Cómo resolver desigualdades en una variable
Aaliyah lanza una pelota hacia arriba. Su altura en pies después de $t$ segundos es $h = -16t^2 + 40t + 4$. ¿Durante cuánto tiempo está la pelota a más de 28 ft de altura, donde una cámara en un dron está grabando? Eso es una desigualdad (también llamada inecuación), no una ecuación, y tiene todo un conjunto de respuestas. En esta página armarás una sola caja de herramientas para todos los tipos de desigualdades en una variable: lineales, cuadráticas, de grado mayor, racionales y de valor absoluto.
Desigualdades lineales
Una desigualdad lineal se resuelve como una ecuación lineal, con una regla nueva. La respuesta suele ser todo un intervalo de números, así que la graficamos en una recta numérica y la escribimos en notación de intervalos.
Un círculo abierto (o un paréntesis) significa que el extremo no está incluido, así que va con $<$ y $>$. Un círculo cerrado (o un corchete) significa que sí está incluido, así que va con $\le$ y $\ge$. El infinito siempre lleva paréntesis.
Resuelva la siguiente inecuación de primer grado: $3(x - 2) + 4 \leq 5x - 8$. Exprese la solución en forma de intervalo.
Resuelva la siguiente inecuación de primer grado: $3(x - 2) + 4 \leq 5x - 8$. Exprese la solución en forma de intervalo.
Resuelva la inecuación con denominadores: $\frac{x}{2} - \frac{x-1}{3} > 1$.
Resuelva la inecuación con denominadores: $\frac{x}{2} - \frac{x-1}{3} > 1$.
Resuelva la siguiente inecuación prestando atención a los signos negativos delante de las fracciones: $\frac{2x - 1}{4} - \frac{3x + 2}{6} \geq \frac{x - 5}{3} - 1$.
Resuelva la siguiente inecuación prestando atención a los signos negativos delante de las fracciones: $\frac{2x - 1}{4} - \frac{3x + 2}{6} \geq \frac{x - 5}{3} - 1$.
Desigualdades cuadráticas
En $x^2 - x - 6 > 0$ el lado izquierdo es una parábola. Queremos los valores de $x$ donde la parábola está por encima del eje $x$. Una gráfica continua solo puede pasar de positiva a negativa cruzando el eje, así que los ceros dividen la recta numérica en partes donde el signo nunca cambia.
Una cuadrática sin término en $x$, como $x^2 \ge 9$, se resuelve sin factorizar despejando $x^2$. Algunos problemas la llaman cuadrática incompleta. Los ceros son $x = \pm 3$.
Encuentre los valores de $x$ que verifican la inecuación de segundo grado, la cual ya se presenta factorizada: $(x - 4)(x + 2) < 0$.
Encuentre los valores de $x$ que verifican la inecuación de segundo grado, la cual ya se presenta factorizada: $(x - 4)(x + 2) < 0$.
Resuelva la siguiente inecuación incompleta de segundo grado y represente su solución en la recta real: $2x^2 - 18 \geq 0$.
Resuelva la siguiente inecuación incompleta de segundo grado y represente su solución en la recta real: $2x^2 - 18 \geq 0$.
Halle el intervalo solución de la inecuación de segundo grado: $x^2 - 5x + 6 \leq 0$.
Halle el intervalo solución de la inecuación de segundo grado: $x^2 - 5x + 6 \leq 0$.
Desigualdades de grado mayor: primero factoriza
La misma idea funciona para $x^3$, $x^4$ y más. Factoriza por completo y luego estudia el signo del producto en cada parte de la recta numérica.
Resuelva la inecuación polinómica de grado superior sacando factor común previamente: $x^3 - 4x^2 - 5x \leq 0$.
Resuelva la inecuación polinómica de grado superior sacando factor común previamente: $x^3 - 4x^2 - 5x \leq 0$.
Los beneficios mensuales de una fábrica de scooters eléctricos, expresados en miles de dólares, vienen dados por la función $B(x) = -x^3 + 10x^2 - 16x$, donde $x$…
Los beneficios mensuales de una fábrica de scooters eléctricos, expresados en miles de dólares, vienen dados por la función $B(x) = -x^3 + 10x^2 - 16x$, donde $x$ representa el número de cientos de scooters fabricados. ¿Cuántos scooters deben fabricarse para que la empresa no tenga pérdidas (es decir, para que $B(x) \geq 0$)?
Desigualdades racionales
Cuando $x$ está en un denominador, el signo de la fracción depende del signo del numerador y del denominador. Los signos de los cocientes siguen las mismas reglas que los de los productos.
Mira la gráfica de $y = \dfrac{x-1}{x+3}$. Toca el eje $x$ en $x = 1$ y tiene una asíntota vertical en $x = -3$. Está por encima del eje en las dos partes de los extremos y por debajo en medio.
Resuelva la inecuación racional sencilla estudiando el signo del numerador y del denominador: $\frac{x-3}{x+1} \leq 0$.
Resuelva la inecuación racional sencilla estudiando el signo del numerador y del denominador: $\frac{x-3}{x+1} \leq 0$.
Resuelva la inecuación racional: $\frac{2x + 1}{x - 2} > 3$. Recuerde pasar todos los términos a un miembro y operar para obtener un único cociente antes de estudiar los…
Resuelva la inecuación racional: $\frac{2x + 1}{x - 2} > 3$. Recuerde pasar todos los términos a un miembro y operar para obtener un único cociente antes de estudiar los signos.
Desigualdades racionales más difíciles
A veces el numerador y el denominador son cuadráticas, o la desigualdad tiene varias fracciones que debes sumar primero. Los pasos son los mismos: una fracción en un lado, $0$ en el otro, factorizar y luego hacer una tabla de signos.
Resuelva la inecuación racional en la que el numerador y el denominador son polinomios de segundo grado: $\frac{x^2 - 2x - 8}{x^2 - 9} \leq 0$.
Resuelva la inecuación racional en la que el numerador y el denominador son polinomios de segundo grado: $\frac{x^2 - 2x - 8}{x^2 - 9} \leq 0$.
Resuelva la siguiente inecuación racional, realizando las sumas algebraicas necesarias para expresarla como un único cociente antes de estudiar los signos:…
Resuelva la siguiente inecuación racional, realizando las sumas algebraicas necesarias para expresarla como un único cociente antes de estudiar los signos: $\frac{1}{x} + \frac{1}{x+2} \geq \frac{3}{4}$.
Desigualdades con valor absoluto
El valor absoluto $|x - 4|$ es la distancia de $x$ a $4$ en la recta numérica. Así que $|x - 4| < 3$ pide los números a menos de $3$ unidades de $4$, y $|x - 4| > 3$ pide los números a más de $3$ unidades de distancia.
Resuelva la inecuación con valor absoluto y exprese su solución como unión de intervalos: $|2x - 5| \geq 7$.
Resuelva la inecuación con valor absoluto y exprese su solución como unión de intervalos: $|2x - 5| \geq 7$.
Resuelva la inecuación con valor absoluto que incluye expresiones fraccionarias: $\left| \frac{3x - 1}{2} \right| < 4$.
Resuelva la inecuación con valor absoluto que incluye expresiones fraccionarias: $\left| \frac{3x - 1}{2} \right| < 4$.
Sistemas de desigualdades en una variable
Un sistema pide todas sus condiciones al mismo tiempo. Resuelve cada desigualdad por separado y luego toma la intersección: los números que pertenecen a todos los conjuntos solución. Una doble desigualdad como $-2 \le 3x + 1 < 7$ también es un sistema, "$-2 \le 3x + 1$ y $3x + 1 < 7$". Se resuelve trabajando en las tres partes: $-3 \le 3x < 6$, así que $-1 \le x < 2$.
Resuelva el siguiente sistema de inecuaciones con una incógnita y exprese la solución como un único intervalo: $2x - 3 < 5$ $3x + 1 \geq -2$
Resuelva el siguiente sistema de inecuaciones con una incógnita y exprese la solución como un único intervalo:
$2x - 3 < 5$
$3x + 1 \geq -2$
Resuelva el siguiente sistema de inecuaciones y explique qué particularidad tiene su conjunto solución: $x^2 - 4x + 4 \leq 0$ $2x - 1 > 0$
Resuelva el siguiente sistema de inecuaciones y explique qué particularidad tiene su conjunto solución:
$x^2 - 4x + 4 \leq 0$
$2x - 1 > 0$
Estudie y resuelva el siguiente sistema formado por una inecuación de primer grado y otra de segundo grado: $3x - 5 \leq x + 1$ $x^2 - 7x + 10 > 0$
Estudie y resuelva el siguiente sistema formado por una inecuación de primer grado y otra de segundo grado:
$3x - 5 \leq x + 1$
$x^2 - 7x + 10 > 0$
Problemas verbales con desigualdades lineales
Para resolver un problema verbal, define la variable, traduce las palabras a una desigualdad, resuélvela y luego pregúntate si la respuesta tiene sentido (números enteros, cantidades positivas).
| Palabras | Símbolo |
|---|---|
| más que, excede, mayor que | $>$ |
| al menos, mínimo, no menos de | $\ge$ |
| menos que, menor que, bajo | $<$ |
| como máximo, máximo, no más de, no excede | $\le$ |
Si la incógnita debe ser un número natural ($1, 2, 3, \dots$), haz una lista de los valores que caben en tu intervalo. Por ejemplo, si $n < 4.5$, entonces $n = 1, 2, 3, 4$.
La suma del doble de un número natural y $5$ es estrictamente menor que $17$. Plantee la inecuación correspondiente y halle todos los números naturales que la cumplen.
La suma del doble de un número natural y $5$ es estrictamente menor que $17$. Plantee la inecuación correspondiente y halle todos los números naturales que la cumplen.
Una pequeña empresa de artesanía tiene unos gastos fijos mensuales de $\$300$ y producir cada pulsera de cuero le cuesta $\$2$. Si vende cada pulsera a $\$5…
Una pequeña empresa de artesanía tiene unos gastos fijos mensuales de $\$300$ y producir cada pulsera de cuero le cuesta $\$2$. Si vende cada pulsera a $\$5$, ¿cuántas pulseras debe vender como mínimo al mes para empezar a obtener beneficios? Plantee y resuelva la inecuación.
Una camioneta de reparto consume $8$ galones de combustible cada $100 \text{ km}$ en carretera y $12$ galones cada $100 \text{ km}$ en ciudad. Si en un trayecto de…
Una camioneta de reparto consume $8$ galones de combustible cada $100 \text{ km}$ en carretera y $12$ galones cada $100 \text{ km}$ en ciudad. Si en un trayecto de $500 \text{ km}$ en total ha consumido menos de $45$ galones, ¿cuántas millas como máximo ha podido recorrer por ciudad?
Modelos con cuadráticas y sistemas
Los modelos cuadráticos describen objetos lanzados, áreas y ganancias. Plantea la desigualdad, resuélvela con los ceros de una parábola y luego conserva solo las respuestas que tienen sentido en el contexto.
Volvamos al comienzo: la pelota de Aaliyah se mantiene por encima de 28 ft solo medio segundo, entre $t = 1$ y $t = 1.5$ segundos, así que el dron tiene que ser rápido.
Algunos problemas dan varias condiciones a la vez, lo que forma un sistema. Para los lados de un triángulo, la desigualdad triangular dice que la suma de dos lados cualesquiera debe ser estrictamente mayor que el tercero.
Se quiere construir un jardín rectangular de modo que su largo sea $4$ pies mayor que su ancho $x$. Si se dispone de suficiente abono para cubrir como máximo…
Se quiere construir un jardín rectangular de modo que su largo sea $4$ pies mayor que su ancho $x$. Si se dispone de suficiente abono para cubrir como máximo $45 \text{ m}^2$, plantee una inecuación y determine los posibles valores que puede tomar el ancho $x$.
Se lanza un cohete de agua verticalmente hacia arriba en un experimento escolar. Su altura $h$ en pies en función del tiempo $t$ en segundos viene dada por la expresión…
Se lanza un cohete de agua verticalmente hacia arriba en un experimento escolar. Su altura $h$ en pies en función del tiempo $t$ en segundos viene dada por la expresión $h(t) = -5t^2 + 20t + 2$. Determine algebraicamente durante qué intervalo de tiempo el cohete estará por encima de los $17 \text{ m}$ de altura.
En un triángulo isósceles, los lados iguales miden $x \text{ cm}$ y el lado desigual mide $10 \text{ cm}$. Para que el triángulo pueda construirse, la suma de las…
En un triángulo isósceles, los lados iguales miden $x \text{ cm}$ y el lado desigual mide $10 \text{ cm}$. Para que el triángulo pueda construirse, la suma de las longitudes de dos lados cualesquiera debe ser estrictamente mayor que la longitud del tercer lado. Además, se desea que su perímetro no supere los $36 \text{ cm}$. Plantee un sistema de inecuaciones y halle los posibles valores de $x$.
Desigualdades con un parámetro
A veces un problema pregunta: "¿Para qué valores de $k$ la ecuación no tiene soluciones reales?" La respuesta está en el discriminante $\Delta = b^2 - 4ac$ de $ax^2 + bx + c = 0$.
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$\Delta > 0$: dos soluciones reales.
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$\Delta = 0$: una solución real (una raíz doble).
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$\Delta < 0$: ninguna solución real.
Convierte la condición en una desigualdad en $k$ y resuélvela con los métodos anteriores.
Arrastra $k$. Para $|k|$ pequeño la parábola flota por encima del eje $x$. En cierto valor apenas toca el eje, y después lo cruza dos veces.
Determine para qué valores del parámetro $k$ la ecuación de segundo grado $x^2 - kx + 9 = 0$ carece de soluciones reales. Plantee la inecuación correspondiente…
Determine para qué valores del parámetro $k$ la ecuación de segundo grado $x^2 - kx + 9 = 0$ carece de soluciones reales. Plantee la inecuación correspondiente utilizando el discriminante y resuélvala.