Repartos proporcionales
Tres amigos, Fátima, Kevin y Josué, ponen dinero para abrir un puesto de pupusas en la colonia: $\$15,000$, $\$20,000$ y $\$25,000$. Al final del año hay ganancias. ¿Se reparten en partes iguales? No parece justo: quien puso más debería llevarse más. Eso es un reparto proporcional, y puede ser directo, inverso o con dos criterios a la vez.
Reparto directo e inverso
Con la barra se ve la idea: si se reparten $450$ dólares de forma directa a $2$, $3$ y $4$, hay $9$ partes en total, así que $k = 450 : 9 = 50$ y los tres reciben $100$, $150$ y $200$ dólares.
Reparte la cantidad de $450$ dólares de forma directamente proporcional a los números $2$, $3$ y $4$.
Reparte la cantidad de $450$ dólares de forma directamente proporcional a los números $2$, $3$ y $4$.
Reparte $330$ puntos de forma inversamente proporcional a $1$, $2$ y $3$.
Reparte $330$ puntos de forma inversamente proporcional a $1$, $2$ y $3$.
Tres socios, Nerea, Beatriz y Santiago, invierten $15000$ dólares, $20000$ dólares y $25000$ dólares respectivamente para abrir un negocio. Al cabo de un año, la empresa…
Tres socios, Nerea, Beatriz y Santiago, invierten $15000$ dólares, $20000$ dólares y $25000$ dólares respectivamente para abrir un negocio. Al cabo de un año, la empresa genera un beneficio neto de $14400$ dólares. Calcula qué cantidad de los beneficios le corresponde a cada socio si el reparto se realiza de forma directamente proporcional al capital invertido.
Los repartos y las funciones proporcionales
Los repartos son funciones proporcionales disfrazadas, las mismas que vas a usar en Ciencia y Tecnología.
En un reparto directo, la parte $y$ que recibe cada uno depende de su coeficiente $x$ así: $y = k \cdot x$. Es una función de proporcionalidad directa: su gráfica es una recta que pasa por el origen, y $k$ es la pendiente. Si el coeficiente se duplica, la parte se duplica.
En un reparto inverso, la parte es $y = \dfrac{k'}{x}$, con $k' = \dfrac{T}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}$. Es una función de proporcionalidad inversa: su gráfica es una hipérbola. Si el coeficiente se duplica, la parte se reduce a la mitad.
Un abuelo decide repartir $120$ dólares entre sus tres nietos de $8$, $10$ y $12$ años de forma directamente proporcional a sus edades. Determina la cantidad de dinero…
Un abuelo decide repartir $120$ dólares entre sus tres nietos de $8$, $10$ y $12$ años de forma directamente proporcional a sus edades. Determina la cantidad de dinero que recibe cada uno.
En una competición de atletismo, la organización reparte un premio de $3400$ dólares de forma inversamente proporcional al tiempo que han tardado los tres primeros…
En una competición de atletismo, la organización reparte un premio de $3400$ dólares de forma inversamente proporcional al tiempo que han tardado los tres primeros clasificados en llegar a la meta. Si han cruzado la línea de meta en $12$, $15$ y $20$ minutos respectivamente, determina el premio económico que se lleva cada corredor.
Se ha repartido una cantidad de dinero de forma inversamente proporcional a las edades de tres hermanos, que son $10$, $15$ y $20$ años. Si se sabe que al hermano de…
Se ha repartido una cantidad de dinero de forma inversamente proporcional a las edades de tres hermanos, que son $10$, $15$ y $20$ años. Si se sabe que al hermano de $15$ años le han correspondido $400$ dólares, halla la cantidad total que se ha repartido y lo que reciben los otros dos hermanos.
Repartos con fracciones o decimales
Cuando los coeficientes son fracciones o decimales, conviene pasarlos a números enteros proporcionales: el reparto no cambia.
Realiza el reparto de $620$ acciones de forma directamente proporcional a las fracciones $\frac{1}{2}$, $\frac{1}{3}$ y $\frac{1}{5}$.
Realiza el reparto de $620$ acciones de forma directamente proporcional a las fracciones $\frac{1}{2}$, $\frac{1}{3}$ y $\frac{1}{5}$.
En un experimento de laboratorio se debe repartir una muestra de $145$ gramos de un compuesto químico entre tres recipientes de forma inversamente proporcional a las…
En un experimento de laboratorio se debe repartir una muestra de $145$ gramos de un compuesto químico entre tres recipientes de forma inversamente proporcional a las temperaturas a las que se encuentran. Las temperaturas son $\frac{1}{2}$ ºC, $\frac{2}{3}$ ºC y $\frac{3}{4}$ ºC. Calcula la cantidad exacta de compuesto que se depositará en cada recipiente.
Tres tuberías distintas llenan un tanque industrial. La primera tarda $a$ horas, la segunda $b$ horas y la tercera $c$ horas. Se sabe que los tiempos $a$, $b$ y $c$ son…
Tres tuberías distintas llenan un tanque industrial. La primera tarda $a$ horas, la segunda $b$ horas y la tercera $c$ horas. Se sabe que los tiempos $a$, $b$ y $c$ son directamente proporcionales a los números $2$, $3$ y $4$. Los costos de mantenimiento de las tuberías ascienden a $1300$ dólares y se decide repartirlos de forma inversamente proporcional al tiempo que tarda cada una en llenar el tanque. Hallá cuánto se debe pagar de mantenimiento por cada tubería.
Dos criterios combinados
A veces el reparto depende de dos cosas: una directa y otra inversa, o dos fases con criterios distintos.
Cuando un criterio es un producto (días por horas diarias), el coeficiente de cada persona es ese producto.
Cuatro operarios trabajan pintando un edificio. El primero trabaja $5$ días a razón de $6$ horas diarias; el segundo, $4$ días a $8$ horas diarias; el tercero, $6$ días…
Cuatro operarios trabajan pintando un edificio. El primero trabaja $5$ días a razón de $6$ horas diarias; el segundo, $4$ días a $8$ horas diarias; el tercero, $6$ días a $5$ horas diarias y el cuarto, $3$ días a $10$ horas diarias. Si cobran en total $3680$ dólares y deciden repartirlo de forma directamente proporcional al total de horas trabajadas por cada uno, halla cuánto cobrará cada operario.
Un bono de productividad de $2530$ dólares se reparte entre tres empleados de una fábrica. El reparto se realiza de forma directamente proporcional a los años de…
Un bono de productividad de $2530$ dólares se reparte entre tres empleados de una fábrica. El reparto se realiza de forma directamente proporcional a los años de antigüedad en la empresa ($4$, $5$ y $8$ años) e inversamente proporcional al número de días de ausencia durante el año ($2$, $3$ y $4$ días). Calcula la bonificación que recibe cada uno de los empleados.
Una empresa tecnológica reparte $50000$ dólares de beneficios entre tres departamentos en dos fases. En la primera fase, el $40$% del total se reparte de forma…
Una empresa tecnológica reparte $50000$ dólares de beneficios entre tres departamentos en dos fases. En la primera fase, el $40$% del total se reparte de forma directamente proporcional a las horas extra trabajadas: $120$, $150$ y $130$ horas. En la segunda fase, el $60$% restante se reparte de forma inversamente proporcional al número de incidencias técnicas reportadas: $2$, $4$ y $5$ incidencias. Calcula el beneficio total final que recibe cada uno de los tres departamentos sumando ambas fases.
Planteamiento algebraico
Muchas veces falta un dato: se conoce una sola parte, o un número del reparto es una incógnita. Entonces se arma una ecuación con la constante $k$.
En un reparto directamente proporcional a las cantidades $3$, $5$ y $7$, a la primera persona le corresponden $120$ dólares. Calcula la cantidad total que se ha…
En un reparto directamente proporcional a las cantidades $3$, $5$ y $7$, a la primera persona le corresponden $120$ dólares. Calcula la cantidad total que se ha repartido y lo que reciben las otras dos personas.
Una herencia se reparte de forma directamente proporcional a los números $4$, $7$ y $9$. Sabiendo que el heredero que recibe la mayor parte obtiene $3500$ dólares más…
Una herencia se reparte de forma directamente proporcional a los números $4$, $7$ y $9$. Sabiendo que el heredero que recibe la mayor parte obtiene $3500$ dólares más que el que recibe la menor parte, calcula el valor total de la herencia y la cantidad asignada a cada una de las tres partes.
Se ha repartido una cantidad de $8700$ dólares de forma inversamente proporcional a tres números desconocidos $A$, $B$ y $C$. Las cantidades recibidas han sido $4000$…
Se ha repartido una cantidad de $8700$ dólares de forma inversamente proporcional a tres números desconocidos $A$, $B$ y $C$. Las cantidades recibidas han sido $4000$ dólares, $3000$ dólares y $1700$ dólares respectivamente. Sabiendo que el menor de los tres números originales es $51$, determina el valor de los otros dos números.
Cuando los coeficientes llevan incógnitas
El método es el mismo aunque los coeficientes sean expresiones con $x$ y hasta lo que se reparte sea una expresión: $k = \dfrac{N}{\text{suma de coeficientes}}$. La diferencia es que $k$ queda como una expresión algebraica, y conviene factorizar para simplificar.
Cuando los números del reparto son incógnitas, por ejemplo $x$, $x+1$ y $x+2$, se usa lo que se sabe (la constante $k$, una parte o el total) para armar una ecuación y resolverla. Después se verifica que las soluciones sirvan para el problema, por ejemplo que sean enteros positivos.
Se reparte una cantidad total de $74$ de forma inversamente proporcional a tres números enteros positivos consecutivos: $x$, $x+1$ y $x+2$. Sabiendo que la constante de…
Se reparte una cantidad total de $74$ de forma inversamente proporcional a tres números enteros positivos consecutivos: $x$, $x+1$ y $x+2$. Sabiendo que la constante de proporcionalidad inversa del reparto es $k = 120$:
- a) Plantea la ecuación correspondiente y halla los tres números enteros.
- b) Determina el valor de cada una de las tres partes obtenidas en el reparto.
Reparte la expresión algebraica $N = 6x^2 + 8x$ de forma directamente proporcional a las expresiones $x$, $x+1$ y $x+3$. Expresa las tres partes resultantes en función…
Reparte la expresión algebraica $N = 6x^2 + 8x$ de forma directamente proporcional a las expresiones $x$, $x+1$ y $x+3$. Expresa las tres partes resultantes en función de $x$ y simplifica al máximo los polinomios obtenidos.
Volvé al principio: para repartir la ganancia del puesto entre los tres socios se hace un reparto directo al capital: cada uno recibe $k \cdot c$, con $k = \dfrac{\text{ganancia}}{15000 + 20000 + 25000}$. Es decir, $15000 : 20000 : 25000$ es lo mismo que $3 : 4 : 5$, y a cada uno le tocan $3$, $4$ y $5$ partes de las $12$ en que se divide la ganancia.