Ecuaciones y sistemas · Ecuaciones, inecuaciones y sistemas
Desigualdades lineales en dos variables
Tienes $\$20$ en el puesto de comida de un partido de béisbol. Un hot dog cuesta $\$4$ y un refresco cuesta $\$2$. Podrías comprar 3 hot dogs y 4 refrescos. O 1 hot dog y 1 refresco. O 2 hot dogs y 5 refrescos. No hay una sola respuesta, hay muchísimas. ¿Cómo puedes mostrar todos los pedidos posibles en una sola imagen?
La respuesta es una desigualdad (también llamada inecuación) con dos variables. Su solución no es un punto ni una recta, sino una región completa del plano. (En algunos problemas las variables se llaman "incógnitas" y el plano de coordenadas, "plano cartesiano". Es lo mismo.)
Cómo graficar una desigualdad lineal
Una ecuación como $2x + y = 4$ tiene una recta como gráfica. Cambia el $=$ por $<$ y obtienes $2x + y < 4$. Ahora buscas todos los puntos donde $2x + y$ es menor que $4$.
Esa recta divide el plano en dos lados, llamados semiplanos. En un lado, $2x + y$ siempre es menor que $4$. En el otro, siempre es mayor que $4$. Sobre la recta, es igual a $4$.
Hay un segundo método. Despeja $y$ y el signo de la desigualdad te dice qué lado sombrear.
Forma
Recta
Sombrea
$y > mx + b$
discontinua
arriba
$y \ge mx + b$
continua
arriba
$y < mx + b$
discontinua
abajo
$y \le mx + b$
continua
abajo
Practica★☆☆Sin empezar
Compruebe cuáles de los siguientes puntos son solución de la inecuación $3x - 2y \le 6$: $A(0, 0)$ $B(4, 1)$ $C(2, -1)$ $D(-2, -5)$
Compruebe cuáles de los siguientes puntos son solución de la inecuación $3x - 2y \le 6$:
Dada la inecuación $4x - 5y < 20$, indique razonadamente si los puntos situados exactamente sobre la recta $4x - 5y = 20$ forman parte de la región solución.
Dada la inecuación $4x - 5y < 20$, indique razonadamente si los puntos situados exactamente sobre la recta $4x - 5y = 20$ forman parte de la región solución.
Ahora ve en sentido contrario. Ves una región sombreada y debes escribir su desigualdad. Tres pistas te dan todo:
La pendiente y la intersección con el eje $y$ de la recta frontera te dan su ecuación.
Una recta continua o discontinua te dice si es $\le, \ge$ o $<, >$.
El lado sombreado te dice si es arriba ($y > \dots$) o abajo ($y < \dots$).
Practica★☆☆Sin empezar
Escriba la inecuación lineal con dos incógnitas cuya región solución está representada en la siguiente gráfica. Tenga en cuenta si la línea de frontera es continua o…
Escriba la inecuación lineal con dos incógnitas cuya región solución está representada en la siguiente gráfica. Tenga en cuenta si la línea de frontera es continua o discontinua.
Muchas veces una condición no basta. Un sistema de desigualdades tiene dos o más desigualdades, y un punto debe cumplir todas.
Las fronteras horizontales y verticales son fáciles de sombrear:
Desigualdad
Frontera
Sombrea
$x \ge a$
recta vertical $x = a$
derecha
$x \le a$
recta vertical $x = a$
izquierda
$y \ge b$
recta horizontal $y = b$
arriba
$y \le b$
recta horizontal $y = b$
abajo
Por ejemplo, el primer cuadrante es el sistema $x \ge 0$, $y \ge 0$.
Practica★☆☆Sin empezar
Determine si los puntos $P(1, 3)$, $Q(-1, 2)$ y $R(4, 0)$ pertenecen a la región factible definida por el siguiente sistema de inecuaciones: $x + y \le 5$ $2x - y > -1$
Determine si los puntos $P(1, 3)$, $Q(-1, 2)$ y $R(4, 0)$ pertenecen a la región factible definida por el siguiente sistema de inecuaciones:
Represente gráficamente el sistema de inecuaciones que define el cuarto cuadrante del plano cartesiano (donde la abscisa es positiva o nula y la ordenada es negativa o…
Represente gráficamente el sistema de inecuaciones que define el cuarto cuadrante del plano cartesiano (donde la abscisa es positiva o nula y la ordenada es negativa o nula).
Para describir una región acotada, escribe una desigualdad por cada lado. Prueba un punto dentro de la región para elegir la dirección de cada signo.
Una cota doble como $-2 \le x \le 3$ es una forma abreviada de las dos desigualdades $x \ge -2$ y $x \le 3$. Describe una franja vertical. Si agregas $-1 \le y \le 2$, la franja se corta en un rectángulo. Para un rectángulo cuyos bordes están incluidos, todas las desigualdades usan $\le$ o $\ge$.
Practica★☆☆Sin empezar
Escriba el sistema de inecuaciones cuya solución es la franja vertical comprendida entre $x = -2$ y $x = 3$, incluyendo ambas fronteras.
Escriba el sistema de inecuaciones cuya solución es la franja vertical comprendida entre $x = -2$ y $x = 3$, incluyendo ambas fronteras.
Escriba un sistema de inecuaciones cuya solución sea un cuadrado perfecto centrado en el origen de coordenadas, de lado $4$ unidades, con sus lados paralelos a los ejes…
Escriba un sistema de inecuaciones cuya solución sea un cuadrado perfecto centrado en el origen de coordenadas, de lado $4$ unidades, con sus lados paralelos a los ejes cartesianos, y donde los puntos de los bordes estén incluidos.
Límites como el presupuesto, el tiempo, el espacio y el peso se convierten en desigualdades. Cada límite es una desigualdad, y las opciones posibles forman la región factible.
Elegir bien el signo es la mitad del trabajo:
Palabras
Símbolo
al menos, no menos de, como mínimo
$\ge$
a lo sumo, no más de, no excede, como máximo
$\le$
más de, excede
$>$
menos de, menor que
$<$
Practica★☆☆Sin empezar
Traduzca el siguiente enunciado a una inecuación lineal con dos incógnitas: "El triple del peso de una caja grande ($x$) más el doble del peso de una caja pequeña ($y$)…
Traduzca el siguiente enunciado a una inecuación lineal con dos incógnitas: "El triple del peso de una caja grande ($x$) más el doble del peso de una caja pequeña ($y$) no supera las $50$ libras".
Un taller fabrica bicicletas y triciclos. Cada bicicleta requiere $2$ ruedas y cada triciclo $3$ ruedas. En el almacén quedan $60$ ruedas. Además, se sabe que el número…
Un taller fabrica bicicletas y triciclos. Cada bicicleta requiere $2$ ruedas y cada triciclo $3$ ruedas. En el almacén quedan $60$ ruedas. Además, se sabe que el número de bicicletas fabricadas debe ser al menos el doble que el de triciclos. Plantee el sistema de inecuaciones que modela esta situación.
Una empresa de transporte dispone de camiones de tipo A (capacidad de $3$ toneladas) y camiones de tipo B (capacidad de $5$ toneladas). Necesitan transportar al menos…
Una empresa de transporte dispone de camiones de tipo A (capacidad de $3$ toneladas) y camiones de tipo B (capacidad de $5$ toneladas). Necesitan transportar al menos $45$ toneladas de mercancía. Por restricciones de personal, no pueden usar más de $12$ camiones en total. Plantee el sistema de inecuaciones y compruebe analíticamente si es posible realizar el transporte usando $4$ camiones del tipo A y $7$ del tipo B.
Un vértice de la región factible es donde se cruzan dos rectas frontera. Para hallarlo, resuelve las dos ecuaciones de las fronteras como un sistema, por sustitución o por eliminación. (Repasa la página de Matemáticas de 8.º grado de arriba si lo necesitas.)
Un punto sobre una recta cumple su ecuación. Un punto en una región solución cumple su desigualdad. Ambos datos ayudan cuando un coeficiente es desconocido.
Practica★★☆Sin empezar
Halle los valores del parámetro $k$ para los cuales el punto $A(-1, 4)$ pertenece a la región solución de la inecuación $kx - 2y \le 3$.
Halle los valores del parámetro $k$ para los cuales el punto $A(-1, 4)$ pertenece a la región solución de la inecuación $kx - 2y \le 3$.
Dado el sistema de inecuaciones: $x + 2y \le 8$ $ax - y \ge 1$ Calcule el valor del parámetro $a$ para que el punto $P(3, 2)$ sea un vértice de la región factible (es…
Dado el sistema de inecuaciones:
$x + 2y \le 8$
$ax - y \ge 1$
Calcule el valor del parámetro $a$ para que el punto $P(3, 2)$ sea un vértice de la región factible (es decir, se encuentre exactamente en la intersección de las dos rectas frontera).
Resuelva gráficamente el siguiente sistema y encuentre analíticamente las coordenadas de los vértices de la región factible: $y \le 2x + 2$ $y \le -x + 5$ $y \ge 1$
Resuelva gráficamente el siguiente sistema y encuentre analíticamente las coordenadas de los vértices de la región factible:
Cuando la frontera es una parábola en vez de una recta, el método es el mismo. Grafica la curva y luego prueba un punto para ver qué lado sombrear. Usa una curva continua para $\le, \ge$ y una discontinua para $<, >$.
Practica★★☆Sin empezar
Represente gráficamente la solución de la inecuación de segundo grado con dos incógnitas $y \ge x^2 - 4x + 3$.
Represente gráficamente la solución de la inecuación de segundo grado con dos incógnitas $y \ge x^2 - 4x + 3$.
Represente gráficamente la región del plano definida por el siguiente sistema mixto (una inecuación cuadrática y una lineal): $y \le -x^2 + 2x + 3$ $x - y \le 1$
Represente gráficamente la región del plano definida por el siguiente sistema mixto (una inecuación cuadrática y una lineal):