Propiedades de los radicales y racionalización
Gabriela, de un centro escolar de Santa Tecla, calcula en la computadora la expresión $\dfrac{\sqrt2}{\sqrt3+\sqrt2}$ y obtiene un decimal largo e inexacto. Su docente le pide el resultado exacto y lo más simple posible. ¿Cómo se hace? Y $5\sqrt3 - 2\sqrt3$, ¿se puede reducir a un único término? Este apartado reúne las técnicas para dejar cualquier expresión con radicales en su forma más simple.
Simplificar: extraer e introducir factores
Para simplificar una raíz cuadrada se sacan factores fuera de la raíz.
Radicandos con letras y fracciones
Con letras (suponemos que son positivas) se hace lo mismo: un factor $a^m$ dentro de una raíz cuadrada se divide $m : 2$. El cociente es el exponente del factor que sale y el resto ($0$ o $1$) es el exponente de lo que queda dentro.
Si el radicando es una fracción, se separa: $\sqrt{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$.
Extrae todos los factores posibles de los siguientes radicales: a) $\sqrt{72}$ b) $\sqrt[3]{250}$
Extrae todos los factores posibles de los siguientes radicales:
- a) $\sqrt{72}$
- b) $\sqrt[3]{250}$
Introduce los factores enteros dentro del radical y simplifica si es posible: a) $3 \sqrt{5}$ b) $2 \sqrt[4]{3}$
Introduce los factores enteros dentro del radical y simplifica si es posible:
- a) $3 \sqrt{5}$
- b) $2 \sqrt[4]{3}$
Extrae todos los factores posibles de la siguiente raíz y simplifica la expresión resultante: $\sqrt[3]{\frac{81 x^4 y^7}{16 z^5}}$
Extrae todos los factores posibles de la siguiente raíz y simplifica la expresión resultante:
$\sqrt[3]{\frac{81 x^4 y^7}{16 z^5}}$
Sumar y restar radicales semejantes
Dos radicales son semejantes si tienen el mismo índice y el mismo radicando. Solo se pueden sumar o restar si lo son, igual que los monomios semejantes.
Operaciones combinadas con productos notables
Con radicales también valen los productos notables: $(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$ y $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$, recordando que $(\sqrt a)^2=a$.
Realiza las siguientes sumas y restas de radicales semejantes: a) $5\sqrt{3} - 2\sqrt{3} + 4\sqrt{3}$ b) $\frac{1}{2}\sqrt{7} + \frac{3}{2}\sqrt{7} - \sqrt{7}$
Realiza las siguientes sumas y restas de radicales semejantes:
- a) $5\sqrt{3} - 2\sqrt{3} + 4\sqrt{3}$
- b) $\frac{1}{2}\sqrt{7} + \frac{3}{2}\sqrt{7} - \sqrt{7}$
Realiza la siguiente operación, extrayendo primero los factores necesarios para que los radicales sean semejantes: $3\sqrt{50} + 2\sqrt{18} - \sqrt{8}$
Realiza la siguiente operación, extrayendo primero los factores necesarios para que los radicales sean semejantes:
$3\sqrt{50} + 2\sqrt{18} - \sqrt{8}$
Demuestra, desarrollando los productos notables y simplificando, que el resultado de la siguiente expresión es un número entero:…
Demuestra, desarrollando los productos notables y simplificando, que el resultado de la siguiente expresión es un número entero:
$(\sqrt{7} - \sqrt{3})^2 + (\sqrt{7} + \sqrt{3})^2$
Multiplicar y dividir radicales
Con raíces cuadradas se opera directamente el radicando: $\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}=\sqrt{a\cdot b}$ y $\sqrt{a}:\sqrt{b}=\sqrt{a:b}$.
Realiza las siguientes multiplicaciones de radicales con el mismo índice y extrae factores si es posible: a) $\sqrt{2} \times \sqrt{8}$ b)…
Realiza las siguientes multiplicaciones de radicales con el mismo índice y extrae factores si es posible:
- a) $\sqrt{2} \times \sqrt{8}$
- b) $\sqrt[3]{4} \times \sqrt[3]{10}$
Racionalizar denominadores
Dejar una raíz en el denominador no está «mal», pero no es la forma estándar: se racionaliza multiplicando arriba y abajo por lo necesario para que el denominador quede sin raíces. Vemos primero el denominador monomio y luego el binomio con su conjugado.
Denominador monomio
Denominador binomio: el conjugado
Racionaliza el denominador de las siguientes fracciones y simplifica el resultado: a) $\frac{6}{\sqrt{3}}$ b) $\frac{10}{\sqrt{5}}$
Racionaliza el denominador de las siguientes fracciones y simplifica el resultado:
- a) $\frac{6}{\sqrt{3}}$
- b) $\frac{10}{\sqrt{5}}$
Racionaliza las siguientes expresiones multiplicando por el conjugado del denominador: a) $\frac{4}{\sqrt{5}-1}$ b) $\frac{2}{\sqrt{3}+1}$
Racionaliza las siguientes expresiones multiplicando por el conjugado del denominador:
- a) $\frac{4}{\sqrt{5}-1}$
- b) $\frac{2}{\sqrt{3}+1}$
Racionaliza el denominador y simplifica al máximo la siguiente expresión: $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$
Racionaliza el denominador y simplifica al máximo la siguiente expresión:
$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$
Racionaliza el denominador de la siguiente fracción y simplifica al máximo operando el numerador: $\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}$
Racionaliza el denominador de la siguiente fracción y simplifica al máximo operando el numerador:
$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}$
Realiza la siguiente operación combinada con fracciones irracionales. Para ello, racionaliza primero cada fracción por separado y luego efectúa la resta:…
Realiza la siguiente operación combinada con fracciones irracionales. Para ello, racionaliza primero cada fracción por separado y luego efectúa la resta:
$\frac{2}{\sqrt{5}-\sqrt{3}} - \frac{2}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}$
Aplicaciones en geometría y física
Muchas veces los datos de un problema son radicales y el resultado exacto también. Con las técnicas anteriores se calculan áreas, perímetros, alturas y velocidades sin pasar a decimales.
En un taller de carpintería, se va a cortar un tablero rectangular cuyas dimensiones exactas son $\sqrt{12}$ dm de ancho y $\sqrt{27}$ dm de largo. Calcula el área y el…
En un taller de carpintería, se va a cortar un tablero rectangular cuyas dimensiones exactas son $\sqrt{12}$ dm de ancho y $\sqrt{27}$ dm de largo. Calcula el área y el perímetro del tablero, expresando los resultados de forma exacta mediante radicales simplificados.
Calcula la longitud exacta de la diagonal principal $D$ de un cubo cuya arista mide $a = \sqrt{5}$ cm. Recuerda que la diagonal de un cubo se calcula como…
Calcula la longitud exacta de la diagonal principal $D$ de un cubo cuya arista mide $a = \sqrt{5}$ cm. Recuerda que la diagonal de un cubo se calcula como $D = \sqrt{a^2 + a^2 + a^2}$. Expresa el resultado de la forma más simplificada posible.
En diseño gráfico, las proporciones basadas en el número áureo $\phi = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$ se consideran estéticamente perfectas. Un lienzo tiene forma de rectángulo…
En diseño gráfico, las proporciones basadas en el número áureo $\phi = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$ se consideran estéticamente perfectas. Un lienzo tiene forma de rectángulo áureo (el cociente entre su lado mayor y su lado menor es $\phi$). Si el lado menor del lienzo mide exactamente $\sqrt{5}-1$ metros, calcula la longitud exacta del lado mayor. Simplifica el resultado al máximo.
La fachada de una cabaña tiene forma de triángulo isósceles. La base del triángulo mide $\sqrt{6}$ metros y los dos lados iguales miden $\sqrt{15}$ metros cada uno.…
La fachada de una cabaña tiene forma de triángulo isósceles. La base del triángulo mide $\sqrt{6}$ metros y los dos lados iguales miden $\sqrt{15}$ metros cada uno. Calcula el valor exacto de la altura $h$ sobre la base y el área total de la fachada. Racionaliza los resultados si aparecen raíces en el denominador.
Volvé al principio: racionalizando con el conjugado, $\dfrac{\sqrt2}{\sqrt3+\sqrt2} = \dfrac{\sqrt2(\sqrt3-\sqrt2)}{(\sqrt3+\sqrt2)(\sqrt3-\sqrt2)} = \dfrac{\sqrt6-2}{3-2} = \sqrt6 - 2$, y la resta de semejantes da $5\sqrt3 - 2\sqrt3 = 3\sqrt3$.