Movimientos en el plano
En un videojuego, un personaje camina por el borde del Lago de Coatepeque y su reflejo aparece en el agua. Un dron cambia de posición, una antena se corre unos metros, un rayo de luz rebota en un espejo. Todos son movimientos del plano. ¿Cómo hace la computadora para calcular dónde dibujar cada punto del reflejo? Lo vas a resolver con vectores y con un poco de álgebra.
Los movimientos que vemos acá (traslaciones y simetrías) son isometrías: conservan las distancias, así que la figura que se mueve no se deforma.
Traslación
Si te dan el punto de partida $A$ y el de llegada $B$, el vector que describe el movimiento es $\vec{AB} = B - A$: se restan las coordenadas del final menos las del inicio.
Un dron de reparto se encuentra en la posición $P(3, -2)$, expresada en kilómetros respecto a su base. El controlador le envía una instrucción para realizar un…
Un dron de reparto se encuentra en la posición $P(3, -2)$, expresada en kilómetros respecto a su base. El controlador le envía una instrucción para realizar un desplazamiento rectilíneo definido por el vector de traslación $\vec{v} = (-5, 4)$. Determina las coordenadas de la nueva posición del dron.
Una máquina de corte láser se desplaza en línea recta sobre una plancha de metal desde el punto inicial $A(-1, 5)$ hasta el punto final $B(4, 2)$. Calcula el vector de…
Una máquina de corte láser se desplaza en línea recta sobre una plancha de metal desde el punto inicial $A(-1, 5)$ hasta el punto final $B(4, 2)$. Calcula el vector de traslación que describe exactamente este movimiento.
Una grúa desplaza horizontal y verticalmente una viga rectilínea cuyos extremos iniciales son $A(1, 1)$ y $B(5, 3)$. El movimiento se realiza mediante una traslación…
Una grúa desplaza horizontal y verticalmente una viga rectilínea cuyos extremos iniciales son $A(1, 1)$ y $B(5, 3)$. El movimiento se realiza mediante una traslación definida por el vector $\vec{t} = (0, -4)$. Calcula las coordenadas de los nuevos extremos $A'$ y $B'$ de la viga.
Simetría central
¿Por qué? Si $M=\dfrac{A+A'}{2}$, despejando queda $A' = 2M - A$.
En el diseño de un jardín simétrico, se quiere colocar una fuente en el punto $F'$ que sea el simétrico de una estatua situada en $E(4, 7)$ con respecto a un poste…
En el diseño de un jardín simétrico, se quiere colocar una fuente en el punto $F'$ que sea el simétrico de una estatua situada en $E(4, 7)$ con respecto a un poste central ubicado en el origen de coordenadas $O(0, 0)$. Halla las coordenadas donde debe instalarse la fuente.
Dos satélites de comunicaciones, $S_1$ y $S_2$, orbitan de manera simétrica con respecto a una estación espacial central. Si $S_1$ está en la posición $(8, -3)$ y la…
Dos satélites de comunicaciones, $S_1$ y $S_2$, orbitan de manera simétrica con respecto a una estación espacial central. Si $S_1$ está en la posición $(8, -3)$ y la estación espacial se encuentra en $(2, 1)$, calcula las coordenadas de la posición del satélite $S_2$.
Simetría axial: los casos directos
En la simetría axial el espejo es una recta $r$ (el eje de simetría). Para algunos ejes no hace falta ninguna cuenta larga:
| Eje de simetría | $(x, y)$ pasa a… |
|---|---|
| eje $x$ ($y=0$) | $(x, -y)$ |
| eje $y$ ($x=0$) | $(-x, y)$ |
| recta $y=x$ | $(y, x)$ |
| recta $y=-x$ | $(-y, -x)$ |
| recta horizontal $y=k$ | $(x,\ 2k-y)$ |
| recta vertical $x=k$ | $(2k-x,\ y)$ |
Un arquitecto diseña un puente cuyo arco tiene un punto de anclaje crítico en $A(-3, 5)$. Para mantener la simetría visual en un renderizado 3D respecto a la superficie…
Un arquitecto diseña un puente cuyo arco tiene un punto de anclaje crítico en $A(-3, 5)$. Para mantener la simetría visual en un renderizado 3D respecto a la superficie del agua, que coincide con el eje de abscisas ($y=0$), necesita ubicar el reflejo virtual de este punto bajo el agua. Determina las coordenadas de este punto simétrico.
En un programa de diseño gráfico, se ha trazado un polígono con un vértice clave en el punto $V(5, -2)$. Se aplica una simetría axial respecto a la bisectriz del primer…
En un programa de diseño gráfico, se ha trazado un polígono con un vértice clave en el punto $V(5, -2)$. Se aplica una simetría axial respecto a la bisectriz del primer y tercer cuadrante (recta $y=x$). Determina analíticamente las coordenadas del vértice simétrico $V'$.
Simetría axial respecto de una recta cualquiera
Si la recta es $Ax+By+C=0$, su vector normal $(A; B)$ es perpendicular a ella. Entonces la perpendicular que pasa por $P$ tiene puntos $P+t\,(A; B)$, y alcanza con hallar el $t$ que cae sobre $r$.
Eje de simetría entre dos puntos
Si dos puntos $A$ y $B$ son simétricos entre sí, el eje es la mediatriz de $AB$: pasa por el punto medio y es perpendicular a $\vec{AB}$. Cualquier punto de ese eje equidista de $A$ y de $B$.
Un rayo láser se emite desde un proyector situado en el punto $P(-2, 4)$. Frente a él hay un espejo plano colocado exactamente sobre la recta de ecuación…
Un rayo láser se emite desde un proyector situado en el punto $P(-2, 4)$. Frente a él hay un espejo plano colocado exactamente sobre la recta de ecuación $r \equiv x - 2y + 5 = 0$. Calcula las coordenadas del punto virtual $P'$ (simétrico de $P$ respecto al espejo) del cual parece provenir la luz reflejada.
Dos torres de vigilancia forestal se encuentran ubicadas en los puntos $T_1(-3, 1)$ y $T_2(5, 5)$. Se quiere trazar un cortafuegos rectilíneo que actúe como eje de…
Dos torres de vigilancia forestal se encuentran ubicadas en los puntos $T_1(-3, 1)$ y $T_2(5, 5)$. Se quiere trazar un cortafuegos rectilíneo que actúe como eje de simetría entre ambas torres, de forma que cualquier punto del cortafuegos equidiste de $T_1$ y $T_2$. Calcula la ecuación general de la recta que define dicho cortafuegos.
Reflexión: recorridos mínimos y rebotes
La luz, y también una bola de billar, rebota con ángulo de incidencia igual al de reflexión. Por eso, el camino que toca la pared y llega a otro punto es el mismo que va en línea recta hasta la imagen simétrica.
Dos pueblos, $A(1, 5)$ y $B(7, 2)$, necesitan conectarse a una tubería principal de agua que discurre en línea recta a lo largo del eje de abscisas ($y=0$). Se quiere…
Dos pueblos, $A(1, 5)$ y $B(7, 2)$, necesitan conectarse a una tubería principal de agua que discurre en línea recta a lo largo del eje de abscisas ($y=0$). Se quiere construir una estación de bombeo $P$ sobre la tubería principal de manera que la longitud total de los tubos secundarios ($AP + PB$) sea mínima. Utilizando el concepto de simetría axial, calcula las coordenadas exactas del punto $P$ y la longitud mínima total de la tubería.
En una mesa de billar, una bola blanca está situada en el punto $B(2, 3)$ y una bola roja en $R(8, 6)$. Un jugador desea golpear la bola roja haciendo que la blanca…
En una mesa de billar, una bola blanca está situada en el punto $B(2, 3)$ y una bola roja en $R(8, 6)$. Un jugador desea golpear la bola roja haciendo que la blanca rebote primero en la banda superior de la mesa, que se encuentra sobre la recta $y = 10$. Suponiendo que el ángulo de incidencia es igual al de reflexión, calcula las coordenadas del punto exacto de la banda donde debe impactar la bola blanca para lograr su objetivo.
Trasladar la ecuación de una curva
Para trasladar una curva con el vector $(h; k)$ hay que mover todos sus puntos. El punto $(x'; y')$ está en la curva nueva si y solo si $(x'-h;\ y'-k)$ estaba en la original.
La trayectoria de una cinta transportadora sigue la recta de ecuación $y = 2x - 1$. Por necesidades de espacio en la fábrica, se traslada toda la cinta $3$ unidades…
La trayectoria de una cinta transportadora sigue la recta de ecuación $y = 2x - 1$. Por necesidades de espacio en la fábrica, se traslada toda la cinta $3$ unidades hacia la izquierda y $2$ unidades hacia arriba. Escribe la ecuación general de la nueva recta que define la trayectoria trasladada.
Una antena de telefonía celular proporciona cobertura en una zona circular cuya ecuación cartesiana es $x^2 + y^2 - 4x + 6y - 12 = 0$. Por problemas de interferencia con…
Una antena de telefonía celular proporciona cobertura en una zona circular cuya ecuación cartesiana es $x^2 + y^2 - 4x + 6y - 12 = 0$. Por problemas de interferencia con un edificio cercano, la compañía decide trasladar la antena (el centro de la circunferencia) según el vector $\vec{v} = (-3, 5)$. Determiná la ecuación general de la nueva zona de cobertura.
El reflector de un faro de automóvil sigue el perfil de la parábola $y = x^2 - 6x + 11$. Para facilitar la programación de la máquina de mecanizado CNC, el ingeniero…
El reflector de un faro de automóvil sigue el perfil de la parábola $y = x^2 - 6x + 11$. Para facilitar la programación de la máquina de mecanizado CNC, el ingeniero necesita aplicar una traslación a la parábola de modo que su vértice coincida exactamente con el origen de coordenadas. Determina el vector de traslación necesario y la nueva ecuación de la parábola.
Traslación de ejes: la elipse con centro en el origen
Las cónicas se estudian más cómodas con el centro en el origen. Para eso se completan cuadrados, se lee el centro $(h; k)$ y se traslada con $\vec v=(-h; -k)$.
La órbita de un cometa se proyecta en un plano astronómico según la ecuación de la elipse $4x^2 + 9y^2 - 24x + 36y + 36 = 0$. Mediante una traslación de ejes, es posible…
La órbita de un cometa se proyecta en un plano astronómico según la ecuación de la elipse $4x^2 + 9y^2 - 24x + 36y + 36 = 0$. Mediante una traslación de ejes, es posible expresar esta ecuación en su forma reducida centrada en el origen. Calcula el vector de traslación que mueve el origen geométrico de la cónica al origen de coordenadas y escribe la ecuación de la elipse tras dicha traslación.
Simétrica de una recta
Una recta queda determinada por dos puntos. Así que, para hallar su simétrica, se buscan los simétricos de dos de sus puntos y se traza la recta que los une.
Una vía de tren discurre siguiendo la trayectoria de la recta $r \equiv 3x + 4y - 12 = 0$. Un urbanista quiere trazar una nueva avenida $s$ que sea perfectamente…
Una vía de tren discurre siguiendo la trayectoria de la recta $r \equiv 3x + 4y - 12 = 0$. Un urbanista quiere trazar una nueva avenida $s$ que sea perfectamente simétrica a la vía del tren con respecto a un monumento central situado en $C(1, -1)$. Encuentra la ecuación general de la avenida $s$.
Un rayo de luz viaja a lo largo de la recta $r \equiv 2x - y + 4 = 0$ y choca contra un espejo plano situado sobre la recta $s \equiv x + y - 1 = 0$. Determina la…
Un rayo de luz viaja a lo largo de la recta $r \equiv 2x - y + 4 = 0$ y choca contra un espejo plano situado sobre la recta $s \equiv x + y - 1 = 0$. Determina la ecuación general de la recta $r'$ que contiene al rayo reflejado, sabiendo que dicha recta es la simétrica de $r$ con respecto a $s$.
Simétrica de figuras y conservación de medidas
Por eso, para una circunferencia solo hay que mover el centro: el radio no cambia. Para un polígono, se mueven los vértices.
Una parcela agrícola tiene forma de triángulo con vértices en $A(0, 0)$, $B(4, 0)$ y $C(2, 5)$. La alcaldía expropia la parcela y, a cambio, le entrega al propietario…
Una parcela agrícola tiene forma de triángulo con vértices en $A(0, 0)$, $B(4, 0)$ y $C(2, 5)$. La alcaldía expropia la parcela y, a cambio, le entrega al propietario otra parcela obtenida al aplicarle al triángulo original una simetría axial respecto a la recta vertical $x = 6$. Calculá los vértices de la nueva parcela y demostrá analíticamente que el área de la parcela no ha variado.
El contorno de un engranaje circular tiene la ecuación $x^2 + y^2 - 2x - 4y - 4 = 0$. Este engranaje se refleja en un espejo inclinado representado por la recta…
El contorno de un engranaje circular tiene la ecuación $x^2 + y^2 - 2x - 4y - 4 = 0$. Este engranaje se refleja en un espejo inclinado representado por la recta $r \equiv 3x - 4y + 10 = 0$. Determina la ecuación general de la circunferencia que representa la imagen reflejada del engranaje.
Composición de movimientos
Identificar un movimiento
Una isometría del plano que mueve $A\to A'$ y $B\to B'$ conserva la distancia: $|A'B'|=|AB|$. Para saber de qué tipo es, se compara:
-
Traslación: $\vec{AA'}=\vec{BB'}$ (el mismo vector para todos los puntos).
-
Simetría central: el punto medio de $AA'$ es el mismo que el de $BB'$, y es el centro.
Un barco pesquero realiza dos movimientos consecutivos en alta mar. Primero se traslada según el vector $\vec{u} = (2, 6)$ y luego según el vector $\vec{v} = (3, -1)$.…
Un barco pesquero realiza dos movimientos consecutivos en alta mar. Primero se traslada según el vector $\vec{u} = (2, 6)$ y luego según el vector $\vec{v} = (3, -1)$. Si partió de un puerto situado en las coordenadas $P(-4, -5)$, determina su posición final tras ambos desplazamientos.
En la animación de un videojuego, el centro geométrico de un personaje situado en $A(1, 3)$ sufre una traslación de vector $\vec{t} = (4, -2)$ seguida inmediatamente de…
En la animación de un videojuego, el centro geométrico de un personaje situado en $A(1, 3)$ sufre una traslación de vector $\vec{t} = (4, -2)$ seguida inmediatamente de una simetría central respecto al punto $C(2, 0)$. Halla la posición final del personaje y comprueba analíticamente si el resultado sería el mismo aplicando primero la simetría y luego la traslación.
Una isometría en el plano transforma el punto $A(1, 2)$ en $A'(5, 4)$ y el punto $B(3, -1)$ en $B'(7, 1)$. a) Demuestra que la distancia entre $A$ y $B$ es la misma que…
Una isometría en el plano transforma el punto $A(1, 2)$ en $A'(5, 4)$ y el punto $B(3, -1)$ en $B'(7, 1)$.
- a) Demuestra que la distancia entre $A$ y $B$ es la misma que entre $A'$ y $B'$.
- b) Determina si el movimiento descrito corresponde a una traslación pura o a una simetría central, justificando analíticamente la respuesta y hallando el vector de traslación o el centro de simetría correspondiente.
Dos simetrías de ejes paralelos
Por qué, en el caso más simple. Con $r: x=a$ y $s: x=b$: $(x; y)\to(2a-x; y)\to(2b-(2a-x);\ y)=(x+2(b-a);\ y)$. Es la traslación de vector $(2(b-a); 0)$, que mide $2\,|b-a|$, el doble de la distancia entre las rectas. Con rectas oblicuas, el razonamiento es el mismo, pero se refleja con la perpendicular o con la fórmula.
Trasladar una recta sobre otra paralela
Si $r\parallel s$, hay infinitos vectores que llevan $r$ sobre $s$: si te movés a lo largo de la recta, sigue siendo la misma recta. El de menor módulo es el perpendicular, y su módulo es la distancia entre las rectas.
Demuestra analíticamente que la composición de dos simetrías axiales respecto a rectas paralelas es equivalente a una traslación. Para ello, considera las rectas…
Demuestra analíticamente que la composición de dos simetrías axiales respecto a rectas paralelas es equivalente a una traslación. Para ello, considera las rectas $r \equiv x - 2y = 0$ y $s \equiv x - 2y + 10 = 0$. Toma un punto genérico $P(x_0, y_0)$, halla su simétrico $P'$ respecto a $r$, y luego el simétrico $P''$ de $P'$ respecto a $s$. Determina el vector de traslación $\vec{v} = \vec{PP''}$ y comprueba que es perpendicular a las rectas y que su módulo es el doble de la distancia entre ellas.
Dadas las rectas paralelas $r \equiv 2x + y - 3 = 0$ y $s \equiv 2x + y + 7 = 0$, halla el vector de traslación $\vec{v}$ de menor módulo que transforma la recta $r$ en…
Dadas las rectas paralelas $r \equiv 2x + y - 3 = 0$ y $s \equiv 2x + y + 7 = 0$, halla el vector de traslación $\vec{v}$ de menor módulo que transforma la recta $r$ en la recta $s$. Demuestra analíticamente que este vector es perpendicular a ambas rectas y que su módulo coincide con la distancia más corta entre ellas.
Resumen
Volvé al principio: el reflejo del personaje en el lago es una simetría axial respecto de la superficie del agua. Si el agua está en $y=k$, la computadora dibuja cada punto $(x; y)$ en $(x;\ 2k-y)$.