Factorización y regla de Ruffini
Una cooperativa cafetalera de Ahuachapán modela su producción con el polinomio $P(x)=2x(x+5)(x-4)^2$. Escrito así, se ve de un vistazo cuándo vale cero: cuando $x=0$, $x=-5$ o $x=4$. Pero si te lo dan desarrollado, esa información queda escondida. ¿Cómo se la recupera? Factorizando, y la herramienta central para hacerlo es la división sintética (regla de Ruffini).
Factor común y productos notables
Factorizar un polinomio es escribirlo como producto de polinomios de menor grado. Siempre se empieza igual: sacar todo el factor común posible (el m.c.d. de los coeficientes y, de cada letra, el menor exponente con el que aparece). Después, si lo que queda es un producto notable (trinomio cuadrado perfecto, diferencia de cuadrados), lo reconocés y lo factorizás. También podés usar el método de la tijera para trinomios como $x^2+5x+6$ (ver más abajo), y la asociación de términos cuando no hay un factor común a todos.
Factor común polinomio y asociación de términos
El factor común también puede ser un polinomio: en $x(x+2)+3(x+2)$ se repite $(x+2)$, así que queda $(x+2)(x+3)$. Si no hay factor común a todos los términos, podés agrupar de dos en dos hasta que aparezca uno.
Trinomios y método de la tijera
Para $x^2+(a+b)x+ab$ buscás dos números que sumen el coeficiente de $x$ y multipliquen el término independiente: $x^2+5x+6=(x+2)(x+3)$, porque $2+3=5$ y $2\cdot3=6$.
Para $ax^2+bx+c$ con $a\neq1$, el método de la tijera descompone $ax^2$ y $c$ en factores, los cruza en diagonal y busca que la suma de los productos cruzados dé el término medio $bx$. Los números pueden ser negativos.
Extrae el factor común en el siguiente polinomio, simplificando la expresión al máximo: $P(x) = 15x^5 - 10x^4 + 20x^3$
Extrae el factor común en el siguiente polinomio, simplificando la expresión al máximo:
$P(x) = 15x^5 - 10x^4 + 20x^3$
Factorizá los siguientes polinomios reconociendo en ellos el desarrollo de productos notables (cuadrado de una suma, cuadrado de una diferencia o suma por diferencia):…
Factorizá los siguientes polinomios reconociendo en ellos el desarrollo de productos notables (cuadrado de una suma, cuadrado de una diferencia o suma por diferencia):
- a) $A(x) = x^2 - 14x + 49$
- b) $B(x) = 9x^2 - 16$
Utilizando la factorización de polinomios y los productos notables, demostrá algebraicamente que la diferencia entre los cuadrados de dos números impares consecutivos,…
Utilizando la factorización de polinomios y los productos notables, demostrá algebraicamente que la diferencia entre los cuadrados de dos números impares consecutivos, $(2n+1)^2 - (2n-1)^2$, es siempre un múltiplo de $8$ para cualquier número entero $n$.
Un panel solar tiene forma rectangular y su área viene dada por el polinomio $A(x) = x^4 - 81$. Factoriza el polinomio completamente en polinomios irreducibles con…
Un panel solar tiene forma rectangular y su área viene dada por el polinomio $A(x) = x^4 - 81$. Factoriza el polinomio completamente en polinomios irreducibles con coeficientes reales para hallar las posibles expresiones algebraicas de su base y su altura.
División sintética
Para polinomios de grado 3 o más, el factor común y los productos notables no suelen alcanzar. La división sintética (regla de Ruffini) divide $P(x)$ entre $(x-a)$ trabajando solo con los coeficientes: da el cociente (un grado menos) y el resto.
Dividir entre un binomio como $(2x-3)$
Ruffini funciona con divisores de la forma $(x-a)$, con coeficiente principal $1$. Si el divisor es $(2x-3)$, sacás factor común el $2$: $2x-3=2\left(x-\frac32\right)$. Entonces dividís entre $\left(x-\frac32\right)$ con Ruffini y después corregís el cociente.
Si $P(x)=\left(x-\frac32\right)\cdot C(x)+R$, entonces $P(x)=(2x-3)\cdot\dfrac{C(x)}{2}+R$. Es decir: el cociente de Ruffini se divide por $2$ (el coeficiente de $x$ en el divisor) y el resto no cambia.
Aplicá la regla de Ruffini para dividir el polinomio $P(x) = 3x^3 - 5x^2 + 2x - 7$ entre el binomio $(x - 2)$. Indicá claramente cuál es el polinomio cociente y cuál es…
Aplicá la regla de Ruffini para dividir el polinomio $P(x) = 3x^3 - 5x^2 + 2x - 7$ entre el binomio $(x - 2)$. Indicá claramente cuál es el polinomio cociente y cuál es el residuo de la división.
Sabiendo que $x = 1$ es una de las raíces del polinomio $P(x) = x^3 - 2x^2 - 5x + 6$, utilizá la regla de Ruffini para factorizarlo y encontrar las otras dos raíces.
Sabiendo que $x = 1$ es una de las raíces del polinomio $P(x) = x^3 - 2x^2 - 5x + 6$, utilizá la regla de Ruffini para factorizarlo y encontrar las otras dos raíces.
Realizá la división del polinomio $P(x) = 4x^3 - 8x^2 + 5x - 1$ entre el binomio $(2x - 3)$. Pista: Podés utilizar la regla de Ruffini dividiendo entre…
Realizá la división del polinomio $P(x) = 4x^3 - 8x^2 + 5x - 1$ entre el binomio $(2x - 3)$. Pista: Podés utilizar la regla de Ruffini dividiendo entre $(x - \frac{3}{2})$ y ajustando posteriormente el cociente obtenido.
Teorema del residuo y teorema del factor
Antes de armar la tabla de división sintética con un candidato, conviene saber si vale la pena. Para eso sirve el teorema del residuo.
Sin realizar la división, utiliza el teorema del resto para calcular el resto que se obtiene al dividir el polinomio $P(x) = 2x^4 - x^3 + 5x - 3$ entre $(x + 1)$.
Sin realizar la división, utiliza el teorema del resto para calcular el resto que se obtiene al dividir el polinomio $P(x) = 2x^4 - x^3 + 5x - 3$ entre $(x + 1)$.
Utiliza el teorema del factor para comprobar si $x = 3$ es una raíz del polinomio $P(x) = x^3 - 4x^2 + x + 6$. Justifica tu respuesta mostrando los cálculos.
Utiliza el teorema del factor para comprobar si $x = 3$ es una raíz del polinomio $P(x) = x^3 - 4x^2 + x + 6$. Justifica tu respuesta mostrando los cálculos.
Halla el valor del parámetro $k$ para que el polinomio $P(x) = x^3 + kx^2 - 3x + 8$ dé un resto de $10$ al ser dividido entre $(x - 2)$.
Halla el valor del parámetro $k$ para que el polinomio $P(x) = x^3 + kx^2 - 3x + 8$ dé un resto de $10$ al ser dividido entre $(x - 2)$.
Calcula el valor de $m$ para que el polinomio $P(x) = x^3 - 2x^2 + mx + 6$ sea exactamente divisible por $(x - 3)$. Una vez hallado el valor de $m$, factoriza…
Calcula el valor de $m$ para que el polinomio $P(x) = x^3 - 2x^2 + mx + 6$ sea exactamente divisible por $(x - 3)$. Una vez hallado el valor de $m$, factoriza completamente el polinomio $P(x)$.
Dónde buscar raíces: divisores del término independiente
Probar números al azar no es un buen método. Hay una regla que dice dónde buscar.
Los candidatos no son garantía: hay que probarlos con $P(a)$ o con Ruffini. El método es: listar candidatos, probar hasta encontrar una raíz, dividir para bajar el grado y repetir con el cociente.
La altura de un vagón de una montaña rusa, en metros, respecto al tiempo $t$ en segundos desde que inicia una bajada, se modeliza mediante el polinomio…
La altura de un vagón de una montaña rusa, en metros, respecto al tiempo $t$ en segundos desde que inicia una bajada, se modeliza mediante el polinomio $H(t) = -t^3 + 8t^2 - 15t$. Factoriza el polinomio para determinar en qué instantes exactos de tiempo el vagón se encuentra a ras de suelo ($H(t) = 0$).
Se sabe que el polinomio $P(x) = 2x^3 + x^2 - 13x + 6$ tiene al menos una raíz entera. Comprobá mediante el teorema del residuo o la regla de Ruffini que $x = 2$ es una…
Se sabe que el polinomio $P(x) = 2x^3 + x^2 - 13x + 6$ tiene al menos una raíz entera. Comprobá mediante el teorema del residuo o la regla de Ruffini que $x = 2$ es una de sus raíces. A continuación, factorizá el polinomio completamente para encontrar sus otras dos raíces (una de ellas es una fracción).
Un equipo de ingenieros analiza la distribución de tensiones en una viga de metal, la cual se modeliza mediante el polinomio $P(x) = x^4 - x^3 - 7x^2 + x + 6$. Encuentra…
Un equipo de ingenieros analiza la distribución de tensiones en una viga de metal, la cual se modeliza mediante el polinomio $P(x) = x^4 - x^3 - 7x^2 + x + 6$. Encuentra todas las raíces del polinomio para determinar los puntos exactos donde la tensión es nula.
Factorización completa y raíces múltiples
Factorizar completamente es repetir factor común, productos notables y Ruffini hasta que los factores sean de grado $1$ o de grado $2$ sin raíces reales. Si una raíz aparece más de una vez, es múltiple.
Dado el polinomio ya factorizado $P(x) = 2x(x + 5)(x - 4)^2$, indica directamente cuáles son todas sus raíces y especifica la multiplicidad de cada una de ellas (si son…
Dado el polinomio ya factorizado $P(x) = 2x(x + 5)(x - 4)^2$, indica directamente cuáles son todas sus raíces y especifica la multiplicidad de cada una de ellas (si son simples, dobles, etc.).
Construye un polinomio de grado 3 que tenga como raíces $x_1 = -2$, $x_2 = 0$ y $x_3 = 4$, y cuyo coeficiente principal sea $1$. Expresa el resultado final en forma…
Construye un polinomio de grado 3 que tenga como raíces $x_1 = -2$, $x_2 = 0$ y $x_3 = 4$, y cuyo coeficiente principal sea $1$. Expresa el resultado final en forma desarrollada (operando los factores).
Un depósito de agua tiene forma de prisma rectangular. Su volumen en función de una medida $x$ viene dado por el polinomio $V(x) = x^3 + 5x^2 + 6x$. Si la altura del…
Un depósito de agua tiene forma de prisma rectangular. Su volumen en función de una medida $x$ viene dado por el polinomio $V(x) = x^3 + 5x^2 + 6x$. Si la altura del depósito es exactamente $x$, factoriza el polinomio para encontrar las expresiones algebraicas que corresponden a las dimensiones de su base rectangular.
Factoriza completamente el polinomio $P(x) = 2x^4 - 2x^3 - 12x^2$. Para ello, extrae primero el factor común y luego encuentra las raíces del polinomio resultante.
Factoriza completamente el polinomio $P(x) = 2x^4 - 2x^3 - 12x^2$. Para ello, extrae primero el factor común y luego encuentra las raíces del polinomio resultante.
El número de visitas a una web (en miles) durante el mes $x$ desde su lanzamiento viene dado por la expresión $V(x) = x^3 - 14x^2 + 49x$. Factoriza la expresión para…
El número de visitas a una web (en miles) durante el mes $x$ desde su lanzamiento viene dado por la expresión $V(x) = x^3 - 14x^2 + 49x$. Factoriza la expresión para averiguar en qué mes o meses las visitas fueron exactamente cero.
Una empresa de embalaje diseña una caja de cartón cuyo volumen viene dado por el polinomio $V(x) = x^3 - 12x^2 + 36x$. Factoriza el polinomio al máximo para expresar el…
Una empresa de embalaje diseña una caja de cartón cuyo volumen viene dado por el polinomio $V(x) = x^3 - 12x^2 + 36x$. Factoriza el polinomio al máximo para expresar el volumen como el producto de tres dimensiones lineales (largo, ancho y alto).
Determina los valores de los parámetros $a$ y $b$ para que el polinomio $P(x) = x^4 + ax^3 + bx^2 - 4x + 4$ sea divisible simultáneamente por $(x - 1)$ y por $(x + 2)$.
Determina los valores de los parámetros $a$ y $b$ para que el polinomio $P(x) = x^4 + ax^3 + bx^2 - 4x + 4$ sea divisible simultáneamente por $(x - 1)$ y por $(x + 2)$.
Construye un polinomio $P(x)$ de grado 3 que tenga como raíces $x_1 = 1$, $x_2 = -2$ y $x_3 = 3$, sabiendo además que su valor numérico en $x = 0$ es $12$ (es decir,…
Construye un polinomio $P(x)$ de grado 3 que tenga como raíces $x_1 = 1$, $x_2 = -2$ y $x_3 = 3$, sabiendo además que su valor numérico en $x = 0$ es $12$ (es decir, $P(0) = 12$). Expresa el polinomio final de forma desarrollada.
Factoriza completamente el polinomio $P(x) = x^4 - 2x^3 - 3x^2 + 4x + 4$. Ten en cuenta que puede contener raíces múltiples. Indica claramente cuáles son sus raíces y la…
Factoriza completamente el polinomio $P(x) = x^4 - 2x^3 - 3x^2 + 4x + 4$. Ten en cuenta que puede contener raíces múltiples. Indica claramente cuáles son sus raíces y la multiplicidad de cada una.
En un sistema de criptografía, una clave de seguridad se valida si coincide con las raíces del polinomio $C(x) = x^5 - 4x^4 + 4x^3 + 2x^2 - 5x + 2$. Factoriza el…
En un sistema de criptografía, una clave de seguridad se valida si coincide con las raíces del polinomio $C(x) = x^5 - 4x^4 + 4x^3 + 2x^2 - 5x + 2$. Factoriza el polinomio completamente para descubrir todas las raíces y sus respectivas multiplicidades, logrando así descifrar el código.
Volvé al principio: $P(x)=2x(x+5)(x-4)^2$ se anula en $0$, $-5$ y $4$ porque está factorizado; para un polinomio desarrollado, los divisores del término independiente y la división sintética te llevan a esa misma forma.
Factorización con números complejos
Si un factor de grado $2$ tiene discriminante $\Delta=b^2-4ac<0$, no tiene raíces reales, pero sí complejas de la forma $a+bi$, con $i=\sqrt{-1}$. Con ellas el factor se descompone en $\mathbb{C}$.
En un polinomio de grado $3$ sin tres raíces reales, primero se saca una raíz real con Ruffini y el cociente cuadrático se factoriza con la fórmula general. Por ejemplo, $x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)$, y $x^2+x+1$ tiene $\Delta=-3<0$, así que sus raíces son complejas.