Ecuaciones cuadráticas
Mateo lanza un cohete de modelo en un campo. Su altura en pies después de $t$ segundos es $h = 48t - 16t^2$. ¿En qué momentos está el cohete exactamente a 32 ft de altura? Un cohete sube y vuelve a bajar, así que pasa por la misma altura dos veces. Las ecuaciones cuadráticas son la herramienta para preguntas como esta, y la responderemos en la sección de problemas con palabras.
¿Qué es una ecuación cuadrática?
La gráfica de $y = ax^2+bx+c$ es una parábola. Resolver la ecuación significa encontrar dónde cruza la parábola el eje $x$. Mueve los deslizadores y observa cómo cambia el número de intersecciones con el eje $x$.
Escribe esta en forma estándar y luego regresa a terminarla cuando hayas aprendido los métodos de abajo.
Desarrolle los productos notables, agrupe los términos semejantes y resuelva la siguiente ecuación: $(x + 2)^2 - 2(x - 1)^2 = 3x + 6$
Desarrolle los productos notables, agrupe los términos semejantes y resuelva la siguiente ecuación:
$(x + 2)^2 - 2(x - 1)^2 = 3x + 6$
Casos especiales: sin término en $x$ o sin constante
Algunos problemas llaman a estas ecuaciones incompletas. Les falta un término y no necesitas la fórmula cuadrática para resolverlas.
Resuelva la siguiente ecuación de segundo grado incompleta despejando directamente la incógnita: $4x^2 - 64 = 0$
Resuelva la siguiente ecuación de segundo grado incompleta despejando directamente la incógnita:
$4x^2 - 64 = 0$
Calcule las soluciones de la siguiente ecuación de segundo grado incompleta extrayendo factor común: $3x^2 + 15x = 0$
Calcule las soluciones de la siguiente ecuación de segundo grado incompleta extrayendo factor común:
$3x^2 + 15x = 0$
Factorización y la propiedad del producto cero
Cuando una cuadrática se puede factorizar, el trabajo está casi hecho. Iguala un lado a $0$, factoriza y usa la propiedad del producto cero.
Mueve $r$ y $s$ y observa que las raíces de $(x - r)(x - s)$ son exactamente $r$ y $s$.
También puedes hacer el proceso al revés para construir una ecuación a partir de sus soluciones.
Encuentre las soluciones de la siguiente ecuación que ya se encuentra factorizada, sin necesidad de desarrollar el producto: $(2x - 5)(x + 4) = 0$
Encuentre las soluciones de la siguiente ecuación que ya se encuentra factorizada, sin necesidad de desarrollar el producto:
$(2x - 5)(x + 4) = 0$
Escriba una ecuación de segundo grado en la forma $x^2 + bx + c = 0$ sabiendo que sus únicas soluciones son $x_1 = 3$ y $x_2 = -8$.
Escriba una ecuación de segundo grado en la forma $x^2 + bx + c = 0$ sabiendo que sus únicas soluciones son $x_1 = 3$ y $x_2 = -8$.
La fórmula cuadrática
No toda cuadrática se factoriza con facilidad. La fórmula cuadrática funciona para toda ecuación cuadrática.
Aplique la fórmula cuadrática para encontrar las raíces de la siguiente ecuación de segundo grado completa: $x^2 - 7x + 10 = 0$
Aplique la fórmula cuadrática para encontrar las raíces de la siguiente ecuación de segundo grado completa:
$x^2 - 7x + 10 = 0$
El discriminante: ¿cuántas soluciones?
La parte que está bajo la raíz cuadrada, $b^2 - 4ac$, te dice qué tipo de soluciones obtendrás antes de terminar de resolver.
Determine si la ecuación $2x^2 + 3x + 5 = 0$ tiene solución en el conjunto de los números reales calculando previamente el valor de su discriminante $\Delta$.
Determine si la ecuación $2x^2 + 3x + 5 = 0$ tiene solución en el conjunto de los números reales calculando previamente el valor de su discriminante $\Delta$.
Halle el valor del coeficiente $c$ en la ecuación $x^2 + 4x + c = 0$ para que esta tenga una única solución real doble.
Halle el valor del coeficiente $c$ en la ecuación $x^2 + 4x + c = 0$ para que esta tenga una única solución real doble.
Determine el valor numérico del parámetro $k$ para que la ecuación $3x^2 - kx + 12 = 0$ tenga una única solución real doble.
Determine el valor numérico del parámetro $k$ para que la ecuación $3x^2 - kx + 12 = 0$ tenga una única solución real doble.
Usar una solución para hallar la otra
Si conoces una solución, puedes averiguar mucho sin resolver toda la ecuación. Hay dos herramientas: sustituir la solución conocida y usar la suma y el producto de las raíces.
Sabiendo que una de las soluciones de la ecuación $2x^2 + bx - 15 = 0$ es $x_1 = 3$, calcule sin resolver completamente la ecuación el valor de la otra solución $x_2$ y…
Sabiendo que una de las soluciones de la ecuación $2x^2 + bx - 15 = 0$ es $x_1 = 3$, calcule sin resolver completamente la ecuación el valor de la otra solución $x_2$ y el valor del coeficiente $b$.
Ecuaciones con un parámetro
A veces una ecuación tiene una letra extra, un parámetro como $m$ o $k$. Se te pide cuántas soluciones reales hay para cada valor del parámetro. El discriminante es la clave, con una advertencia más: si $a$ depende del parámetro, revisa por separado el valor que hace $a = 0$. Con ese valor la ecuación ya no es cuadrática.
Discuta, en función de los diferentes valores del parámetro $m$, el número de soluciones reales que tiene la siguiente ecuación de segundo grado:…
Discuta, en función de los diferentes valores del parámetro $m$, el número de soluciones reales que tiene la siguiente ecuación de segundo grado:
$mx^2 - 2(m-1)x + m = 0$
Asegúrese de analizar qué ocurre cuando el discriminante es positivo, nulo o negativo, y no olvide el caso especial en el que el coeficiente principal se anula.
Problemas con palabras y cuadráticas
Los modelos cuadráticos aparecen cuando algo se multiplica por sí mismo o por una cantidad relacionada: áreas, movimiento de proyectiles, ganancias. Usa el mismo plan cada vez.
Volvamos al cohete de Mateo. Aquí está la gráfica de su altura junto con la recta $h = 32$.
Volviendo al cohete de Mateo: en efecto llega a 32 ft dos veces, una al subir y otra al bajar. El punto más alto está en $t = 1.5$ s, justo a la mitad entre las dos respuestas.
El cuadrado de un número natural menos su triple es exactamente igual a $18$. Plantee una ecuación de segundo grado y calcule de qué número se trata.
El cuadrado de un número natural menos su triple es exactamente igual a $18$. Plantee una ecuación de segundo grado y calcule de qué número se trata.
Un ingeniero aeroespacial lanza un cohete de prueba. La altura $h$ (en pies) alcanzada por el cohete en función del tiempo $t$ (en segundos) viene dada por la expresión…
Un ingeniero aeroespacial lanza un cohete de prueba. La altura $h$ (en pies) alcanzada por el cohete en función del tiempo $t$ (en segundos) viene dada por la expresión $h(t) = 40t - 5t^2$. Determine en qué instantes de tiempo el cohete se encuentra exactamente a $75\text{ m}$ de altura.
Una empresa que fabrica scooters eléctricos ha determinado que sus beneficios diarios $B$ (en cientos de dólares) dependen del número de scooters fabricados $x$ según la…
Una empresa que fabrica scooters eléctricos ha determinado que sus beneficios diarios $B$ (en cientos de dólares) dependen del número de scooters fabricados $x$ según la ecuación $B(x) = -x^2 + 50x - 400$. Calcule cuántos scooters deben fabricar exactamente para que el beneficio sea nulo (el punto de equilibrio de la empresa).
Problemas de geometría
Dibuja la figura, rotula los lados con la misma variable y usa una fórmula de área o el teorema de Pitágoras.
Para remodelar la sala rectangular de una vivienda, el arquitecto indica que el largo mide $2\text{ m}$ más que el ancho. Si la superficie total de la sala es de…
Para remodelar la sala rectangular de una vivienda, el arquitecto indica que el largo mide $2\text{ m}$ más que el ancho. Si la superficie total de la sala es de $35\text{ m}^2$, plantee una ecuación de segundo grado y calcule las dimensiones exactas de la sala.
En una rampa de patinaje con forma de triángulo rectángulo, el cateto mayor mide $7\text{ m}$ más que el cateto menor, y la hipotenusa mide $2\text{ m}$ más que el…
En una rampa de patinaje con forma de triángulo rectángulo, el cateto mayor mide $7\text{ m}$ más que el cateto menor, y la hipotenusa mide $2\text{ m}$ más que el cateto mayor. Plantee una ecuación de segundo grado utilizando el teorema de Pitágoras y calcule la longitud de los tres lados de la rampa.
Una fotografía rectangular de dimensiones $20\text{ cm}$ de base por $15\text{ cm}$ de altura se va a enmarcar con un paspartú de anchura uniforme $x$. Si el área total…
Una fotografía rectangular de dimensiones $20\text{ cm}$ de base por $15\text{ cm}$ de altura se va a enmarcar con un paspartú de anchura uniforme $x$. Si el área total del conjunto (fotografía más paspartú) debe ser exactamente de $500\text{ cm}^2$, plantee una ecuación de segundo grado y calcule la anchura $x$ del paspartú.
Problemas con una fórmula o una razón
A veces el problema te da una fórmula y un valor, y debes despejar la entrada. Otras veces da una razón. Escribe la razón como dos fracciones iguales y multiplica en cruz: si $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$, entonces $ad = bc$.
El número de diagonales de un polígono de $n$ lados es $\frac{n(n-3)}{2}$. La gráfica de abajo muestra esto junto con la recta en $20$ diagonales.
En una liga de voleibol, cada equipo juega exactamente un partido contra todos los demás. Sabiendo que el número total de partidos disputados en un torneo de $n$ equipos…
En una liga de voleibol, cada equipo juega exactamente un partido contra todos los demás. Sabiendo que el número total de partidos disputados en un torneo de $n$ equipos viene dado por la fórmula $\frac{n(n-1)}{2}$, y que al finalizar la temporada se han disputado un total de $105$ partidos, plantee la ecuación correspondiente y determine cuántos equipos participaron en la liga.
Un escultor quiere dividir una varilla de latón de $1\text{ metro}$ de longitud en dos pedazos de longitudes $x$ y $1-x$ (siendo $x$ el pedazo mayor, es decir,…
Un escultor quiere dividir una varilla de latón de $1\text{ metro}$ de longitud en dos pedazos de longitudes $x$ y $1-x$ (siendo $x$ el pedazo mayor, es decir, $x > 1-x$). Desea hacerlo de tal forma que la proporción entre la varilla completa y el pedazo mayor sea igual a la proporción entre el pedazo mayor y el pedazo menor. Plantee la ecuación correspondiente y halle el valor exacto de $x$.
Ecuaciones con fracciones
Algunos problemas las llaman fracciones algebraicas. En EE. UU. son ecuaciones racionales. Para resolverlas, elimina los denominadores y muchas veces llegarás a una cuadrática.
Resuelva la siguiente ecuación operando previamente con fracciones algebraicas. Asegúrese de comprobar las soluciones obtenidas para descartar posibles raíces falsas que…
Resuelva la siguiente ecuación operando previamente con fracciones algebraicas. Asegúrese de comprobar las soluciones obtenidas para descartar posibles raíces falsas que anulen los denominadores:
$\frac{x}{x-2} + \frac{2x}{x+2} = \frac{16}{x^2-4}$
Dos mangueras de distinto grosor llenan juntas un tanque de agua en $6\text{ horas}$. Si se utilizara solo una de ellas, la manguera de menor grosor tardaría…
Dos mangueras de distinto grosor llenan juntas un tanque de agua en $6\text{ horas}$. Si se utilizara solo una de ellas, la manguera de menor grosor tardaría $5\text{ horas}$ más que la manguera gruesa en llenar el tanque por sí sola. Plantee una ecuación cuadrática sumando las fracciones de tanque que llena cada manguera en una hora, y calcule cuánto tiempo tardaría cada manguera trabajando individualmente.
Un grupo de estudiantes alquila un autobús para una excursión por un costo total de $400\text{ \$}$. A última hora se apuntan $5…
Un grupo de estudiantes alquila un autobús para una excursión por un costo total de $400\text{ \$}$. A última hora se apuntan $5$ estudiantes más al viaje, lo que hace que cada uno de los que iban a ir inicialmente tenga que pagar $4\text{ \$}$ menos. Plantee una ecuación cuadrática para calcular cuántos estudiantes iban a ir al principio y resuélvala.
Ecuaciones con radicales
Cuando la variable está bajo una raíz cuadrada, aísla el radical y luego eleva ambos lados al cuadrado. Eso normalmente da una cuadrática. Elevar al cuadrado puede crear respuestas de más, así que debes comprobar.
Las dos gráficas de arriba, $y = \sqrt{x + 6}$ y $y = x$, se cruzan en un solo punto, aunque al elevar al cuadrado salgan dos candidatos.
Resuelva la siguiente ecuación en la que aparece un radical, aislando primero la raíz y elevando al cuadrado ambos miembros. Es obligatorio comprobar las soluciones…
Resuelva la siguiente ecuación en la que aparece un radical, aislando primero la raíz y elevando al cuadrado ambos miembros. Es obligatorio comprobar las soluciones obtenidas en la ecuación original para descartar posibles raíces falsas:
$\sqrt{2x + 7} - x = 2$
Ecuaciones de forma cuadrática
Algunas ecuaciones tienen $x^4$ y $x^2$ y ninguna otra potencia. Algunos problemas las llaman ecuaciones bicuadráticas. En EE. UU. se dice que son de forma cuadrática (quadratic in form). Sustituye $u = x^2$ y obtendrás una cuadrática normal en $u$.
El área de un rectángulo es de $60\text{ cm}^2$ y la longitud de su diagonal es de $13\text{ cm}$. Llamando $x$ a la base e $y$ a la altura, exprese $y$ en función de…
El área de un rectángulo es de $60\text{ cm}^2$ y la longitud de su diagonal es de $13\text{ cm}$. Llamando $x$ a la base e $y$ a la altura, exprese $y$ en función de $x$ usando el dato del área. A continuación, sustituya en el teorema de Pitágoras para la diagonal y resuelva la ecuación bicuadrada resultante para hallar las dimensiones exactas del rectángulo.