Inecuaciones con raíces cuadradas
Yariela mide con su celular cuánto tarda en caer una piedra al lago Gatún y usa una fórmula con raíz cuadrada. Su docente le pregunta: «¿Para qué valores de la fórmula tiene sentido el resultado?». Una raíz cuadrada real solo existe si lo de adentro no es negativo. Esa restricción es la clave de todo el apartado: antes de hacer cuentas hay que fijar el dominio, y después se eleva al cuadrado, con cuidado por el signo del otro miembro. Al final podrás responder la pregunta de Yariela.
El dominio primero: el radicando no puede ser negativo
Resuelve la inecuación $\sqrt{x^2 - 16} > 0$.
Resuelve la inecuación $\sqrt{x^2 - 16} > 0$.
Determina el dominio de la función real de variable real $f(x) = \frac{1}{\sqrt{x^2 - 25}}$.
Determina el dominio de la función real de variable real $f(x) = \frac{1}{\sqrt{x^2 - 25}}$.
Raíz menor que un número: $\sqrt{P(x)}<k$
Resuelve la inecuación $\sqrt{x - 2} < 5$. Expresa la solución en forma de intervalo.
Resuelve la inecuación $\sqrt{x - 2} < 5$. Expresa la solución en forma de intervalo.
Encuentra la solución de la inecuación $\sqrt{5 - 2x} \le 4$.
Encuentra la solución de la inecuación $\sqrt{5 - 2x} \le 4$.
Analiza y resuelve la inecuación $\sqrt{2x - 7} < -3$. Justifica tu respuesta.
Analiza y resuelve la inecuación $\sqrt{2x - 7} < -3$. Justifica tu respuesta.
Raíz mayor que un número: $\sqrt{P(x)}>k$
Si la inecuación tiene la forma $a - \sqrt{P(x)} \le b$, primero despeja la raíz (como en $4-\sqrt{x+1}\le 1$, que equivale a $\sqrt{x+1}\ge 3$) y después aplica estas reglas. Si cambias el signo de la raíz al despejar, acuérdate de invertir la desigualdad.
Determina el conjunto de soluciones de la inecuación $\sqrt{3x + 6} \ge 3$.
Determina el conjunto de soluciones de la inecuación $\sqrt{3x + 6} \ge 3$.
Halla los valores de $x$ que satisfacen la desigualdad $4 - \sqrt{x + 1} \le 1$.
Halla los valores de $x$ que satisfacen la desigualdad $4 - \sqrt{x + 1} \le 1$.
Resuelve el siguiente sistema de inecuaciones con una incógnita: $\sqrt{x} \ge 2$ y $\sqrt{x} < 5$.
Resuelve el siguiente sistema de inecuaciones con una incógnita: $\sqrt{x} \ge 2$ y $\sqrt{x} < 5$.
Cuando el otro miembro lleva la incógnita
Si la inecuación es $\sqrt{P(x)}\lessgtr g(x)$ con $g(x)$ dependiendo de $x$, hay que discutir el signo de $g(x)$: elevar al cuadrado solo conserva la desigualdad cuando los dos miembros son no negativos.
Para $\sqrt{P(x)} < g(x)$ se piden tres condiciones a la vez: $P(x)\ge 0$, $g(x)>0$ y $P(x)
Resuelve la inecuación $\sqrt{x^2 - 4x + 3} \le x - 1$. Ten en cuenta las restricciones del dominio del radicando.
Resuelve la inecuación $\sqrt{x^2 - 4x + 3} \le x - 1$. Ten en cuenta las restricciones del dominio del radicando.
Resuelve la inecuación $\sqrt{x + 6} > x$. Presta especial atención a los casos en los que el segundo miembro pueda ser negativo.
Resuelve la inecuación $\sqrt{x + 6} > x$. Presta especial atención a los casos en los que el segundo miembro pueda ser negativo.
Resuelve la inecuación $\sqrt{2x^2 - 5x + 2} \ge x - 2$.
Resuelve la inecuación $\sqrt{2x^2 - 5x + 2} \ge x - 2$.
Problemas, dominios y sistemas con raíces
Muchas magnitudes se expresan con una raíz: el período de un péndulo, una distancia, la velocidad que se estima por las marcas de frenado de un carro. El planteo es siempre el mismo: traducir el enunciado a una inecuación, fijar el dominio, resolver con las reglas anteriores y verificar que la solución tenga sentido en el contexto (una longitud o un tiempo no pueden ser negativos).
También hay que usar estas reglas para hallar el dominio de una función: para $f(x)=\frac{1}{\sqrt{x^2-25}}$ la raíz va en el denominador, así que el radicando debe ser estrictamente positivo. Y un sistema de inecuaciones se resuelve hallando cada solución por separado y intersectándolas.
El periodo $T$ de oscilación de un péndulo simple viene dado por la fórmula $T = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}$, donde $L$ es la longitud del péndulo en metros y $g$ es la…
El periodo $T$ de oscilación de un péndulo simple viene dado por la fórmula $T = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}$, donde $L$ es la longitud del péndulo en metros y $g$ es la aceleración de la gravedad. Asumiendo $g \approx \pi^2 \text{ m/s}^2$, halla el rango de longitudes $L$ para las cuales el periodo de oscilación está estrictamente entre $1$ y $3$ segundos.
Un dron de vigilancia está programado para mantenerse a una distancia estrictamente menor de $5$ km de una base situada en el origen de coordenadas $(0,0)$. Si la…
Un dron de vigilancia está programado para mantenerse a una distancia estrictamente menor de $5$ km de una base situada en el origen de coordenadas $(0,0)$. Si la trayectoria del dron viene dada por los puntos de la forma $(x, 3)$, plantea y resuelve la inecuación con raíces que determina los valores de $x$ permitidos para la trayectoria.
El tiempo de producción $T$ en horas para fabricar $x$ lotes de un componente electrónico sigue el modelo $T(x) = 3\sqrt{2x + 1} + 2$. Si el turno de trabajo máximo…
El tiempo de producción $T$ en horas para fabricar $x$ lotes de un componente electrónico sigue el modelo $T(x) = 3\sqrt{2x + 1} + 2$. Si el turno de trabajo máximo diario es de $14$ horas, ¿cuántos lotes completos se pueden producir como máximo respetando el límite de tiempo?
Determina el dominio de la función real $f(x) = \sqrt{5 - \sqrt{x - 2}}$.
Determina el dominio de la función real $f(x) = \sqrt{5 - \sqrt{x - 2}}$.
El diseño de un panel solar rectangular exige que su base mida $2$ metros fijos y que su diagonal $d$ cumpla la relación $d = \sqrt{x^2 + 4x + 8}$ metros, donde $x$ es…
El diseño de un panel solar rectangular exige que su base mida $2$ metros fijos y que su diagonal $d$ cumpla la relación $d = \sqrt{x^2 + 4x + 8}$ metros, donde $x$ es un parámetro de ajuste estructural. Halla los valores de $x$ que garantizan que la altura del panel sea de al menos $2$ metros.
Halla el conjunto de soluciones que satisfacen simultáneamente el siguiente sistema de inecuaciones: $\sqrt{3x + 1} \le 4$ $x^2 - 2x - 3 > 0$
Halla el conjunto de soluciones que satisfacen simultáneamente el siguiente sistema de inecuaciones:
$\sqrt{3x + 1} \le 4$
$x^2 - 2x - 3 > 0$
La velocidad $v$ (en km/h) de un vehículo antes de frenar bruscamente se puede estimar mediante la fórmula empírica $v = 10\sqrt{d}$, donde $d$ es la longitud de las…
La velocidad $v$ (en km/h) de un vehículo antes de frenar bruscamente se puede estimar mediante la fórmula empírica $v = 10\sqrt{d}$, donde $d$ es la longitud de las marcas de derrape en metros. Si en un tramo de autovía el límite de velocidad es de $120\text{ km/h}$, plantea una inecuación y determina qué longitudes de derrape indican que el conductor superaba el límite de velocidad.
Casos más exigentes
Cuando el radicando es una cuadrática o hay raíces anidadas, trabaja de afuera hacia adentro: fija el dominio de cada raíz, despeja y eleva al cuadrado paso a paso, controlando el signo en cada paso. Con un parámetro (como $\sqrt{x^2-mx+9}>0$ para todo $x$), la raíz es $>0$ cuando el radicando es $>0$, y eso pasa para todo $x$ si el discriminante del radicando es negativo. Un gráfico ayuda a verificar: donde la curva de la raíz queda por encima de la otra, se cumple el $>$.
Una antena de telecomunicaciones tiene un radio de cobertura eficaz de $10\text{ km}$. Un vehículo viaja por una carretera recta y su distancia a la antena en kilómetros…
Una antena de telecomunicaciones tiene un radio de cobertura eficaz de $10\text{ km}$. Un vehículo viaja por una carretera recta y su distancia a la antena en kilómetros en el instante $t$ (en minutos) viene dada por la función $d(t) = \sqrt{t^2 - 12t + 52}$. Determina el intervalo de tiempo durante el cual el vehículo dispone de cobertura.
Determina los valores del parámetro $m$ para los cuales la inecuación $\sqrt{x^2 - mx + 9} > 0$ se satisface para cualquier número real $x$.
Determina los valores del parámetro $m$ para los cuales la inecuación $\sqrt{x^2 - mx + 9} > 0$ se satisface para cualquier número real $x$.
Para conectar una estación base a un repetidor, se debe tender un cable de fibra óptica. El costo de tender el cable por un terreno rocoso es proporcional a la distancia…
Para conectar una estación base a un repetidor, se debe tender un cable de fibra óptica. El costo de tender el cable por un terreno rocoso es proporcional a la distancia en línea recta $\sqrt{x^2 + 16}$, y el costo por terreno plano es proporcional a la distancia restante $(8 - x)$. El modelo de costo total simplificado viene dado por $C(x) = 2\sqrt{x^2 + 16} + (8 - x)$. ¿Para qué valores de $x \ge 0$ el costo total cumple la restricción presupuestaria $C(x) \le 16$?
Resuelve la inecuación con radicales anidados $\sqrt{x - \sqrt{1 - x}} \ge 1$.
Resuelve la inecuación con radicales anidados $\sqrt{x - \sqrt{1 - x}} \ge 1$.
En la teoría de la relatividad especial, el factor de dilatación temporal de Lorentz viene dado por $\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$, donde $v$ es la…
En la teoría de la relatividad especial, el factor de dilatación temporal de Lorentz viene dado por $\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$, donde $v$ es la velocidad del objeto y $c$ la velocidad de la luz. Plantea y resuelve una inecuación para encontrar el rango de velocidades $v$ (expresadas como una fracción de $c$, asumiendo $v \ge 0$) para las cuales el factor de Lorentz es estrictamente mayor que $2$.
Dadas las funciones $f(x) = \sqrt{2x + 4}$ y $g(x) = x - 2$, resuelve algebraicamente la inecuación $f(x) > g(x)$ y corrobora tu resultado observando la representación…
Dadas las funciones $f(x) = \sqrt{2x + 4}$ y $g(x) = x - 2$, resuelve algebraicamente la inecuación $f(x) > g(x)$ y corrobora tu resultado observando la representación gráfica adjunta.
Vuelve al principio: la fórmula de Yariela tiene sentido solo donde el radicando es $\geq 0$, y eso lo decide el dominio.