Ecuaciones y sistemas · Ecuaciones, inecuaciones y sistemas
Sistemas de ecuaciones no lineales
Tienes 28 pies de cerca y quieres un cantero rectangular para un jardín con exactamente 48 pies cuadrados de tierra. ¿Cuánto debe medir de largo y de ancho? Otra vez tienes dos incógnitas y dos ecuaciones, pero ahora una de las ecuaciones tiene un producto de las incógnitas en lugar de una suma. Eso hace que el sistema sea no lineal, y necesitamos un conjunto de herramientas un poco distinto.
Qué hace que un sistema sea no lineal
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Resuelva el sistema formado por una ecuación lineal y una cuadrática: $x - y = 2$ $x^2 + y^2 = 34$
Resuelva el sistema formado por una ecuación lineal y una cuadrática:
Cada ecuación de un sistema tiene una gráfica, y una solución es un punto que está en ambas gráficas. Una ecuación lineal tiene como gráfica una recta. Una ecuación como $y=x^2-4x$ tiene como gráfica una parábola. Así que un sistema de recta y parábola pregunta: ¿dónde se cruzan?
Si ambas ecuaciones ya están despejadas en $y$, iguala las dos expresiones. Por ejemplo, $y=x^2-2x-3$ y $y=x+1$ dan $x^2-2x-3=x+1$, así que $x^2-3x-4=0$, es decir, $(x-4)(x+1)=0$. Entonces $x=4$ o $x=-1$, y los puntos son $(4, 5)$ y $(-1, 0)$.
Mueve los deslizadores y observa cómo la recta corta a la parábola.
Después de sustituir, obtienes una ecuación cuadrática, y su discriminante $b^2-4ac$ te dice cuántas soluciones reales hay:
Discriminante
Soluciones
Gráfica
$b^2-4ac>0$
dos
la recta corta la parábola dos veces
$b^2-4ac=0$
una
la recta solo toca la parábola (tangente)
$b^2-4ac<0$
ninguna
la recta no toca la parábola
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Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones no lineales: $y = x^2 - 4x$ $y = x - 6$
Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones no lineales:
A veces la parte no lineal es una fracción o un radical. Primero convierte la ecuación en una ecuación polinomial y luego sustituye como de costumbre.
Fracciones. Multiplica ambos lados por el mínimo común denominador para eliminar los denominadores. Una razón como $\dfrac{x}{y}=2$ se convierte en $x=2y$ (con $y\neq0$). Por ejemplo, con $\dfrac{x}{y}=2$ y $x^2+y^2=20$: sustituye $x=2y$ para obtener $4y^2+y^2=20$, así que $y^2=4$ y $y=\pm2$. Las soluciones son $(4,2)$ y $(-4,-2)$.
Radicales. Aísla el radical, eleva al cuadrado ambos lados y comprueba cada respuesta. Elevar al cuadrado puede crear respuestas que no satisfacen la ecuación original (soluciones extrañas).
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Encuentre la solución del sistema: $\frac{x}{y} = 3$ $x^2 - y^2 = 32$
Para plantear un problema de enunciado, elige las variables y traduce cada oración a una ecuación. Estas son algunas traducciones comunes.
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La suma de los cuadrados de dos números es $25$, y uno de ellos es $1$ unidad menor que el otro. Plantee un sistema de ecuaciones y encuentre los números.
La suma de los cuadrados de dos números es $25$, y uno de ellos es $1$ unidad menor que el otro. Plantee un sistema de ecuaciones y encuentre los números.
Un número está formado por dos cifras. El producto de dichas cifras es $18$. Si a ese número se le restan $27$ unidades, se obtiene otro número con las mismas cifras…
Un número está formado por dos cifras. El producto de dichas cifras es $18$. Si a ese número se le restan $27$ unidades, se obtiene otro número con las mismas cifras pero en orden inverso. ¿Cuál es el número original? (Recuerde que un número de dos cifras $xy$ se expresa algebraicamente como $10x + y$).
Geometría: perímetro, área y el teorema de Pitágoras
En los problemas de geometría, el perímetro suele dar una ecuación lineal, mientras que el área (o el teorema de Pitágoras) da una no lineal.
Volvamos al principio: el cantero del jardín debe medir 6 ft por 8 ft.
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El área de una alfombra rectangular es de $6 \text{ m}^2$ y su perímetro mide $10 \text{ m}$. Plantee un sistema de ecuaciones no lineales y calcule las dimensiones de…
El área de una alfombra rectangular es de $6 \text{ m}^2$ y su perímetro mide $10 \text{ m}$. Plantee un sistema de ecuaciones no lineales y calcule las dimensiones de la alfombra.
La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide $13 \text{ cm}$. Se sabe que uno de los catetos mide $7 \text{ cm}$ más que el otro. Plantee un sistema de ecuaciones no…
La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide $13 \text{ cm}$. Se sabe que uno de los catetos mide $7 \text{ cm}$ más que el otro. Plantee un sistema de ecuaciones no lineales para calcular la longitud de los dos catetos.
El área de un rombo es de $24 \text{ cm}^2$ y la suma de las longitudes de sus diagonales es $14 \text{ cm}$. Determine la longitud de ambas diagonales planteando un…
El área de un rombo es de $24 \text{ cm}^2$ y la suma de las longitudes de sus diagonales es $14 \text{ cm}$. Determine la longitud de ambas diagonales planteando un sistema de ecuaciones.
En algunos problemas cambia una figura: un lado se acorta, otro se alarga o se añade un borde alrededor. Entonces tienes una ecuación original y una ecuación nueva. Desarrolla la nueva y sustituye la original para simplificarla.
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Una parcela rectangular tiene un área de $600 \text{ m}^2$. Si se reduce su largo en $5 \text{ m}$ y se aumenta su ancho en $5 \text{ m}$, el área sigue siendo la misma.…
Una parcela rectangular tiene un área de $600 \text{ m}^2$. Si se reduce su largo en $5 \text{ m}$ y se aumenta su ancho en $5 \text{ m}$, el área sigue siendo la misma. Calcule las dimensiones originales de la parcela.
En un parque se va a construir una zona de juegos rectangular rodeada por un camino de césped artificial de $1 \text{ m}$ de ancho en todo su perímetro. El área de la…
En un parque se va a construir una zona de juegos rectangular rodeada por un camino de césped artificial de $1 \text{ m}$ de ancho en todo su perímetro. El área de la zona de juegos debe ser de $48 \text{ m}^2$ y el área total (zona de juegos más camino) debe ser de $96 \text{ m}^2$. Plantee un sistema de ecuaciones para hallar las dimensiones de la zona de juegos.
Un envase cilíndrico cerrado tiene un área total (área lateral más las dos bases) de $150\pi \text{ cm}^2$. Se sabe además que la suma del radio de la base y la altura…
Un envase cilíndrico cerrado tiene un área total (área lateral más las dos bases) de $150\pi \text{ cm}^2$. Se sabe además que la suma del radio de la base y la altura del cilindro es de $15 \text{ cm}$. Calcule el radio y la altura del envase. (Recuerde que el área total de un cilindro es $A = 2\pi r^2 + 2\pi rh$).
Muchos problemas de enunciado siguen un mismo patrón: (número de personas) × (precio de cada una) = total. Cuando el grupo cambia pero el total sigue igual, obtienes una segunda ecuación. Los problemas de distancia funcionan igual: tasa × tiempo = distancia.
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Un grupo de estudiantes compra un regalo para un compañero por $\$120$, a pagar a partes iguales. A última hora se unen $2…
Un grupo de estudiantes compra un regalo para un compañero por $\$120$, a pagar a partes iguales. A última hora se unen $2$ estudiantes más, lo que hace que cada uno de los iniciales ponga $\$3$ menos. ¿Cuántos estudiantes había al principio y cuánto pagaba cada uno?
Una agencia de viajes organiza una excursión por un costo total de $\$600$. Poco antes de salir, $5$ personas cancelan su viaje, lo que obliga a los demás a pagar $\$4$…
Una agencia de viajes organiza una excursión por un costo total de $\$600$. Poco antes de salir, $5$ personas cancelan su viaje, lo que obliga a los demás a pagar $\$4$ más a cada uno para cubrir el costo total. ¿Cuántas personas fueron finalmente a la excursión y cuánto pagó cada una?
Un ciclista recorre una distancia de $120 \text{ km}$ a velocidad constante. Si hubiera viajado $5 \text{ km/h}$ más rápido, habría tardado $2$ horas menos en completar…
Un ciclista recorre una distancia de $120 \text{ km}$ a velocidad constante. Si hubiera viajado $5 \text{ km/h}$ más rápido, habría tardado $2$ horas menos en completar el mismo recorrido. Plantee un sistema de ecuaciones para calcular la velocidad del ciclista y el tiempo que tardó.
Un sistema no lineal puede dar varias soluciones matemáticas, pero no todas encajan con la situación. También puede no tener ninguna solución real.
Cuando un problema de enunciado da un discriminante negativo, revisa primero cómo lo planteaste (un número mal leído es la causa habitual). Si el planteamiento es correcto, indica claramente que la situación es imposible.
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El producto de dos números enteros positivos es $156$ y uno de ellos es el consecutivo del otro. Plantee un sistema de ecuaciones y encuentre dichos números.
El producto de dos números enteros positivos es $156$ y uno de ellos es el consecutivo del otro. Plantee un sistema de ecuaciones y encuentre dichos números.