diagrama de caja esconde los valores individuales. Dos conjuntos de datos muy distintos pueden tener exactamente los mismos cinco números.
El conjunto A es $0, 2, 4, 4, 6, 6, 8, 10$ y el conjunto B es $0, 3, 3, 4, 6, 7, 7, 10$. Ambos tienen el resumen $0, 3, 5, 7, 10$. A tiene valores repartidos de forma bastante uniforme, pero B tiene valores agrupados cerca de $3$ y de $7$. El diagrama de caja no puede distinguirlos, así que, cuando la forma importa, mira también un diagrama de puntos o un histograma.
Inventa un conjunto de datos formado por exactamente $6$ números enteros positivos cuyo diagrama de caja tenga los siguientes parámetros: Mínimo = $2$, $Q_1 = 5$,…
Inventa un conjunto de datos formado por exactamente $6$ números enteros positivos cuyo diagrama de caja tenga los siguientes parámetros:
Mínimo = $2$, $Q_1 = 5$, Mediana = $8$, $Q_3 = 12$, Máximo = $15$.
(Nota: Utiliza las reglas de interpolación estándar de la mediana de las mitades inferior y superior para calcular los cuartiles).
Un diagrama de caja resume el centro y la dispersión mediante cuartiles, pero puede ocultar la forma real de la distribución. Propón dos conjuntos de datos distintos de…
Un diagrama de caja resume el centro y la dispersión mediante cuartiles, pero puede ocultar la forma real de la distribución.
Propón dos conjuntos de datos distintos de $8$ elementos cada uno: el primero debe ser una distribución uniforme (valores equiespaciados) y el segundo una distribución fuertemente bimodal (valores concentrados en los extremos), de tal manera que AMBOS conjuntos tengan exactamente el mismo Mínimo, $Q_1$, Mediana, $Q_3$ y Máximo.
De vuelta al inicio: el celular A, con baterías que duran de 18 a 22 horas, tiene un diagrama de caja con un RIC de solo unas $4$ horas y bigotes cortos. El celular B, que oscila entre 10 y 30 horas, tiene una caja ancha y bigotes largos. Si los promedios son iguales, los diagramas de caja igual muestran que el celular A es mucho más predecible.