Varianza y desviación estándar

Dos estudiantes tienen las siguientes notas en la asignatura de matemáticas:

• Estudiante A: $6, 7, 6, 8, 7$

• Estudiante B: $4, 9, 5, 10, 6$

Sin necesidad de hacer cálculos complejos, ¿cuál de los dos estudiantes cree que tiene mayor desviación típica? Confirme su respuesta calculando la desviación típica de ambos.

Calcule la varianza y la desviación típica del siguiente conjunto de datos, correspondientes a las edades de un grupo de cinco amigos: $15, 16, 15, 17, 16$.

En una encuesta sobre el número de mascotas por hogar, se han obtenido los siguientes resultados: $0$ mascotas (4 hogares), $1$ mascota (5 hogares), $2$ mascotas (1 hogar). Calcule la varianza de esta distribución.

El siguiente gráfico de barras representa el número de libros leídos durante el verano por un grupo de estudiantes.

A partir del gráfico, extraiga las frecuencias correspondientes a cada valor y calcule la desviación típica del número de libros leídos.

En un estudio estadístico con $N = 40$ datos, se sabe que la media aritmética es $\bar{x} = 5,2$ y que la suma de los cuadrados de todos los datos es $\sum x_i^2 = 1250$. Utilizando la fórmula abreviada, calcule la varianza y la desviación típica.

Un conjunto de datos de un experimento informático está formado exclusivamente por $20$ ceros y $30$ unos. Calcule la media y la varianza de este conjunto de datos.

Las rentabilidades mensuales de una cartera de inversión durante el último semestre han sido: $-2\%, 3\%, 1\%, -1\%, 4\%, 1\%$. Calcule la varianza y la desviación típica de estas rentabilidades expresadas como porcentaje.

La siguiente tabla muestra el tiempo, en minutos, que tardan los empleados de una fábrica en llegar a su puesto de trabajo:

• $[0, 10)$: $12$ empleados

• $[10, 20)$: $18$ empleados

• $[20, 30)$: $14$ empleados

• $[30, 40)$: $6$ empleados

Calcule la varianza y la desviación típica del tiempo de trayecto utilizando las marcas de clase.

En la siguiente tabla de frecuencias agrupadas en intervalos faltan dos datos ($f_1$ y $f_2$):

• $[0, 20)$: $f_1$

• $[20, 40)$: $10$

• $[40, 60)$: $f_2$

• $[60, 80)$: $5$

Se sabe que el número total de datos es $N = 40$ y que la media aritmética es $\bar{x} = 37,5$. Calcula los valores de las frecuencias $f_1$ y $f_2$, y posteriormente halla la varianza de la distribución completa.

La desviación típica de las alturas de un grupo de árboles de un vivero es de $12\text{ cm}$. Si se sabe que dentro de un año todos los árboles habrán crecido exactamente $15\text{ cm}$, ¿cuál será la nueva desviación típica de sus alturas? Justifique su respuesta utilizando las propiedades de las medidas de dispersión.

En una empresa tecnológica, la varianza de los salarios mensuales de sus empleados es de $40\,000\text{ \$}^2$. Si la dirección decide aumentar todos los salarios un $5\%$ (es decir, multiplicarlos por $1,05$), ¿cuál será la nueva varianza de los salarios?

Se ha realizado un experimento biológico midiendo la longitud de unas hojas, obteniendo una variable $X$ con media $\bar{x} = 12\text{ cm}$ y desviación típica $\sigma = 4\text{ cm}$. Para facilitar los cálculos en un software, se define una nueva variable "tipificada" $Z = \frac{X - 12}{4}$. Demuestre numéricamente o aplicando las propiedades de la media y la varianza cuáles son los valores de la media y la varianza de la nueva variable $Z$.

En una clase de 10.º grado, la nota media en un examen de historia ha sido de $6,5$ puntos y el coeficiente de variación es del $20\%$. A partir de estos datos, calcule la varianza de las notas de la clase.

Una máquina envasadora de café debe llenar paquetes con un peso objetivo de $250\text{ g}$. En un control de calidad se ha pesado una muestra de $50$ paquetes, obteniendo una media de $252\text{ g}$ y una suma de los cuadrados de los pesos de $\sum x_i^2 = 3\,175\,450$. Calcule el coeficiente de variación y determine si el proceso es aceptable, sabiendo que el estándar de calidad exige que el $CV < 1,5\%$.

En un equipo de baloncesto, la altura media de los jugadores es de $1,95\text{ m}$ con una desviación típica de $0,08\text{ m}$. Por otro lado, en un equipo de gimnasia rítmica, la altura media es de $1,65\text{ m}$ con una desviación típica de $0,07\text{ m}$. ¿Qué equipo presenta una altura más dispersa en términos relativos? Justifique su respuesta numéricamente.

Las puntuaciones de cuatro participantes en un concurso de talentos son $12, 15, x$ e $y$. Se sabe que la media aritmética de las cuatro puntuaciones es $14$ y que $x = y$. Encuentre el valor de las puntuaciones desconocidas y calcule la desviación típica del conjunto.

En una clase de $25$ alumnos, la nota media en un examen de física es de $6,2$ y la desviación típica es de $1,4$. Al revisar los exámenes, el profesor se da cuenta de que la nota de un alumno, que era un $2$, se había anotado por error ya que ese alumno no se presentó. Si se elimina esa nota errónea del conjunto de datos, ¿cuál será la nueva media y la nueva desviación típica de los $24$ alumnos restantes?

Un investigador mide el radio $r$ de una muestra de $10$ esferas metálicas, obteniendo una media de $\bar{r} = 5\text{ cm}$ y una varianza de $\sigma_r^2 = 2\text{ cm}^2$. Necesita conocer el área superficial media de estas esferas para calcular la cantidad de pintura necesaria. Sabiendo que el área de una esfera es $A = 4\pi r^2$, y utilizando la definición de varianza $\sigma_r^2 = \frac{\sum r_i^2}{N} - \bar{r}^2$, calcula la media aritmética de las áreas superficiales de las $10$ esferas.

Una academia de idiomas tiene dos grupos de nivel B2. El grupo de mañana tiene $20$ alumnos con una nota media de $7$ y una varianza de $1,5$. El grupo de tarde tiene $30$ alumnos con la misma nota media de $7$, pero con una varianza de $2,5$. Calcule la varianza global de los $50$ alumnos de nivel B2 combinados.

Se combinan dos grupos de estudiantes para formar una sola clase para una excursión. El Grupo 1 tiene $15$ estudiantes con una altura media de $160\text{ cm}$ y una varianza de $25\text{ cm}^2$. El Grupo 2 tiene $25$ estudiantes con una altura media de $168\text{ cm}$ y una varianza de $16\text{ cm}^2$. Calcule la varianza de la altura de la clase completa formada por los $40$ estudiantes.

Se tienen dos conjuntos de datos $A$ y $B$. El conjunto $A$ tiene $N_A$ elementos, media $10$ y varianza $4$. El conjunto $B$ tiene $N_B$ elementos, media $10$ y varianza $9$. Si al juntar ambos conjuntos en un solo grupo la varianza global resulta ser $7$, determina la proporción exacta entre el número de elementos de $A$ y de $B$ (es decir, calcula el valor de la fracción $\frac{N_A}{N_B}$).

Demuestra que la varianza de los $n$ primeros números naturales $\{1, 2, 3, \dots, n\}$ viene dada por la fórmula $\sigma^2 = \frac{n^2 - 1}{12}$. Aplica esta fórmula para calcular rápidamente la desviación típica de los números enteros del $1$ al $25$.

(Nota: puedes utilizar las sumas conocidas $\sum_{i=1}^n i = \frac{n(n+1)}{2}$ y $\sum_{i=1}^n i^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$).

Encuentra un conjunto formado por exactamente $4$ números enteros positivos (que pueden repetirse) que cumplan simultáneamente las siguientes tres condiciones:

• Su media aritmética es $5$.

• Su mediana es $4,5$.

• Su varianza es $4,5$.

Dada una distribución de datos $x_1, x_2, \dots, x_N$, se define la función $E(k) = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N (x_i - k)^2$, que representa el error cuadrático medio respecto a un valor constante $k$. Desarrolla la expresión algebraica y demuestra que el valor de $k$ que hace mínima esta función es la media aritmética ($k = \bar{x}$), y que el valor mínimo alcanzado por la función coincide exactamente con la varianza $\sigma^2$.