Ejercicios: Media, mediana y moda

En un experimento de botánica, se ha medido el número de hojas de $8$ plantas de una misma especie tras dos semanas de crecimiento. Los resultados obtenidos son: $12, 15, 14, 12, 16, 12, 18, 13$.

Calcule la media aritmética, la mediana y la moda de estos datos.

Las edades de los participantes en un taller de robótica se resumen en la siguiente tabla de frecuencias:

• $14$ años: $5$ personas

• $15$ años: $8$ personas

• $16$ años: $4$ personas

• $17$ años: $3$ personas

Determine la edad media, la edad mediana y la moda.

En una prueba de control de calidad, se mide el tiempo en segundos que tarda una computadora en arrancar. Se obtienen los siguientes tiempos: $12, 11, 13, 12, 14, 85$.

Calcule la media y la mediana. ¿Cuál de las dos medidas representa mejor la tendencia central de estos datos? Justifique su respuesta.

Un estudiante de 10.º grado ha realizado cinco exámenes de matemáticas a lo largo del trimestre. Sus notas en los cuatro primeros son: $6, 7, 5$ y $8$.

Si quiere que su nota media exacta sea un $7$, ¿qué calificación debe obtener en el quinto examen?

Se ha preguntado a $20$ personas por su color favorito para el diseño de la interfaz de una nueva aplicación móvil. Los resultados son:

• Azul: $8$ personas

• Verde: $5$ personas

• Rojo: $4$ personas

• Amarillo: $3$ personas

Indique cuál es la moda. ¿Tiene sentido calcular la media o la mediana en este caso? Razone su respuesta.

Dadas las siguientes dos series de datos referentes al número de libros leídos en un año por dos grupos de jóvenes:

• Serie A: $2, 4, 5, 7, 9$

• Serie B: $1, 3, 4, 6, 8, 10$

Halle la mediana para cada una de las series y explique la diferencia en el procedimiento de cálculo al tener un número par o impar de datos.

El siguiente diagrama de barras muestra el número de hermanos que tienen los alumnos de una clase.

A partir del gráfico, construya la tabla de frecuencias y calcule la moda y la media aritmética.

La media de las alturas de un equipo de baloncesto de $10$ jugadores es de $192 \text{ cm}$.

Si todos los jugadores deciden usar un modelo de tenis especiales que aumentan su altura en $4 \text{ cm}$, ¿cuál será la nueva altura media del equipo? ¿Cambiará la moda si existía una altura más frecuente?

En un estudio sobre el consumo de agua en una comunidad, se ha registrado el gasto mensual en metros cúbicos ($m^3$) de varias viviendas, agrupado en los siguientes intervalos:

• $[0, 10)$: $12$ viviendas

• $[10, 20)$: $25$ viviendas

• $[20, 30)$: $18$ viviendas

• $[30, 40)$: $5$ viviendas

Calcule el consumo medio de agua e indique cuál es la clase modal.

La calificación final de la asignatura de Física se calcula mediante una media ponderada. Las prácticas de laboratorio valen un $20\%$, los trabajos de investigación un $30\%$ y el examen final un $50\%$.

Si una alumna tiene un $8$ en las prácticas, un $6$ en los trabajos y un $7,5$ en el examen final, calcule su nota media final.

En una zapatería se ha registrado el número de pares vendidos según la talla durante un fin de semana. La talla media vendida ha sido $39,5$. Conociendo los siguientes datos, determine el número de pares vendidos de la talla $40$ (representado por $f$).

• Talla $38$: $4$ pares

• Talla $39$: $8$ pares

• Talla $40$: $f$ pares

• Talla $41$: $5$ pares

Se ha medido la masa en libras de un grupo de $40$ paquetes en una oficina de correos, obteniendo la siguiente distribución:

• $[0, 5)$: $6$ paquetes

• $[5, 10)$: $14$ paquetes

• $[10, 15)$: $12$ paquetes

• $[15, 20)$: $8$ paquetes

Encuentre el intervalo donde se sitúa la mediana y estime su valor exacto utilizando la fórmula de interpolación lineal.

Una empresa de logística tiene dos plantas industriales. En la planta de Houston trabajan $45$ operarios con un salario medio de $1800 \text{ \$}$. En la planta de Chicago trabajan $30$ operarios con un salario medio de $2100 \text{ \$}$.

Calcule el salario medio de todos los operarios de la empresa en su conjunto.

El siguiente histograma representa el tiempo (en minutos) que dedican al día un grupo de personas a hacer deporte.

Calcule el tiempo medio dedicado al deporte a partir de las marcas de clase extraídas del gráfico.

Al calcular la media de las calificaciones de $25$ alumnos, el profesor obtuvo un $6,4$. Posteriormente, revisando los exámenes, se dio cuenta de que había anotado por error un $3$ a un alumno cuya nota real era un $8$.

Calcule la nueva media correcta sin necesidad de conocer todas las notas individuales.

En una pequeña empresa tecnológica, los salarios mensuales de sus $7$ empleados son:

$1200 \text{ \$}, 1250 \text{ \$}, 1300 \text{ \$}, 1200 \text{ \$}, 1400 \text{ \$}, 1350 \text{ \$}, 8500 \text{ \$}$.

Calcule la media y la mediana. Redacte un breve texto explicando a los futuros empleados cuál de las dos medidas representa de forma más realista el sueldo habitual que van a cobrar y por qué.

En un centro médico se ha registrado el nivel de colesterol de $50$ pacientes. La media aritmética de la distribución es $194 \text{ mg/dL}$. En la tabla se han borrado accidentalmente dos frecuencias, $f_1$ y $f_2$.

• $[160, 180)$: $10$ pacientes

• $[180, 200)$: $f_1$ pacientes

• $[200, 220)$: $f_2$ pacientes

• $[220, 240)$: $8$ pacientes

Plantee y resuelva un sistema de ecuaciones para encontrar las frecuencias absolutas $f_1$ y $f_2$.

Sea una variable estadística $X$ con media $\bar{x} = 15$. Se define una nueva variable $Y$ mediante la transformación lineal $y_i = 3x_i - 4$.

Demuestre algebraicamente, aplicando las propiedades del sumatorio y de la media aritmética, que la media de la nueva variable es $\bar{y} = 3\bar{x} - 4$, y calcule su valor numérico.

Un inversor compra acciones de una compañía durante tres meses consecutivos. El primer mes compra $n$ acciones a un precio medio de $12 \text{ \$}$. El segundo mes compra el doble de acciones que el primer mes a un precio medio de $15 \text{ \$}$. El tercer mes compra $50$ acciones a $10 \text{ \$}$.

Si el precio medio global de todas las acciones compradas en los tres meses es de $13 \text{ \$}$, ¿cuántas acciones compró en el primer mes?

En la evaluación de una asignatura, la nota final se calcula con tres componentes:

• Examen parcial (peso $30\%$)

• Trabajo de investigación (peso $20\%$)

• Examen final (peso $50\%$)

Un estudiante tiene un $4,5$ en el parcial y un $6$ en el trabajo. La nota del examen final debe ser un número entero o con un solo decimal exacto. ¿Cuál es la nota mínima que debe sacar en el examen final para que su media ponderada sea al menos de $5,0$? Si la nota máxima es $10$, ¿es posible que alcance una media de $8,0$?

Se tiene un conjunto de cinco números enteros positivos ordenados de menor a mayor: $a, b, c, d, e$.

Se sabe que cumplen simultáneamente las siguientes condiciones:

• La moda es $4$.

• La mediana es $5$.

• La media aritmética es $6$.

• El rango (diferencia entre el mayor y el menor) es $7$.

Determine el valor exacto de los cinco números, razonando paso a paso su respuesta.

El siguiente polígono de frecuencias acumuladas (ojiva) muestra la distribución de las marcas obtenidas por un grupo de $100$ atletas en la prueba de salto de longitud.

A partir del gráfico, estime el valor de la mediana. Si los datos se agruparan en una tabla de frecuencias con los intervalos del eje horizontal, ¿cuál sería la clase modal? Justifique sus respuestas basándose en las pendientes del gráfico.

La media de un conjunto de $n$ datos es $\bar{x}$. Si añadimos un nuevo dato de valor $D$, la nueva media aumenta en $2$ unidades. Si en lugar de $D$, añadimos un dato de valor $D - 15$, la nueva media disminuye en $1$ unidad respecto a la media original $\bar{x}$.

Plantee las ecuaciones correspondientes y calcule el número de datos original $n$.

Una aleación metálica está compuesta por dos metales $A$ y $B$. La densidad del metal $A$ es de $3 \text{ g/cm}^3$ y la del metal $B$ es de $8 \text{ g/cm}^3$.

Si la densidad media de la aleación resultante es de $6 \text{ g/cm}^3$, ¿qué porcentaje del volumen total de la aleación corresponde al metal $B$? (Tenga en cuenta que la densidad media de una aleación se comporta como la media ponderada de las densidades de sus componentes respecto a sus fracciones de volumen).