Desigualdades e inecuaciones
Tenés $\$5.00$ para el recreo en el centro escolar, y antes de comprar pupusas comprás una gaseosa de $\$1.25$. Cada pupusa cuesta $\$0.50$. ¿Cuántas pupusas podés pagar? No hay un número exacto: sirven varios valores. Una inecuación pregunta «¿para qué valores se cumple?» en vez de «¿cuánto vale?». Su respuesta es un conjunto de números, y por eso necesitamos el lenguaje de los intervalos.
Intervalos y conjunto solución
En la recta numérica, un círculo vacío indica que el extremo no pertenece a la solución. Un círculo lleno indica que sí pertenece.
Escribe en forma de intervalo y representa en la recta real los valores de $x$ que cumplen la desigualdad $-3 \le x < 5$. Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con…
Escribe en forma de intervalo y representa en la recta real los valores de $x$ que cumplen la desigualdad $-3 \le x < 5$.
Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.
Primer grado, con paréntesis y denominadores
Se resuelve igual que una ecuación: se transponen términos y se despeja $x$. Sumar o restar el mismo número a los dos miembros no cambia el sentido (por eso se puede transponer: $x + 3 \leq 12$ equivale a $x \leq 9$). Al multiplicar o dividir hay una regla nueva.
Cuando hay denominadores, primero se multiplica por el m.c.m. de los denominadores. Ese número es positivo, así que el sentido no cambia.
También puede pasar que no haya un intervalo «normal»: $x + 1 > x$ se cumple siempre ($S = \mathbb{R}$), y $2x + 1 > 2x + 3$ no se cumple nunca ($S = \emptyset$).
Otra forma de resolverla es graficar $y = ax + b$ y mirar dónde la recta queda por encima ($>0$) o por debajo ($<0$) del eje $x$. Por ejemplo, $y = 2x - 4$ corta el eje en $x = 2$ y sube hacia la derecha, así que $2x - 4 \geq 0$ se cumple para $x \geq 2$: $S = [2, +\infty[$.
Resuelve la siguiente inecuación de primer grado: $4x - 5(x - 2) \ge 3x + 2$
Resuelve la siguiente inecuación de primer grado:
$4x - 5(x - 2) \ge 3x + 2$
Resuelve la inecuación lineal con denominadores: $\frac{x}{2} - \frac{x - 1}{3} > 1$
Resuelve la inecuación lineal con denominadores:
$\frac{x}{2} - \frac{x - 1}{3} > 1$
Resuelve la inecuación de primer grado con fracciones y paréntesis: $\frac{3(x - 2)}{4} - \frac{2x + 1}{6} \le \frac{x - 3}{2} + 1$
Resuelve la inecuación de primer grado con fracciones y paréntesis:
$\frac{3(x - 2)}{4} - \frac{2x + 1}{6} \le \frac{x - 3}{2} + 1$
Traducir problemas
Antes de resolver hay que traducir al lenguaje simbólico.
| En palabras | Símbolo |
|---|---|
| mayor que, más de, estrictamente más que | $>$ |
| menor que, menos de, estrictamente menos que | $<$ |
| al menos, como mínimo, no menos de | $\geq$ |
| como máximo, a lo sumo, no más de | $\leq$ |
Con esto se cierra la pregunta del principio. La solución de la desigualdad es $n \leq 7.5$, pero la solución del problema es solo la parte que tiene sentido en la situación. Siempre fijate si el resultado es razonable.
Traduce al lenguaje algebraico y resuelve: "El triple de un número, disminuido en $4$ unidades, es como máximo $11$".
Traduce al lenguaje algebraico y resuelve: "El triple de un número, disminuido en $4$ unidades, es como máximo $11$".
Para aprobar una asignatura, un alumno debe tener una nota media de al menos $5$ puntos en los tres exámenes del trimestre. Si en los dos primeros exámenes ha obtenido…
Para aprobar una asignatura, un alumno debe tener una nota media de al menos $5$ puntos en los tres exámenes del trimestre. Si en los dos primeros exámenes ha obtenido un $3.5$ y un $4.2$, ¿qué nota deberá sacar en el tercer examen para aprobar? (La nota máxima es $10$).
Desigualdades cuadráticas: la parábola decide
Una inecuación de segundo grado se resuelve con la gráfica de la función cuadrática $y = ax^2 + bx + c$:
-
Pasá todo a un miembro, de modo que el otro quede en $0$.
-
Hallá las raíces con la fórmula general, o factorizando.
-
Imaginá la parábola. Si $a > 0$ abre hacia arriba, y si $a < 0$ abre hacia abajo.
-
Quedate con el tramo donde la parábola está por debajo del eje ($<0$) o por encima ($>0$).
Si la parábola abre hacia abajo ($a<0$), todo se da vuelta: es positiva entre las raíces. Si querés evitarlo, multiplicá por $-1$ y cambiá el sentido de la desigualdad.
Para que lo veas, mové los deslizadores y mirá dónde la curva queda por debajo o por encima del eje $x$.
Resuelve la inecuación de segundo grado $x^2 - 16 < 0$. Expresa la solución en forma de intervalo.
Resuelve la inecuación de segundo grado $x^2 - 16 < 0$. Expresa la solución en forma de intervalo.
Resuelve la inecuación de segundo grado $-2x^2 + 5x + 3 \ge 0$. Expresa la solución como un intervalo.
Resuelve la inecuación de segundo grado $-2x^2 + 5x + 3 \ge 0$. Expresa la solución como un intervalo.
Se lanza un cohete de juguete verticalmente hacia arriba. La altura $h$ (en metros) alcanzada por el cohete en función del tiempo $t$ (en segundos) viene dada por la…
Se lanza un cohete de juguete verticalmente hacia arriba. La altura $h$ (en metros) alcanzada por el cohete en función del tiempo $t$ (en segundos) viene dada por la expresión $h(t) = 30t - 5t^2$. ¿Durante qué intervalo de tiempo el cohete se encontrará a una altura estrictamente superior a $25$ metros?
¿Cuándo es siempre positiva? Parámetros
A veces la pregunta es para qué valores de un parámetro la inecuación se cumple para todo $x$. Pensalo con la parábola: $ax^2 + bx + c > 0$ para todo $x$ si la parábola abre hacia arriba y no toca el eje.
Determina los valores del parámetro $m$ para que la inecuación de segundo grado $x^2 - mx + 9 > 0$ se cumpla para cualquier número real $x$.
Determina los valores del parámetro $m$ para que la inecuación de segundo grado $x^2 - mx + 9 > 0$ se cumpla para cualquier número real $x$.
Sistemas de inecuaciones
Resuelve el siguiente sistema de inecuaciones con una incógnita: $\begin{cases} 2x - 3 > 1 \\ x + 4 \le 7 \end{cases}$
Resuelve el siguiente sistema de inecuaciones con una incógnita:
$\begin{cases} 2x - 3 > 1 \\ x + 4 \le 7 \end{cases}$
Encuentra la solución del siguiente sistema de inecuaciones: $\begin{cases} \frac{x + 1}{2} - \frac{x - 2}{3} > x - 1 \\ 3x - 4(x + 1) \ge -6 \end{cases}$
Encuentra la solución del siguiente sistema de inecuaciones:
$\begin{cases} \frac{x + 1}{2} - \frac{x - 2}{3} > x - 1 \\ 3x - 4(x + 1) \ge -6 \end{cases}$
La base de un rectángulo mide $5$ cm más que su altura. Si el perímetro del rectángulo debe ser mayor que $30$ cm pero su área no puede exceder los $150$ cm$^2$, ¿entre…
La base de un rectángulo mide $5$ cm más que su altura. Si el perímetro del rectángulo debe ser mayor que $30$ cm pero su área no puede exceder los $150$ cm$^2$, ¿entre qué valores se encuentra la medida de la altura?
Desigualdad triangular y desigualdad de las medias
En un triángulo, ningún lado puede ser más largo que la suma de los otros dos: si lo fuera, esos dos lados no alcanzarían a cerrarse.
Otra desigualdad útil compara dos formas de «promediar» dos números.
La base de un rectángulo mide $5$ cm más que su altura. Si el perímetro del rectángulo debe ser mayor que $30$ cm pero su área no puede exceder los $150$ cm$^2$, ¿entre…
La base de un rectángulo mide $5$ cm más que su altura. Si el perímetro del rectángulo debe ser mayor que $30$ cm pero su área no puede exceder los $150$ cm$^2$, ¿entre qué valores se encuentra la medida de la altura?
Determina los valores del parámetro $m$ para que la inecuación de segundo grado $x^2 - mx + 9 > 0$ se cumpla para cualquier número real $x$.
Determina los valores del parámetro $m$ para que la inecuación de segundo grado $x^2 - mx + 9 > 0$ se cumpla para cualquier número real $x$.
Polinómicas y racionales: cuadro de variación
Para inecuaciones de grado mayor que 2 o con la incógnita en un denominador, la herramienta es el cuadro de variación (de signos):
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Pasá todo a un miembro, de modo que el otro quede en $0$.
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Factorizá (factor común, asociación, método de la tijera, división sintética con el teorema del factor, fórmula general) y buscá los puntos críticos: raíces del numerador y del denominador.
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Marcá esos puntos en la recta. Dividen la recta en tramos donde cada factor tiene signo constante.
-
Hallá el signo de cada factor en cada tramo, y multiplicá o dividí los signos.
-
Elegí los tramos que pide la desigualdad. Las raíces del denominador nunca se incluyen.
Resuelve la siguiente inecuación racional, estudiando el signo en los intervalos correspondientes: $\frac{2x - 5}{x + 3} \le 0$
Resuelve la siguiente inecuación racional, estudiando el signo en los intervalos correspondientes:
$\frac{2x - 5}{x + 3} \le 0$
Resuelve la inecuación polinómica de grado superior factorizando previamente el polinomio: $x^3 - 4x^2 - x + 4 \le 0$
Resuelve la inecuación polinómica de grado superior factorizando previamente el polinomio:
$x^3 - 4x^2 - x + 4 \le 0$
Resuelve la inecuación racional, prestando atención a operar correctamente antes de estudiar los signos (recuerda que no puedes eliminar denominadores que contengan la…
Resuelve la inecuación racional, prestando atención a operar correctamente antes de estudiar los signos (recuerda que no puedes eliminar denominadores que contengan la incógnita):
$\frac{x + 1}{x - 2} > \frac{1}{2}$
Valor absoluto
$|x - a|$ es la distancia de $x$ a $a$ en la recta. Por eso:
Si adentro hay un polinomio, se plantea lo mismo: $|x^2 - 5x| < 6$ equivale a $-6 < x^2 - 5x < 6$. Es un sistema de dos inecuaciones de segundo grado, y se resuelve con la intersección.
Resuelve la inecuación con valor absoluto $|x - 3| \le 5$ y expresa su solución mediante un intervalo.
Resuelve la inecuación con valor absoluto $|x - 3| \le 5$ y expresa su solución mediante un intervalo.
Resuelve la siguiente inecuación que combina valor absoluto y polinomios de segundo grado: $|x^2 - 5x| < 6$
Resuelve la siguiente inecuación que combina valor absoluto y polinomios de segundo grado:
$|x^2 - 5x| < 6$
Dos incógnitas: regiones del plano
Una inecuación como $y \leq x - 1$ no se cumple en un número sino en una región del plano. La recta $y = x - 1$ es el borde y deja el plano dividido en dos semiplanos. Para saber cuál es la solución, probás un punto: si cumple la desigualdad, está de ese lado.
Comprueba si los puntos $A(2, -1)$, $B(0, 3)$ y $C(-1, -2)$ son soluciones de la inecuación con dos incógnitas $3x - 2y \le 4$.
Comprueba si los puntos $A(2, -1)$, $B(0, 3)$ y $C(-1, -2)$ son soluciones de la inecuación con dos incógnitas $3x - 2y \le 4$.
Escribe el sistema de inecuaciones con dos incógnitas cuya solución corresponde a la región sombreada en la siguiente figura.
Escribe el sistema de inecuaciones con dos incógnitas cuya solución corresponde a la región sombreada en la siguiente figura.
Un agricultor quiere envasar su producción de aceite. Sabiendo que dispone de botellas de $2$ litros y de $5$ litros, y que tiene estrictamente menos de $100$ litros de…
Un agricultor quiere envasar su producción de aceite. Sabiendo que dispone de botellas de $2$ litros y de $5$ litros, y que tiene estrictamente menos de $100$ litros de aceite, escribe una inecuación lineal con dos incógnitas que modele esta situación. Si ya ha llenado $10$ botellas de $5$ litros, ¿cuántas botellas de $2$ litros puede llenar como máximo?
Sistemas de dos incógnitas y problemas
Cuando hay varias restricciones, la solución es la intersección de los semiplanos: la región factible. Si los datos son cantidades (porciones, auriculares, docenas), se agregan $x \geq 0$ e $y \geq 0$.
Para decidir si un punto sirve, se reemplaza en todas las desigualdades y tienen que cumplirse todas. Si te dan la figura de una región (un triángulo, por ejemplo), buscás cada recta del borde con sus dos puntos y elegís el signo con un punto de adentro, como en el ejemplo anterior.
Una pequeña empresa fabrica dos tipos de auriculares inalámbricos: el modelo Alfa y el modelo Beta. El modelo Alfa requiere $3$ horas de montaje y $1$ hora de…
Una pequeña empresa fabrica dos tipos de auriculares inalámbricos: el modelo Alfa y el modelo Beta. El modelo Alfa requiere $3$ horas de montaje y $1$ hora de calibración, mientras que el modelo Beta requiere $2$ horas de montaje y $2$ horas de calibración. La empresa dispone de un máximo de $120$ horas para montaje y $80$ horas para calibración a la semana. Plantea el sistema de inecuaciones que define la región factible e indica si sería posible fabricar $20$ auriculares Alfa y $25$ auriculares Beta en una semana.
Observa la siguiente región factible acotada (un triángulo) y determina el sistema de tres inecuaciones lineales con dos incógnitas que la define.
Observa la siguiente región factible acotada (un triángulo) y determina el sistema de tres inecuaciones lineales con dos incógnitas que la define.
Una dieta equilibrada requiere que la ingesta diaria de dos alimentos, $A$ y $B$, aporte al menos $60$ g de proteínas y no supere los $80$ g de grasas. Cada porción de…
Una dieta equilibrada requiere que la ingesta diaria de dos alimentos, $A$ y $B$, aporte al menos $60$ g de proteínas y no supere los $80$ g de grasas. Cada porción de $100$ g del alimento $A$ contiene $15$ g de proteínas y $10$ g de grasas. Cada porción de $100$ g del alimento $B$ contiene $10$ g de proteínas y $20$ g de grasas. Si llamamos $x$ e $y$ al número de porciones de $100$ g de los alimentos $A$ y $B$ consumidas respectivamente, plantea el sistema de inecuaciones y averigua si es posible consumir exactamente $3$ porciones de $A$ y $2$ porciones de $B$ cumpliendo las restricciones.