Regla de la cadena

Dada la función $f(x) = (3x^2 - 5)^4$, identifica la función "externa" y la función "interna". Una vez identificadas, aplica la regla de la cadena para hallar su función derivada $f'(x)$.

Calcula la derivada de las siguientes funciones polinómicas compuestas, simplificando el resultado lo máximo posible:

1. a) $f(x) = (1 - x)^5$
2. b) $g(x) = (2x + 3)^2$

Observa el siguiente esquema que representa la composición de dos funciones $u(x)$ y $v(x)$. Si sabemos que $f(x) = (v \circ u)(x)$, utiliza la información del diagrama para calcular $f'(x)$.

$u(x) = x^3 + 1 \quad \longrightarrow \quad v(u) = \sqrt{u}$

Calcula la derivada de la siguiente función radical:

$g(x) = \sqrt{5x + 2}$

Utiliza la estructura de la regla de la cadena para potencias, recordando que $\sqrt{u} = u^{1/2}$.

Halla la función derivada de $h(x) = \ln(x^2 + 3x)$. Para ello, recuerda que si $y = \ln(u)$, entonces $y' = \frac{u'}{u}$.

La regla de la cadena nos dice que si tenemos una composición de funciones $y = f(g(x))$, su derivada es $y' = f'(g(x)) \times g'(x)$.

Aplica este concepto para derivar la función trigonométrica:

$f(x) = \sin(4x - 1)$

Calcula la función derivada de la siguiente función polinómica compuesta y halla el valor de la pendiente de la recta tangente a su gráfica en el punto de abscisa $x = 1$:

$f(x) = (x^3 - 2x^2 + 3)^5$

Dada la función exponencial compuesta $g(x) = e^{x^2 - 4x + 1}$, determina los puntos de la curva en los que la recta tangente es horizontal.

En el departamento de marketing de una startup de moda, han estimado que el número de usuarios registrados en su web sigue la función:

$U(t) = e^{0.5t + 2}$

donde $t$ es el tiempo en meses. Halla la expresión de la tasa de crecimiento instantáneo de los usuarios (es decir, la derivada $U'(t)$).

Un fabricante de componentes electrónicos determina que el costo total (en dólares) de producir $x$ unidades de un nuevo sensor viene dado por:

$C(x) = (x + 10)^{3}$

Calcula el costo marginal cuando se producen $x$ unidades (es decir, halla $C'(x)$).

Una empresa de fabricación de componentes electrónicos ha estimado que el costo total (en miles de dólares) de producir $x$ unidades de un nuevo modelo de procesador viene dado por la función:

$C(x) = \sqrt{2x^2 + 5x + 100}$

Obtén la expresión del costo marginal $C'(x)$ utilizando la regla de la cadena y calcula dicho costo cuando se producen exactamente $10$ unidades.

El número de seguidores de una conocida influencer en una red social, medido en miles de personas, sigue un modelo de crecimiento dado por la función:

$S(t) = 50 \times \ln(t^2 + 4t + 5)$

donde $t$ es el tiempo en meses desde el lanzamiento de su campaña publicitaria. La gráfica muestra la función y el punto correspondiente a $t = 3$.

Calcula el ritmo de crecimiento de seguidores (la derivada) en el tercer mes ($t = 3$).

El valor de mercado de una acción tecnológica (en dólares) ha fluctuado durante una jornada bursátil de 8 horas según la función:

$V(t) = 10 + 2 \times \sqrt{(t - 4)^2 + 9}$

donde $t$ es el tiempo en horas ($0 \le t \le 8$). Determina la tasa de variación instantánea del valor de la acción justo al cumplirse la sexta hora de la jornada.

Una empresa de marketing digital ha determinado que el número de usuarios activos en una plataforma social, $U(t)$, medido en miles, sigue una función que depende de la inversión en publicidad $x$ (en miles de dólares), la cual a su vez varía con el tiempo $t$ (en meses). Las funciones son:

Calcula la tasa de variación instantánea del número de usuarios respecto al tiempo cuando han transcurrido exactamente $t = 2$ meses. Interpreta si el crecimiento de usuarios se está acelerando o frenando en ese instante.

Halla la derivada de la siguiente función, que combina la regla del cociente con la regla de la cadena:

$h(x) = \frac{(3x - 1)^2}{x^2 + 1}$

Simplifica el resultado final tanto como sea posible.

Estudia la existencia de puntos con tangente horizontal en la función $f(x) = (x^2 - 4)^2 \times e^{-x^2}$. Para ello, obtén la derivada primera aplicando la regla de la cadena y el producto, e iguala a cero para hallar todas las posibles soluciones en el dominio real.

Calcula la función derivada de la siguiente expresión, simplificando el resultado todo lo posible mediante el uso de identidades trigonométricas o propiedades de los logaritmos:

Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función $g(x)$ en el punto de abscisa $x = 1$. La función viene definida por la siguiente composición:

Sean $f$ y $g$ dos funciones derivables. Se conocen los siguientes valores:

• $g(2) = 5$

• $g'(2) = 3$

• $f'(5) = -4$

Utiliza la regla de la cadena para calcular el valor de la derivada de la función compuesta $H(x) = (f \circ g)(x)$ en el punto $x = 2$, es decir, halla $H'(2)$.

Determina el valor del parámetro constante $k$ en la función $f(x) = \ln(kx^2 + 1)$ sabiendo que la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en el punto de abscisa $x = 1$ es igual a $1$.

Sean $f$ y $g$ dos funciones de las que se conocen los siguientes datos:

• $g(1) = 2$ y $g'(1) = 3$

• $f(2) = -1$ y $f'(2) = 5$

Si definimos una nueva función $H(x) = \sqrt{f(g(x)) + 5}$, calcula el valor de $H'(1)$ aplicando rigurosamente la regla de la cadena. Comenta qué ocurriría con la derivada si el valor dentro de la raíz fuese negativo.

Dada la función $h(x) = \log_2 \left( \sqrt[3]{x^3 + 3x^2} \right)$, calcula el valor de su derivada en el punto de abscisa $x = 1$. Nota: Recuerda aplicar la regla de la cadena para logaritmos en bases distintas de $e$.

En el estudio de un mercado monopolístico, se ha comprobado que el precio de un producto $p$ (en dólares) y la cantidad demandada $q$ (en unidades) están relacionados de forma implícita por la siguiente ecuación:

Sabiendo que el ingreso total viene dado por la función $I = p \times q$, utiliza la regla de la cadena y la derivación implícita para hallar la derivada del ingreso respecto al precio, $\frac{dI}{dp}$, cuando el precio es $p = 4$ dólares (considera solo el valor positivo de $q$).

Determina los valores de los parámetros $a, b \in \mathbb{R}$ para que la siguiente función sea continua y derivable en todo su dominio, prestando especial atención a la composición en la segunda rama: