Ángulos orientados y circunferencia goniométrica
Hasta ahora el seno, el coseno y la tangente solo tenían sentido para ángulos agudos, los que caben dentro de un triángulo rectángulo. Pero la rueda de la fortuna de las fiestas agostinas da vueltas y vueltas sin parar: una cabina puede girar $750^\circ$ en un solo paseo. Hace falta una definición que funcione para cualquier ángulo, grande, pequeño o negativo. Esa es la circunferencia goniométrica.
Repaso: razones en el triángulo rectángulo
En un triángulo rectángulo, para un ángulo agudo $\theta$:
$$\operatorname{sen}\theta=\frac{\text{op}}{\text{hip}}\qquad \cos\theta=\frac{\text{ady}}{\text{hip}}\qquad \tan\theta=\frac{\text{op}}{\text{ady}}$$Para los ángulos notables, los triángulos de $45^\circ$ y de $30^\circ$–$60^\circ$ dan valores exactos:
| $\theta$ | $30^\circ$ | $45^\circ$ | $60^\circ$ |
|---|---|---|---|
| $\operatorname{sen}\theta$ | $\frac{1}{2}$ | $\frac{\sqrt2}{2}$ | $\frac{\sqrt3}{2}$ |
| $\cos\theta$ | $\frac{\sqrt3}{2}$ | $\frac{\sqrt2}{2}$ | $\frac{1}{2}$ |
| $\tan\theta$ | $\frac{\sqrt3}{3}$ | $1$ | $\sqrt3$ |
Estas razones solo sirven para ángulos agudos. Para los demás necesitamos ampliar la idea.
Ángulos de más de una vuelta y ángulos negativos
Un ángulo no tiene por qué quedarse entre $0^\circ$ y $360^\circ$. Si algo sigue girando, el ángulo recorrido puede ser $750^\circ$ o $2000^\circ$: cada $360^\circ$ es una vuelta completa. Por convenio, los ángulos se miden desde el semieje positivo de $X$ y son positivos si el giro es antihorario y negativos si es horario.
Un ángulo mayor de $360º$ da más de una vuelta completa. Expresa cada uno de estos ángulos como un número de vueltas completas más un ángulo menor de $360º$:…
Un ángulo mayor de $360º$ da más de una vuelta completa. Expresa cada uno de estos ángulos como un número de vueltas completas más un ángulo menor de $360º$:
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$\alpha = 750º$
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$\beta = 1180º$
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$\gamma = 2000º$
Los ángulos negativos se recorren en sentido horario. Expresa cada uno de estos ángulos como un ángulo positivo menor de $360º$ que tenga el mismo lado terminal:…
Los ángulos negativos se recorren en sentido horario. Expresa cada uno de estos ángulos como un ángulo positivo menor de $360º$ que tenga el mismo lado terminal:
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$\alpha = -60º$
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$\beta = -150º$
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$\gamma = -400º$
Una noria gira en sentido antihorario. Una de sus cabinas parte del punto más bajo y, tras el recorrido completo de un ciclo, ha girado un total de $750º$. ¿Cuántas…
Una noria gira en sentido antihorario. Una de sus cabinas parte del punto más bajo y, tras el recorrido completo de un ciclo, ha girado un total de $750º$.
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¿Cuántas vueltas completas ha dado la cabina?
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¿Qué ángulo menor de $360º$ describe su posición final respecto a la de partida?
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Si el giro hubiera sido de $1500º$, ¿dónde acabaría la cabina?
La circunferencia goniométrica
Dibujá una circunferencia de radio $1$ con centro en el origen. Para cualquier ángulo $\alpha$ medido desde el semieje positivo de $X$, su lado terminal corta la circunferencia en un punto $P$. La idea clave: el coseno de $\alpha$ es la abscisa de $P$ y el seno de $\alpha$ es su ordenada.
Para un ángulo agudo coincide con la definición del triángulo rectángulo: la hipotenusa mide $1$, así que $\frac{\text{op}}{\text{hip}}$ es directamente la ordenada de $P$.
Distancia entre dos puntos y simetrías
La distancia entre $P(x_1, y_1)$ y $Q(x_2, y_2)$ sale del teorema de Pitágoras: $d(P,Q)=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$. Por ejemplo, $d\big((1, 2),(4, 6)\big)=\sqrt{9+16}=5$.
Las simetrías de un punto $P(a, b)$ son: respecto al eje $X$, $(a, -b)$; respecto al eje $Y$, $(-a, b)$; respecto al origen, $(-a, -b)$; respecto a la recta $y=x$, $(b, a)$. Así, el simétrico de $(2, 5)$ respecto al origen es $(-2, -5)$.
En la circunferencia goniométrica, el seno de un ángulo es la ordenada y el coseno la abscisa del punto donde el lado terminal corta a la circunferencia, como se muestra…
En la circunferencia goniométrica, el seno de un ángulo es la ordenada y el coseno la abscisa del punto donde el lado terminal corta a la circunferencia, como se muestra en la figura.
A la vista de la figura, calcula razonadamente el valor de:
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$\sin 90º$ y $\cos 90º$
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$\sin 180º$ y $\cos 180º$
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$\sin 270º$ y $\cos 270º$
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$\sin 360º$ y $\cos 360º$
Los cuatro cuadrantes y el signo de las razones
Los ejes dividen el plano en cuatro cuadrantes, numerados en sentido antihorario desde el semieje positivo de $X$. El cuadrante donde cae el lado terminal decide el signo de las razones: basta mirar los signos de la abscisa y la ordenada de $P$.
Indica en qué cuadrante se encuentra el lado terminal de cada uno de estos ángulos: $\alpha = 95º$ $\beta = 262º$ $\gamma = 310º$ $\delta = -80º$ $\varepsilon = 500º$
Indica en qué cuadrante se encuentra el lado terminal de cada uno de estos ángulos:
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$\alpha = 95º$
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$\beta = 262º$
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$\gamma = 310º$
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$\delta = -80º$
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$\varepsilon = 500º$
Sin usar la calculadora, indica el signo (positivo o negativo) de cada una de estas razones trigonométricas, razonando a qué cuadrante pertenece cada ángulo: $\sin 130º$…
Sin usar la calculadora, indica el signo (positivo o negativo) de cada una de estas razones trigonométricas, razonando a qué cuadrante pertenece cada ángulo:
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$\sin 130º$
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$\cos 200º$
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$\tan 320º$
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$\cos 95º$
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$\sin 350º$
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$\tan 140º$
En la figura se ha representado un ángulo $\alpha$ en la circunferencia goniométrica, con las proyecciones de su punto $P$ sobre los ejes. A la vista de la figura,…
En la figura se ha representado un ángulo $\alpha$ en la circunferencia goniométrica, con las proyecciones de su punto $P$ sobre los ejes.
A la vista de la figura, indica el signo de $\sin \alpha$, de $\cos \alpha$ y de $\tan \alpha$, justificando cada respuesta a partir de las coordenadas del punto $P$.
Determina en qué cuadrante se encuentra cada uno de los ángulos $\alpha$, $\beta$ y $\gamma$ sabiendo que: $\sin \alpha < 0$ y $\tan \alpha > 0$ $\cos \beta > 0$ y…
Determina en qué cuadrante se encuentra cada uno de los ángulos $\alpha$, $\beta$ y $\gamma$ sabiendo que:
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$\sin \alpha < 0$ y $\tan \alpha > 0$
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$\cos \beta > 0$ y $\sin \beta < 0$
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$\cos \gamma < 0$ y $\tan \gamma < 0$
Indica también el signo de la razón trigonométrica que falta en cada caso.
Ángulos mayores de 90°: el ángulo de referencia
¿Cómo se calcula $\operatorname{sen}135^\circ$ sin calculadora? Con el triángulo de referencia: el triángulo rectángulo formado por el lado terminal, la proyección de $P$ sobre el eje $X$ y el propio eje. Su ángulo agudo es el ángulo de referencia.
En la figura se ha representado el ángulo de $135º$ en la circunferencia goniométrica, junto con su triángulo de referencia. Sabiendo que $\sin 45º = \frac{\sqrt{2}}{2}$…
En la figura se ha representado el ángulo de $135º$ en la circunferencia goniométrica, junto con su triángulo de referencia.
Sabiendo que $\sin 45º = \frac{\sqrt{2}}{2}$ y $\cos 45º = \frac{\sqrt{2}}{2}$, calcula el valor exacto de $\sin 135º$ y de $\cos 135º$, atendiendo al cuadrante en el que está el punto $P$.
Un velero navega con rumbo $220º$. En náutica, el rumbo se mide en sentido horario a partir del norte; en matemáticas, los ángulos se miden en sentido antihorario a…
Un velero navega con rumbo $220º$. En náutica, el rumbo se mide en sentido horario a partir del norte; en matemáticas, los ángulos se miden en sentido antihorario a partir del este (semieje $X$ positivo).
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Expresa el rumbo del velero como un ángulo matemático $\alpha$ entre $0º$ y $360º$.
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Indica en qué cuadrante navega el velero y el signo de $\sin \alpha$ y de $\cos \alpha$.
Considera el ángulo $\alpha = 215º$. Indica en qué cuadrante se encuentra su lado terminal. Determina el signo de $\sin \alpha$, $\cos \alpha$ y $\tan \alpha$. Escribe…
Considera el ángulo $\alpha = 215º$.
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Indica en qué cuadrante se encuentra su lado terminal.
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Determina el signo de $\sin \alpha$, $\cos \alpha$ y $\tan \alpha$.
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Escribe $\alpha$ como $180º$ más un ángulo agudo, y también como un ángulo negativo comprendido entre $-360º$ y $0º$.
Un alumno ha escrito en su cuaderno la siguiente resolución: > «$\cos 130º = \cos(180º - 50º) = \cos 50º \approx 0.64$» Encuentra el error que ha cometido, explica por…
Un alumno ha escrito en su cuaderno la siguiente resolución:
«$\cos 130º = \cos(180º - 50º) = \cos 50º \approx 0.64$»
Encuentra el error que ha cometido, explica por qué es un error y calcula correctamente el valor de $\cos 130º$ con la calculadora, con cuatro cifras decimales.
Ángulos con el mismo seno o el mismo coseno
En la circunferencia, dos ángulos tienen el mismo seno si sus puntos $P$ están a la misma altura: son simétricos respecto al eje $Y$. Tienen el mismo coseno si sus puntos están a igual distancia del eje $Y$: son simétricos respecto al eje $X$.
Además, la identidad fundamental $\operatorname{sen}^2\alpha+\cos^2\alpha=1$ sale de que $P(\cos\alpha,\operatorname{sen}\alpha)$ está a distancia $1$ del origen. Sirve para hallar una razón conociendo la otra y el cuadrante.
En la figura se han representado dos ángulos, $\alpha$ y $\beta$, de la circunferencia goniométrica cuyos puntos del lado terminal están a la misma altura. ¿Qué relación…
En la figura se han representado dos ángulos, $\alpha$ y $\beta$, de la circunferencia goniométrica cuyos puntos del lado terminal están a la misma altura.
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¿Qué relación guardan entre sí los ángulos $\alpha$ y $\beta$? Exprésala con una igualdad.
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Si $\sin \alpha = 0.42$ y $\alpha \approx 25º$, halla otro ángulo de $[0º, 360º)$ que tenga el mismo seno.
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¿Qué relación guardan dos ángulos de $[0º, 360º)$ que tienen el mismo coseno? Razona tu respuesta con la circunferencia goniométrica.
El punto $P$ de la figura pertenece a la circunferencia goniométrica, está en el tercer cuadrante y verifica $\cos \alpha = -0.8$. ¿Cuál es el signo de $\sin \alpha$? ¿Y…
El punto $P$ de la figura pertenece a la circunferencia goniométrica, está en el tercer cuadrante y verifica $\cos \alpha = -0.8$.
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¿Cuál es el signo de $\sin \alpha$? ¿Y el de $\tan \alpha$?
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Calcula el valor exacto de $\sin \alpha$ utilizando la identidad fundamental $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$.
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Calcula $\tan \alpha$.
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Sea $\beta = \alpha - 180º$. Indica en qué cuadrante está $\beta$ y calcula sus tres razones trigonométricas.
¿Y si no existe la tangente?
La tangente es $\tan\alpha=\frac{\operatorname{sen}\alpha}{\cos\alpha}$. Como toda división, falla cuando el denominador es $0$: si $\cos\alpha=0$, la tangente no existe. Pasa en $90^\circ$ y $270^\circ$, donde el lado terminal cae sobre el eje $Y$.
Indica si cada una de estas afirmaciones es verdadera o falsa, razonando tu respuesta: Existe algún ángulo $\alpha$ tal que $\cos \alpha = 1.4$. Si $\sin \alpha > 0$,…
Indica si cada una de estas afirmaciones es verdadera o falsa, razonando tu respuesta:
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Existe algún ángulo $\alpha$ tal que $\cos \alpha = 1.4$.
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Si $\sin \alpha > 0$, entonces $\alpha$ pertenece al primer cuadrante.
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La tangente de $90º$ no existe.
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$\sin(-40º) = \sin 40º$.
A partir de la definición $\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$: Determina todos los ángulos $\alpha$ de $[0º, 360º)$ para los que no existe $\tan \alpha$,…
A partir de la definición $\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$:
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Determina todos los ángulos $\alpha$ de $[0º, 360º)$ para los que no existe $\tan \alpha$, justificando la respuesta.
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Determina todos los ángulos $\alpha$ de $[0º, 360º)$ para los que $\tan \alpha = 0$.
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Escribe, usando un número entero $k$ cualquiera, la expresión general de todos los ángulos para los que la tangente no existe.
Volvé al principio: la cabina que gira $750^\circ$ da $2$ vueltas completas y queda como en $30^\circ$, porque $750^\circ=2\cdot360^\circ+30^\circ$. Su altura respecto al centro es $\operatorname{sen}750^\circ=\operatorname{sen}30^\circ=0.5$ veces el radio.