Función valor absoluto

Expresa la función $f(x) = |3x - 6|$ como una función definida a trozos, indicando claramente los intervalos correspondientes a cada expresión algebraica.

Dada la siguiente función definida a trozos:

$f(x) = \begin{cases} x + 4 & \text{si } x \ge -4 \\ -x - 4 & \text{si } x < -4 \end{cases}$

Escribe su expresión analítica de forma compacta utilizando el valor absoluto.

Calcula el valor numérico de la función $g(x) = |-x^2 + 4x|$ para los puntos $x = -1$, $x = 0$, $x = 2$ y $x = 5$.

Determina el dominio y el recorrido de la función $h(x) = |x| + 5$. Justifica tu respuesta basándote en las propiedades del valor absoluto.

Resuelve la ecuación $|2x - 8| = 0$ y explica qué representa geométricamente este resultado respecto a la gráfica de la función $f(x) = |2x - 8|$.

Determina las coordenadas exactas de los puntos de corte con los ejes cartesianos de la función $h(x) = |x - 3| - 5$.

Dada la siguiente gráfica de una función con valor absoluto, deduce su expresión analítica de la forma $y = |x - a|$.

En una simulación de billar, una bola rebota contra la banda situada en el eje de abscisas. La trayectoria de la bola sigue la función $y = 4 - |x - 3|$, donde $x$ e $y$ están medidos en unidades de la cuadrícula del simulador.

Determina analíticamente (sin dibujar la gráfica, o usándola solo para comprobar):

1. a) Las coordenadas del punto donde la bola alcanza su máxima separación de la banda.

1. b) Las coordenadas de los puntos donde la bola impactaría con el eje X.

Determina las coordenadas del vértice y los puntos de corte con los ejes de la función $f(x) = -|2x - 6| + 8$. ¿Las ramas de esta función se abren hacia las ordenadas positivas o negativas?

Expresa como una función definida a trozos la función cuadrática con valor absoluto $f(x) = |x^2 - 25|$.

Expresa la función $f(x) = |x^2 - 5x + 6|$ como una función definida a trozos. Indica en qué intervalo o intervalos la parábola original $y = x^2 - 5x + 6$ ha sido reflejada respecto al eje de abscisas.

En un laboratorio, la desviación de la temperatura de una reacción química respecto a la temperatura ideal de $22^\circ\text{C}$ viene dada por la función $D(t) = |2t - 12|$, donde $t$ es el tiempo en minutos. Expresa $D(t)$ como una función a trozos y determina en qué instante la desviación es nula.

El margen de beneficio de una empresa, en miles de dólares, respecto a su objetivo anual se modela mediante la función $M(x) = |x^2 - 40x + 300|$, siendo $x$ el número de meses transcurridos. Expresa la función por partes para identificar en qué periodos la empresa estuvo exactamente en el objetivo, por debajo de él (antes de aplicar el valor absoluto) o por encima.

Expresa la función racional con valor absoluto $f(x) = \left| \frac{2x - 4}{x + 1} \right|$ como una función definida a trozos. A continuación, determina su dominio y las ecuaciones de sus asíntotas horizontales y verticales.

Dada la función $f(x) = |x^2 - 2x + k|$, determina el valor del parámetro $k$ sabiendo que la gráfica de la función toca al eje de abscisas en un único punto. Para ese valor de $k$, expresa $f(x)$ sin utilizar el valor absoluto.

En procesamiento de señales, una onda triangular invertida se puede modelizar con la función $S(t) = A - |B t - C|$. Determina los parámetros $A, B, C > 0$ sabiendo que la señal alcanza su valor máximo de $12\text{ V}$ en el instante $t = 5\text{ s}$, y que cruza el eje de abscisas (valor $0\text{ V}$) en los instantes $t = 2\text{ s}$ y $t = 8\text{ s}$.

La gráfica mostrada corresponde a la función $f(x) = |x^2 + bx + c|$. A partir de los puntos singulares observables (raíces y máximo local), plantea un sistema de ecuaciones y determina los valores de los parámetros $b$ y $c$.

Simplifica la expresión de la función $f(x) = 2x + |x - 4|$ escribiéndola como una función definida a trozos. A continuación, calcula la tasa de variación media en el intervalo $[2, 6]$.

El error de altitud de un dron de inspección durante una maniobra se modeliza mediante la suma de dos valores absolutos: $E(t) = |t^2 - 4t + 3| + |t - 2|$, donde $t$ es el tiempo en segundos. Expresa la función $E(t)$ sin utilizar valores absolutos en el intervalo de tiempo $t \in [1, 3]$.

La siguiente gráfica muestra una función con valor absoluto anidado de la forma $f(x) = ||x| - c|$. Observa los vértices y puntos de corte, deduce el valor de $c$ y escribe la expresión de la función a trozos para el intervalo $x \in [-4, 4]$.

Halla analíticamente los puntos de intersección entre la función con valor absoluto $f(x) = |3x - 2|$ y la función constante $g(x) = 7$.

Una máquina corta varillas de metal con una longitud objetivo de $250\text{ mm}$. La función de error de corte se define como $E(x) = |x - 250|$. Si el control de calidad exige que $E(x) \le 1.5$, plantea la inecuación correspondiente y determina el intervalo de longitudes válidas para las varillas.

Halla analíticamente los puntos de intersección de las funciones $f(x) = |x + 1|$ y $g(x) = |2x - 5|$. Sugerencia: analiza los diferentes casos según el signo de las expresiones dentro del valor absoluto.

Halla el dominio de definición de la función irracional $h(x) = \sqrt{8 - |x^2 - 8|}$. Para ello, plantea y resuelve la inecuación con valor absoluto correspondiente.