Expresiones algebraicas
Una app de entrenamiento que usa Daniela para correr en el Boquerón calcula las calorías quemadas con una fórmula como $C(t) = 0.15t^2 + 8t$, donde $t$ son los minutos de ejercicio. Esa fórmula es una expresión algebraica: una receta escrita con letras que sirve para cualquier $t$, sin repetir el razonamiento cada vez. En esta página aprendés a leer, armar y calcular con expresiones de este tipo, que son la base de todo lo que sigue con polinomios.
Monomios: coeficiente, parte literal y grado
$$M(x) = -\frac{2}{3}x^4$$En esta página trabajamos sobre todo con una sola indeterminada. Algunos ejercicios traen monomios con más letras, como $x^4y^2$: en ese caso el grado es la suma de los exponentes de todas las letras ($4 + 2 = 6$).
Identifica el coeficiente, la parte literal y el grado del siguiente monomio: $M(x,y) = -\frac{2}{3}x^4y^2$.
Identifica el coeficiente, la parte literal y el grado del siguiente monomio: $M(x,y) = -\frac{2}{3}x^4y^2$.
Polinomios: grado y valor numérico
No toda expresión con letras es un polinomio: los exponentes de la letra tienen que ser números naturales, y la letra no puede aparecer en un denominador ni dentro de una raíz. Los coeficientes, en cambio, pueden ser cualquier número real, como $\sqrt{2}$.
Por ejemplo, $P(x) = 4x^3 - 2x^5 + 7$ ordenado es $-2x^5 + 4x^3 + 7$. Le faltan las potencias $x^4$, $x^2$ y $x$, así que completo queda $-2x^5 + 0x^4 + 4x^3 + 0x^2 + 0x + 7$: un polinomio de grado $5$ completo tiene $6$ términos.
El valor numérico de un polinomio en $x = a$ se obtiene reemplazando $x$ por $a$ y calculando: se escribe $P(a)$.
Calcula el valor numérico del polinomio $P(x) = 3x^2 - 5x + 2$ para $x = -2$.
Calcula el valor numérico del polinomio $P(x) = 3x^2 - 5x + 2$ para $x = -2$.
Indica cuáles de las siguientes expresiones algebraicas son polinomios y justifica tu respuesta: $A(x) = 3x^2 - \frac{5}{x}$ $B(x) = \sqrt{2}x^3 - x$…
Indica cuáles de las siguientes expresiones algebraicas son polinomios y justifica tu respuesta:
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$A(x) = 3x^2 - \frac{5}{x}$
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$B(x) = \sqrt{2}x^3 - x$
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$C(x) = 4x^{1/2} + 1$
Operaciones con monomios
Solo se suman o restan monomios semejantes (misma parte literal), operando con sus coeficientes. Para multiplicar o dividir no hace falta que sean semejantes: se opera con los coeficientes por un lado y se suman o restan los exponentes de la misma letra.
Realiza la siguiente suma y resta de monomios semejantes y simplifica el resultado: $3x^2y - 5x^2y + 8x^2y$.
Realiza la siguiente suma y resta de monomios semejantes y simplifica el resultado: $3x^2y - 5x^2y + 8x^2y$.
Efectúa la multiplicación de los siguientes monomios: $(-3a^2b^3) \times (4ab^4)$.
Efectúa la multiplicación de los siguientes monomios: $(-3a^2b^3) \times (4ab^4)$.
Realiza la siguiente división de monomios e indica el coeficiente, la parte literal y el grado del monomio resultante: $\frac{-24x^5y^4z}{6x^2y^3}$.
Realiza la siguiente división de monomios e indica el coeficiente, la parte literal y el grado del monomio resultante: $\frac{-24x^5y^4z}{6x^2y^3}$.
Del lenguaje natural al algebraico
Para traducir un enunciado se va por partes: primero cada operación sobre una letra, después cómo se combinan.
A veces el enunciado fija un dato y pide hallar un parámetro: se traduce la condición a una ecuación y se despeja.
Expresa en lenguaje algebraico el siguiente enunciado: "El cubo de un número menos el cuadrado de otro número distinto".
Expresa en lenguaje algebraico el siguiente enunciado: "El cubo de un número menos el cuadrado de otro número distinto".
Determina el valor de $k$ para que el valor numérico del polinomio $P(x) = 2x^3 - kx + 4$ en $x = 1$ sea igual a $5$.
Determina el valor de $k$ para que el valor numérico del polinomio $P(x) = 2x^3 - kx + 4$ en $x = 1$ sea igual a $5$.
Halla los valores de los parámetros $a$ y $b$ en el polinomio $P(x) = ax^2 + bx - 5$ sabiendo que su valor numérico para $x = 1$ es $-2$ y para $x = -1$ es $-4$.
Halla los valores de los parámetros $a$ y $b$ en el polinomio $P(x) = ax^2 + bx - 5$ sabiendo que su valor numérico para $x = 1$ es $-2$ y para $x = -1$ es $-4$.
Expresiones algebraicas en problemas reales
Perímetros, áreas, tarifas o energías se escriben como expresiones algebraicas cuando alguna medida todavía no está fijada.
Una tienda de ropa ofrece un descuento del $20\%$ en todos sus artículos. Si comprás $x$ camisas que originalmente cuestan $25$ dólares cada una y $y$ pantalones que…
Una tienda de ropa ofrece un descuento del $20\%$ en todos sus artículos. Si comprás $x$ camisas que originalmente cuestan $25$ dólares cada una y $y$ pantalones que cuestan $40$ dólares cada uno, escribí la expresión algebraica del costo total de la compra. Calculá el costo si comprás $3$ camisas y $2$ pantalones.
La energía cinética de un cuerpo en movimiento viene dada por la expresión $E_c = \frac{1}{2}mv^2$, donde $m$ es la masa en kilogramos y $v$ la velocidad en metros por…
La energía cinética de un cuerpo en movimiento viene dada por la expresión $E_c = \frac{1}{2}mv^2$, donde $m$ es la masa en kilogramos y $v$ la velocidad en metros por segundo. Calcula la energía cinética de un vehículo de $800$ kg que circula a $20$ m/s.
La figura muestra un cuadrado de lado $2x$ que contiene en su interior un círculo de radio $x$. Escribe la expresión algebraica que representa el área de la región…
La figura muestra un cuadrado de lado $2x$ que contiene en su interior un círculo de radio $x$. Escribe la expresión algebraica que representa el área de la región sombreada (la zona del cuadrado exterior al círculo).
Fórmulas con parámetros: tarifas y sumas
En una tarifa, lo fijo se suma y lo que depende de la variable se multiplica por ella.
Una compañía telefónica cobra una cuota fija mensual de $15$ dólares, más $0.12$ dólares por cada minuto de llamada $m$ y $0.05$ dólares por cada megabyte consumido $d$.…
Una compañía telefónica cobra una cuota fija mensual de $15$ dólares, más $0.12$ dólares por cada minuto de llamada $m$ y $0.05$ dólares por cada megabyte consumido $d$. Escribí la expresión algebraica de la factura mensual y calculá su monto para un mes en el que se consumieron $100$ minutos y $500$ megabytes.
Un depósito cilíndrico tiene un radio de la base $r = x$ y una altura $h = 3x$. Escribe las expresiones algebraicas que representan su volumen y su área lateral en…
Un depósito cilíndrico tiene un radio de la base $r = x$ y una altura $h = 3x$. Escribe las expresiones algebraicas que representan su volumen y su área lateral en función de $x$.
Dos agencias de alquiler de carros ofrecen distintas tarifas. La agencia A cobra una cuota fija de $30$ dólares más $0.20$ dólares por kilómetro recorrido. La agencia B…
Dos agencias de alquiler de carros ofrecen distintas tarifas. La agencia A cobra una cuota fija de $30$ dólares más $0.20$ dólares por kilómetro recorrido. La agencia B cobra $50$ dólares fijos más $0.15$ dólares por kilómetro. Escribí la expresión algebraica que representa la diferencia de costo entre la agencia A y la agencia B para un trayecto de $k$ kilómetros, y determiná para cuántos kilómetros el costo es exactamente el mismo.
Escribe la expresión algebraica que proporciona la suma de los primeros $n$ múltiplos enteros positivos de $3$, sabiendo que la suma de los primeros $n$ números…
Escribe la expresión algebraica que proporciona la suma de los primeros $n$ múltiplos enteros positivos de $3$, sabiendo que la suma de los primeros $n$ números naturales es $\frac{n(n+1)}{2}$. Utiliza dicha expresión para calcular la suma de los primeros $50$ múltiplos de $3$.
Simplificar expresiones con productos notables
Muchas expresiones se simplifican si el numerador se factoriza y se cancela un factor común con el denominador. Para eso conviene reconocer estos productos notables:
Dividir un polinomio por un factor suyo es lo mismo que cancelar ese factor: si $A = B \cdot C$, entonces $A : B = C$. Se puede verificar multiplicando.
Calcula el valor numérico de la expresión algebraica $P(x,y) = \frac{x^2 - 2xy + y^2}{x - y}$ para $x = \frac{1}{2}$ y $y = -\frac{3}{2}$. Pista: simplifica la expresión…
Calcula el valor numérico de la expresión algebraica $P(x,y) = \frac{x^2 - 2xy + y^2}{x - y}$ para $x = \frac{1}{2}$ y $y = -\frac{3}{2}$. Pista: simplifica la expresión antes de sustituir los valores.
Dada la expresión algebraica $E(a,b) = \frac{a^3 - b^3}{a^2 + ab + b^2}$, simplifícala al máximo efectuando la división y utiliza el resultado para calcular mentalmente…
Dada la expresión algebraica $E(a,b) = \frac{a^3 - b^3}{a^2 + ab + b^2}$, simplifícala al máximo efectuando la división y utiliza el resultado para calcular mentalmente su valor numérico cuando $a = 4.5$ y $b = 1.5$.
Factor común y fracciones algebraicas
El factor común sale de aplicar la propiedad distributiva al revés: $ab + ac = a(b + c)$. Cuando son cuatro términos, se agrupan de a dos y se vuelve a sacar factor común.
Para sumar fracciones algebraicas se procede igual que con números: se busca un denominador común.
En un circuito eléctrico, la resistencia equivalente $R_{eq}$ de tres resistencias $R_1$, $R_2$ y $R_3$ conectadas en paralelo se obtiene a partir de la fórmula…
En un circuito eléctrico, la resistencia equivalente $R_{eq}$ de tres resistencias $R_1$, $R_2$ y $R_3$ conectadas en paralelo se obtiene a partir de la fórmula $\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_3}$. Despeja $R_{eq}$ y escribe su expresión algebraica como una única fracción en función de $R_1$, $R_2$ y $R_3$.
Un jardín rectangular tiene unas dimensiones de $a$ metros de largo por $b$ metros de ancho. Se construyen dos caminos perpendiculares de anchura $x$ paralelos a los…
Un jardín rectangular tiene unas dimensiones de $a$ metros de largo por $b$ metros de ancho. Se construyen dos caminos perpendiculares de anchura $x$ paralelos a los lados del jardín, formando una cruz. Escribí la expresión algebraica factorizada del área de la zona verde restante.
Más problemas: figuras y demostraciones
Con las mismas ideas se resuelven problemas más elaborados. El truco es siempre el mismo: elegir bien las letras, escribir cada parte y recién después simplificar.
Se quiere construir una caja sin tapa a partir de una plancha de cartón rectangular de $40$ cm de largo por $30$ cm de ancho. Para ello, se recortan cuadrados de lado…
Se quiere construir una caja sin tapa a partir de una plancha de cartón rectangular de $40$ cm de largo por $30$ cm de ancho. Para ello, se recortan cuadrados de lado $x$ en cada una de las cuatro esquinas y se doblan las solapas hacia arriba. Escribe la expresión algebraica del volumen de la caja en función de $x$ y calcula dicho volumen si $x = 5$ cm.
Demuestra algebraicamente que la diferencia entre los cuadrados de dos números impares consecutivos es siempre un múltiplo de $8$. (Recuerda que un número impar se puede…
Demuestra algebraicamente que la diferencia entre los cuadrados de dos números impares consecutivos es siempre un múltiplo de $8$. (Recuerda que un número impar se puede expresar de la forma $2n+1$).
Un agricultor dispone de $L$ metros de valla para cercar un terreno rectangular adyacente a un río rectilíneo. Como el río actúa como barrera natural, no necesita poner…
Un agricultor dispone de $L$ metros de valla para cercar un terreno rectangular adyacente a un río rectilíneo. Como el río actúa como barrera natural, no necesita poner valla en ese lado. Si llamamos $x$ a la anchura del terreno (la dimensión perpendicular al río), escribe la expresión algebraica del área del recinto en función de $L$ y $x$. ¿Cuál es el área si dispone de $100$ metros de valla y la anchura es de $20$ metros?
Volvé al principio: si entrenás $30$ minutos, la app calcula las calorías con el valor numérico para $t = 30$: $C(30) = 0.15 \cdot 30^2 + 8 \cdot 30 = 135 + 240 = 375$ calorías.