Recta de regresión (recta de mejor ajuste)
Jayden está estudiando para un examen importante de matemáticas. Su maestra le muestra un diagrama de dispersión con las horas de estudio y las calificaciones de estudiantes anteriores, con una recta dibujada entre los puntos. Jayden piensa estudiar 7 horas. ¿Qué calificación debería esperar? Al final de esta página podrás responder eso y decir cuánto confiar en la respuesta.
Diagramas de dispersión y la recta de mejor ajuste
En un diagrama de dispersión (scatter plot), cada punto es un estudiante. El valor de $x$ son las horas de estudio y el valor de $y$ es la calificación. Cuando los puntos suben de izquierda a derecha, más horas van con calificaciones más altas. A esto lo llamamos asociación positiva.
Una recta de mejor ajuste (line of best fit) es una recta que pasa por la nube de puntos y sigue su tendencia. Cuando la tienes, puedes predecir $y$ para una nueva $x$. Sube desde $x$ hasta la recta y luego ve en horizontal hasta el eje $y$.
La recta de mejor ajuste que se usa en estadística es la recta de regresión (más exactamente, la recta de regresión de mínimos cuadrados). Las siguientes secciones explican cómo se elige exactamente. Primero, practiquemos con una.
La recta de abajo tiene dos controles deslizantes. Muévelos y observa cómo $m$ y $b$ cambian la recta.
Observe el siguiente diagrama de dispersión que muestra la relación entre las horas de estudio semanales ($X$) y la calificación obtenida en un examen ($Y$). La recta…
Observe el siguiente diagrama de dispersión que muestra la relación entre las horas de estudio semanales ($X$) y la calificación obtenida en un examen ($Y$). La recta azul representa la recta de regresión de $Y$ sobre $X$. Estime gráficamente qué calificación aproximada obtendría un alumno que estudia $7$ horas.
La ecuación de la recta de regresión del peso ($Y$, en libras) en función de la altura ($X$, en pulgadas) de un grupo de estudiantes es $y = 0.8x - 60$. Estime cuál será…
La ecuación de la recta de regresión del peso ($Y$, en libras) en función de la altura ($X$, en pulgadas) de un grupo de estudiantes es $y = 0.8x - 60$. Estime cuál será el peso aproximado de un estudiante que mide $170$ pulgadas.
La fórmula de la recta de regresión
Dibujar a ojo no es preciso: dos personas dibujan dos rectas distintas. La estadística da una recta exacta a partir de tres números.
Recuerda la media de cada variable, $\bar{x}$ y $\bar{y}$. Juntas dan el punto medio de los datos $(\bar{x}, \bar{y})$, también llamado centro de gravedad de los datos. Recuerda también:
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la varianza de $X$: $\sigma_x^2 = \dfrac{1}{n}\sum (x - \bar{x})^2$, que mide qué tan dispersos están los valores de $x$;
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la covarianza: $\sigma_{xy} = \dfrac{1}{n}\sum (x - \bar{x})(y - \bar{y})$, que es positiva cuando $x$ y $y$ suben juntas y negativa cuando una sube mientras la otra baja.
¿Por qué esta pendiente? La covarianza mide cuánto se mueven juntas $x$ y $y$. Al dividir entre la varianza de $x$, eso se convierte en "cuánto se mueve $y$ por cada unidad de $x$". ¿Por qué el punto medio? La recta se construye en forma punto-pendiente alrededor de ese punto, así que tiene que pasar por él.
Como la recta siempre pasa por el punto medio, puedes usarla de dos maneras. Si la recta es $y = 2x + 1$ y $\bar{x} = 3$, entonces $\bar{y} = 2(3) + 1 = 7$. Si una recta candidata no pasa por el punto medio, no es la recta de regresión. Pasar por el punto medio es necesario pero no suficiente: muchas rectas pasan por ese punto.
Calcule la ecuación de la recta de regresión de $Y$ sobre $X$ para una distribución bidimensional de la que se conocen los siguientes parámetros estadísticos: la media…
Calcule la ecuación de la recta de regresión de $Y$ sobre $X$ para una distribución bidimensional de la que se conocen los siguientes parámetros estadísticos: la media de $X$ es $\bar{x} = 5$, la media de $Y$ es $\bar{y} = 12$, la varianza de $X$ es $\sigma_x^2 = 4$ y la covarianza es $\sigma_{xy} = 6$. Exprese el resultado en la forma $y = mx + n$.
En un estudio de mercado, la recta de regresión de las ventas ($Y$) sobre la inversión en publicidad ($X$) viene dada por la ecuación $y = 2.5x - 4$. Si se sabe que la…
En un estudio de mercado, la recta de regresión de las ventas ($Y$) sobre la inversión en publicidad ($X$) viene dada por la ecuación $y = 2.5x - 4$. Si se sabe que la inversión media de las empresas analizadas es $\bar{x} = 6$, ¿cuál es el valor de las ventas medias $\bar{y}$ de la distribución?
Las medias de dos variables estadísticas son $\bar{x} = 10$ e $\bar{y} = 25$. Compruebe matemáticamente si la recta $y = 1.5x + 10$ puede ser la recta de regresión…
Las medias de dos variables estadísticas son $\bar{x} = 10$ e $\bar{y} = 25$. Compruebe matemáticamente si la recta $y = 1.5x + 10$ puede ser la recta de regresión válida para este conjunto de datos, justificando su respuesta mediante una propiedad fundamental que deben cumplir todas las rectas de regresión.
Cómo calcular la recta a partir de una tabla de datos
Cuando te dan los puntos de datos, calculas las medias, las desviaciones respecto a las medias y dos sumas:
$$S_{xy} = \sum (x - \bar{x})(y - \bar{y}) \qquad S_{xx} = \sum (x - \bar{x})^2$$Como $\sigma_{xy} = S_{xy}/n$ y $\sigma_x^2 = S_{xx}/n$, las $n$ se cancelan y la pendiente es simplemente
$$m = \frac{S_{xy}}{S_{xx}}.$$Esta es la misma recta que da una calculadora, aunque a veces las calculadoras dividen entre $n-1$ en la covarianza y la varianza.
Una empresa registra el gasto en publicidad $X$ (en miles de dólares) y los ingresos por ventas $Y$ (en miles de dólares) durante $4$ meses consecutivos. Los pares de…
Una empresa registra el gasto en publicidad $X$ (en miles de dólares) y los ingresos por ventas $Y$ (en miles de dólares) durante $4$ meses consecutivos. Los pares de datos $(x_i, y_i)$ obtenidos son: $(2, 5)$, $(3, 7)$, $(4, 9)$ y $(5, 11)$. Calcule la ecuación de la recta de regresión de $Y$ sobre $X$.
Residuos: ¿qué tan lejos queda la recta?
La recta no pasa por todos los puntos. La distancia vertical entre un punto y la recta es el residuo.
La recta de regresión es la que hace que la suma de los cuadrados de los residuos sea lo más pequeña posible. Por eso también se llama recta de mínimos cuadrados.
Dada la tabla de datos formada por los puntos $(1, 2)$, $(2, 4)$, $(3, 5)$ y $(4, 7)$, se ha calculado que la ecuación de la recta de regresión de $Y$ sobre $X$ es…
Dada la tabla de datos formada por los puntos $(1, 2)$, $(2, 4)$, $(3, 5)$ y $(4, 7)$, se ha calculado que la ecuación de la recta de regresión de $Y$ sobre $X$ es $y = 1.6x + 0.5$. Calcule el residuo (o error de estimación) correspondiente a la observación $x = 3$.
Cómo predecir con cuidado
Una predicción es tan buena como los datos en los que se basa. Ten presentes tres ideas.
1. Interpolación y extrapolación. Predecir para una $x$ dentro del rango de los datos es interpolación, que normalmente es seguro. Predecir fuera de ese rango es extrapolación, que es arriesgado. Nada garantiza que la tendencia continúe.
2. No "des la vuelta" a la recta. La recta de $Y$ sobre $X$ minimiza los errores en $Y$. Para estimar $X$ a partir de una $Y$ conocida, no basta con despejar $x$ en la ecuación. La manera rigurosa es calcular otra recta, la recta de regresión de $X$ sobre $Y$ (mira la sección sobre las dos rectas de regresión).
3. Interpreta la pendiente y la intersección en contexto. La intersección es la $y$ predicha cuando $x = 0$. Si $x = 0$ está muy fuera de los datos, puede no significar nada.
El coeficiente de correlación lineal entre el número de horas de entrenamiento semanal ($X$) y el tiempo registrado en una carrera de obstáculos ($Y$) es $r = -0.92$. La…
El coeficiente de correlación lineal entre el número de horas de entrenamiento semanal ($X$) y el tiempo registrado en una carrera de obstáculos ($Y$) es $r = -0.92$. La recta de regresión obtenida es $y = -1.5x + 50$. Los datos de la muestra corresponden a atletas que entrenan entre $5$ y $15$ horas. Estime el tiempo para un atleta que entrena $10$ horas y justifique si esta predicción se considera fiable.
La recta de regresión de la cantidad de helados vendidos ($Y$) en función de la temperatura máxima diaria en $^\circ\text{C}$ ($X$) es $y = 15x - 120$. Si para mañana se…
La recta de regresión de la cantidad de helados vendidos ($Y$) en función de la temperatura máxima diaria en $^\circ\text{C}$ ($X$) es $y = 15x - 120$. Si para mañana se prevé una temperatura de $30^\circ\text{C}$, estime cuántos helados se venderán. Además, si otro día se vendieron $255$ helados, explique si es teóricamente correcto utilizar esta misma recta para estimar la temperatura que hizo o si el procedimiento riguroso exigiría calcular otra recta distinta.
Se ha estudiado la relación entre la antigüedad de un modelo de auto ($X$, en años) y su valor en el mercado de segunda mano ($Y$, en miles de dólares). La recta de…
Se ha estudiado la relación entre la antigüedad de un modelo de auto ($X$, en años) y su valor en el mercado de segunda mano ($Y$, en miles de dólares). La recta de regresión obtenida es $y = -1.2x + 18$. Si un auto tiene $5$ años, ¿cuál es su valor estimado? Además, interprete qué significado tiene en este contexto real la intersección con el eje y (ordenada en el origen) de la recta.
El coeficiente de correlación $r$
¿Qué tan pegados están los puntos a la recta? El coeficiente de correlación da un número para eso.
¿Por qué el signo de $r$ es el mismo que el de la pendiente? La pendiente es $\sigma_{xy}/\sigma_x^2$ y $r = \sigma_{xy}/(\sigma_x\sigma_y)$. Las varianzas y las desviaciones estándar son positivas, así que ambas tienen el mismo signo que la covarianza $\sigma_{xy}$. Esto también significa que el signo de la pendiente siempre coincide con el signo de la covarianza.
Eso te dice cuál gráfica respalda una predicción confiable. Con una nube ajustada alrededor de la recta ($|r|$ grande), los residuos son pequeños y las predicciones son confiables. Con una nube suelta ($|r|$ pequeño), la recta es solo una guía aproximada.
En un estudio bidimensional, la ecuación de la recta de regresión de $Y$ sobre $X$ es $y = 0.2x + 15$. Sabiendo que la covarianza calculada para estos datos es…
En un estudio bidimensional, la ecuación de la recta de regresión de $Y$ sobre $X$ es $y = 0.2x + 15$. Sabiendo que la covarianza calculada para estos datos es $\sigma_{xy} = 3.5$, justifique brevemente si la pendiente de la recta obtenida es coherente con el signo de la covarianza.
Se ha analizado la relación entre dos variables y se ha obtenido como recta de regresión de $Y$ sobre $X$ la ecuación $y = -3x + 20$. ¿Es posible que el coeficiente de…
Se ha analizado la relación entre dos variables y se ha obtenido como recta de regresión de $Y$ sobre $X$ la ecuación $y = -3x + 20$. ¿Es posible que el coeficiente de correlación lineal de esta distribución sea $r = 0.85$? Razone su respuesta basándose en la relación entre la pendiente y la correlación.
Observe los dos diagramas de dispersión, A y B, que muestran la relación entre dos variables e incluyen sus respectivas rectas de regresión. ¿En cuál de las dos…
Observe los dos diagramas de dispersión, A y B, que muestran la relación entre dos variables e incluyen sus respectivas rectas de regresión. ¿En cuál de las dos distribuciones será más fiable realizar una estimación de $Y$ a partir de un valor de $X$ utilizando la recta de regresión? Razone su respuesta basándose en el concepto visual de correlación y dispersión.
De $r$ a la pendiente, y de regreso
Como $\sigma_{xy} = r\,\sigma_x\sigma_y$, la pendiente se puede escribir con $r$ en lugar de la covarianza:
La pendiente es la correlación multiplicada por el cociente de las dispersiones. Los cuadrados son para las varianzas ($\sigma^2$) y las $\sigma$ sin cuadrado son para las desviaciones estándar. Usa la que te dé el problema.
También puedes ir al revés y hallar $r$ a partir de una recta dada: $r = m\,\dfrac{\sigma_x}{\sigma_y}$.
Se conocen los siguientes parámetros estadísticos de una distribución bidimensional: el coeficiente de correlación es $r = 0.8$, la desviación típica de $X$ es…
Se conocen los siguientes parámetros estadísticos de una distribución bidimensional: el coeficiente de correlación es $r = 0.8$, la desviación típica de $X$ es $\sigma_x = 2$, la desviación típica de $Y$ es $\sigma_y = 5$, y el centro de gravedad es el punto $(12, 40)$. A partir de estos datos, calcule la ecuación de la recta de regresión de $Y$ sobre $X$.
En un ensayo de laboratorio, se mide el volumen de un gas ($Y$) a diferentes temperaturas ($X$). La recta de regresión obtenida tras el análisis de los datos es…
En un ensayo de laboratorio, se mide el volumen de un gas ($Y$) a diferentes temperaturas ($X$). La recta de regresión obtenida tras el análisis de los datos es $y = 0.4x + 22$. Además, se sabe que la varianza de las temperaturas registradas es $\sigma_x^2 = 25$ y la varianza de los volúmenes es $\sigma_y^2 = 5$. A partir de esta información, calcule el coeficiente de correlación $r$ e interprete si el modelo lineal es un buen ajuste para estos datos.
Uso de una calculadora o una hoja de cálculo
En la práctica, nadie calcula $S_{xy}$ a mano con conjuntos de datos grandes. Una calculadora gráfica o Desmos lo hace en segundos.
Prueba con este conjunto de datos inventado: días de práctica por semana $x$ y respuestas correctas de $20$ en un examen corto $y$: $(1, 12)$, $(2, 13)$, $(3, 15)$, $(4, 14)$, $(5, 16)$.
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TI-84: presiona STAT → Edit e ingresa $x$ en L1 y $y$ en L2. Activa Diagnostics On (en CATALOG) y luego presiona STAT → CALC →
LinReg(ax+b)L1, L2. Obtienes $a = 0.9$, $b = 11.3$ y $r = 0.9$. -
Desmos: crea una tabla con columnas $x_1$ y $y_1$ y luego escribe
y_1 ~ m x_1 + b. Desmos da los mismos $m$ y $b$ y también muestra los residuos.
A mano podemos confirmarlo: $\bar{x} = 3$, $\bar{y} = 14$, $S_{xy} = 9$, $S_{xx} = 10$, así que $m = 0.9$ y $b = 14 - 0.9(3) = 11.3$. La recta es $y = 0.9x + 11.3$. Para $4$ días de práctica la recta predice $0.9(4) + 11.3 = 14.9$ respuestas correctas. Es una estimación, no una promesa.
Las dos rectas de regresión
Hasta ahora predijimos $Y$ a partir de $X$. También podemos predecir $X$ a partir de $Y$. Al intercambiar los papeles se obtiene la recta de regresión de $X$ sobre $Y$:
$$x - \bar{x} = \frac{\sigma_{xy}}{\sigma_y^2}\,(y - \bar{y})$$Ambas rectas pasan por el punto medio $(\bar{x}, \bar{y})$. Si te dan las dos ecuaciones, resolverlas como un sistema (sustitución) da ese punto. Las dos pendientes (escritas como $y = m_1 x + \cdots$ y $x = m_2 y + \cdots$) se multiplican y dan $r^2$:
$$m_1 m_2 = \frac{\sigma_{xy}}{\sigma_x^2}\cdot\frac{\sigma_{xy}}{\sigma_y^2} = \frac{\sigma_{xy}^2}{\sigma_x^2\sigma_y^2} = r^2$$Por qué $r = \pm 1$ hace que las dos rectas sean la misma. Cuando $r^2 = 1$, el producto de las pendientes es $1$. La recta de $X$ sobre $Y$ es $x - \bar{x} = m_2 (y - \bar{y})$. Al despejar $y$ se obtiene $y - \bar{y} = \dfrac{1}{m_2}(x - \bar{x})$, cuya pendiente es $\dfrac{1}{m_2}$. Como $m_1 m_2 = 1$, tenemos $\dfrac{1}{m_2} = m_1$. Así, ambas rectas tienen la misma pendiente y el mismo punto $(\bar{x}, \bar{y})$, lo que las convierte en una sola recta. Este es el caso en que todos los puntos están exactamente sobre esa recta.
En un estudio sobre la longitud de un resorte ($Y$, en pulgadas) al colgarle diferentes pesos ($X$, en libras), se han calculado las dos rectas de regresión. La recta de…
En un estudio sobre la longitud de un resorte ($Y$, en pulgadas) al colgarle diferentes pesos ($X$, en libras), se han calculado las dos rectas de regresión. La recta de regresión de $Y$ sobre $X$ es $y = 2.5x + 10$ y la recta de regresión de $X$ sobre $Y$ es $x = 0.39y - 3.8$. Calcule las coordenadas exactas del centro de gravedad $(\bar{x}, \bar{y})$ de la distribución.
Se conocen las ecuaciones de las dos rectas de regresión de una distribución bidimensional: $y = 0.5x + 2$ (recta de regresión de $Y$ sobre $X$) y $x = 1.28y - 1.56$…
Se conocen las ecuaciones de las dos rectas de regresión de una distribución bidimensional: $y = 0.5x + 2$ (recta de regresión de $Y$ sobre $X$) y $x = 1.28y - 1.56$ (recta de regresión de $X$ sobre $Y$). Calcule el coeficiente de correlación lineal $r$, sabiendo que la correlación entre ambas variables es positiva.
Demuestre analíticamente que si el coeficiente de correlación lineal entre dos variables es perfecto ($r = 1$ o $r = -1$), la ecuación de la recta de regresión de $Y$…
Demuestre analíticamente que si el coeficiente de correlación lineal entre dos variables es perfecto ($r = 1$ o $r = -1$), la ecuación de la recta de regresión de $Y$ sobre $X$ y la ecuación de la recta de regresión de $X$ sobre $Y$ coinciden y representan la misma recta geométrica.
Cambios en los datos: traslaciones y cambios de escala
¿Qué le pasa a la recta cuando cambias las unidades o sumas puntos extra? Basta con sustituir.
¿Por qué? Si cada $y$ sube $c$, cada valor predicho también sube $c$, así que toda la recta se desplaza hacia arriba. Si $x$ se mide en unidades que son $k$ veces más grandes, una sola unidad de $z$ es un paso mayor, así que $y$ cambia $k$ veces más por unidad. Luego dividimos entre $k$.
Por ejemplo, si el Sr. Lee suma $5$ puntos extra a cada calificación de un examen corto y la recta era $y = 0.8x + 10$, la nueva recta es $y = 0.8x + 15$.
En una clase, la recta de regresión de la nota de Física ($Y$) sobre la nota de Matemáticas ($X$) es $y = 0.9x + 0.5$. Tras revisar los exámenes, el profesor detecta un…
En una clase, la recta de regresión de la nota de Física ($Y$) sobre la nota de Matemáticas ($X$) es $y = 0.9x + 0.5$. Tras revisar los exámenes, el profesor detecta un error general y decide sumar $1$ punto extra a todas las notas de Física. ¿Cuál será la nueva ecuación de la recta de regresión de $Y$ sobre $X$? Razone su respuesta.
La recta de regresión de $Y$ sobre $X$ de un experimento tiene por ecuación $y = ax + b$. Si por un cambio de escala definimos una nueva variable $Z = 3X - 2$, determine…
La recta de regresión de $Y$ sobre $X$ de un experimento tiene por ecuación $y = ax + b$. Si por un cambio de escala definimos una nueva variable $Z = 3X - 2$, determine cuál será la pendiente de la nueva recta de regresión de $Y$ sobre $Z$. Exprese el resultado en función del parámetro original $a$.
Agregar o quitar un punto en la media
Algunos puntos no influyen en la pendiente. Para ver por qué, usa sumas. Las $n$ se cancelan en $m = S_{xy}/S_{xx}$, y hay un dato útil: como $\sum (x - \bar{x}) = 0$,
$$S_{xy} = \sum (x - \bar{x})(y - \bar{y}) = \sum (x - \bar{x})\,y.$$Si el punto que se agrega o se quita es exactamente $(\bar{x}, \bar{y})$, entonces no cambia nada: el punto medio sigue igual y la recta también.
En una distribución bidimensional formada por $N$ datos, el centro de gravedad es el punto $(4, 6)$ y la pendiente de la recta de regresión de $Y$ sobre $X$ es $1.5$. Si…
En una distribución bidimensional formada por $N$ datos, el centro de gravedad es el punto $(4, 6)$ y la pendiente de la recta de regresión de $Y$ sobre $X$ es $1.5$. Si se añade al estudio un nuevo dato que coincide exactamente con el punto $(4, 10)$, ¿cambiará el valor de la pendiente de la recta de regresión? Demuestre matemáticamente su respuesta analizando cómo se modifican las fórmulas de la covarianza y la varianza.
Tenemos una distribución bidimensional con $100$ datos. La media de $X$ es $50$ y la media de $Y$ es $80$. La covarianza es $120$ y la varianza de $X$ es $60$. Tras una…
Tenemos una distribución bidimensional con $100$ datos. La media de $X$ es $50$ y la media de $Y$ es $80$. La covarianza es $120$ y la varianza de $X$ es $60$. Tras una revisión de calidad, se descubre que uno de los pares de datos, concretamente el punto $(50, 80)$, fue registrado incorrectamente por una falla del sensor y se decide eliminar del estudio. Calcule la nueva ecuación de la recta de regresión de $Y$ sobre $X$ para los $99$ datos restantes y compárela con la recta original.
Dos rectas especiales
Variables estandarizadas. Supón que ambas variables se han estandarizado: $\bar{x} = \bar{y} = 0$ y $\sigma_x = \sigma_y = 1$. Entonces $\sigma_{xy} = r\sigma_x\sigma_y = r$, y la recta de regresión $y - \bar{y} = r\dfrac{\sigma_y}{\sigma_x}(x - \bar{x})$ se simplifica a
$$y = r\,x.$$Si las variables no están correlacionadas ($r = 0$), la recta es $y = 0$: el eje $x$ horizontal.
Una recta de regresión horizontal. La pendiente es $\dfrac{\sigma_{xy}}{\sigma_x^2}$. Si la recta es horizontal, la pendiente es $0$, así que $\sigma_{xy} = 0$ (ya que $\sigma_x^2 > 0$). Entonces $r = 0$ y la recta es $y = \bar{y}$. Conocer $x$ no mejora la predicción de $y$: siempre predecimos la media. Concluimos que no hay relación lineal, aunque podría existir una relación curva.
Dos variables estadísticas $X$ e $Y$ han sido estandarizadas, lo que significa que sus medias son $\bar{x} = 0$ e $\bar{y} = 0$, y sus desviaciones típicas son…
Dos variables estadísticas $X$ e $Y$ han sido estandarizadas, lo que significa que sus medias son $\bar{x} = 0$ e $\bar{y} = 0$, y sus desviaciones típicas son $\sigma_x = 1$ y $\sigma_y = 1$. Exprese la ecuación de la recta de regresión de $Y$ sobre $X$ utilizando únicamente el coeficiente de correlación $r$. ¿Qué forma geométrica adopta la recta si ambas variables son linealmente independientes?
En el análisis de un conjunto de datos, se observa que la recta de regresión de $Y$ sobre $X$ es completamente horizontal. ¿Qué valor numérico exacto tiene la covarianza…
En el análisis de un conjunto de datos, se observa que la recta de regresión de $Y$ sobre $X$ es completamente horizontal. ¿Qué valor numérico exacto tiene la covarianza $\sigma_{xy}$ en este caso? ¿Qué conclusión estadística podemos extraer sobre la relación lineal entre las variables $X$ e $Y$? Justifique su respuesta utilizando la ecuación general de la recta de regresión.
Correlación no es causalidad
Un valor de $r$ cercano a $1$ dice que dos variables se mueven juntas de manera muy regular. No dice por qué.
En los días calurosos más personas compran helado y más personas se queman con el sol. Las dos tienen una correlación alta, pero el helado no quema la piel de nadie. Un tercer factor, la variable oculta (lurking variable), el clima, impulsa a ambas.
De vuelta con Jayden: la recta de su maestra predice $4(7) + 56 = 84$ para 7 horas de estudio. La predicción es razonable porque $7$ horas está dentro del rango de los datos y los puntos están pegados a la recta. Es una estimación, no una garantía. Una correlación fuerte aquí no prueba que estudiar sea lo único que causa la calificación; cosas como los conocimientos previos y el sueño también importan.