Teorema del residuo
Yariela, en el laboratorio de computación del colegio, tiene que averiguar el resto de dividir $P(x)=x^{2024}-3x^{2023}+2x^5-7x+4$ entre $x-3$. Nadie hace esa división entera. Con una sola sustitución, $P(3)$, el problema se resuelve en un minuto. El teorema del residuo es esa sustitución, y en este apartado vas a aprender a usarla para calcular restos, detectar factores y hallar coeficientes desconocidos.
El teorema del residuo
Calcula, sin efectuar la división, el resto de dividir el polinomio $P(x) = 3x^4 - 2x^3 + 5x - 7$ entre $x - 2$.
Calcula, sin efectuar la división, el resto de dividir el polinomio $P(x) = 3x^4 - 2x^3 + 5x - 7$ entre $x - 2$.
Determina el resto de la división de $P(x) = \frac{1}{2}x^3 - \frac{3}{2}x^2 + x - \frac{1}{2}$ entre $x - 2$ evaluando el polinomio.
Determina el resto de la división de $P(x) = \frac{1}{2}x^3 - \frac{3}{2}x^2 + x - \frac{1}{2}$ entre $x - 2$ evaluando el polinomio.
La posición de un móvil en línea recta en función del tiempo $t$ (en segundos) está dada por el polinomio $x(t) = -2t^3 + 8t^2 - 5t + 3$ (en metros). Utiliza el teorema…
La posición de un móvil en línea recta en función del tiempo $t$ (en segundos) está dada por el polinomio $x(t) = -2t^3 + 8t^2 - 5t + 3$ (en metros). Utiliza el teorema del residuo para calcular la posición del móvil en el instante $t = 3$ y explica la relación conceptual entre el valor hallado y la división polinómica de $x(t)$ entre $t - 3$.
El teorema del factor: cuando el resto es cero
Si el resto $P(a)$ da $0$, la división es exacta: $(x-a)$ es un factor de $P(x)$ y $a$ es un cero (o raíz) del polinomio. Es el mismo teorema, aplicado al caso en que el resto se anula.
Fíjate en el gráfico: la curva corta al eje $x$ justo en los ceros, y cada corte corresponde a un factor del polinomio.
Determina si el polinomio $Q(x) = x^3 + 4x^2 - x - 4$ es divisible por $x + 4$ aplicando el teorema del resto.
Determina si el polinomio $Q(x) = x^3 + 4x^2 - x - 4$ es divisible por $x + 4$ aplicando el teorema del resto.
Calcula el valor numérico del polinomio $P(x) = -x^5 + 3x^3 - 2x^2 + x - 5$ para $x = -1$ e indica qué significado tiene este valor respecto a la división polinómica de…
Calcula el valor numérico del polinomio $P(x) = -x^5 + 3x^3 - 2x^2 + x - 5$ para $x = -1$ e indica qué significado tiene este valor respecto a la división polinómica de $P(x)$ entre $x + 1$.
Comprueba mediante el teorema del resto si $x = 3$ es una raíz del polinomio $P(x) = x^3 - 4x^2 + 5x - 6$.
Comprueba mediante el teorema del resto si $x = 3$ es una raíz del polinomio $P(x) = x^3 - 4x^2 + 5x - 6$.
El crecimiento de una colonia de bacterias en un medio controlado se modela con el polinomio $P(t) = t^4 - 7t^3 + 17t^2 - 17t + 6$, donde $t$ es el tiempo en días y…
El crecimiento de una colonia de bacterias en un medio controlado se modela con el polinomio $P(t) = t^4 - 7t^3 + 17t^2 - 17t + 6$, donde $t$ es el tiempo en días y $P(t)$ representa la desviación respecto a la población inicial. Demuestra, utilizando el teorema del factor, que en los días $t=1$, $t=2$ y $t=3$ la población vuelve exactamente a su nivel inicial.
Hallar un parámetro con una condición
Cuando el polinomio tiene un coeficiente desconocido y se conoce (o se exige) un resto, se sustituye igual: la condición se convierte en una ecuación con esa incógnita.
Halla el valor del parámetro $k$ para que el resto de dividir $P(x) = 2x^3 - kx^2 + 3x + 1$ entre $x - 1$ sea $4$.
Halla el valor del parámetro $k$ para que el resto de dividir $P(x) = 2x^3 - kx^2 + 3x + 1$ entre $x - 1$ sea $4$.
Encuentra el valor de $m$ sabiendo que la división del polinomio $R(x) = x^4 + mx^3 - 2x^2 + 5x - 6$ entre $x - 2$ es exacta.
Encuentra el valor de $m$ sabiendo que la división del polinomio $R(x) = x^4 + mx^3 - 2x^2 + 5x - 6$ entre $x - 2$ es exacta.
Sabiendo que el resto de dividir $P(x) = x^3 - 2x^2 + ax + 5$ entre $x + 2$ es $-7$, calcula el valor del coeficiente $a$.
Sabiendo que el resto de dividir $P(x) = x^3 - 2x^2 + ax + 5$ entre $x + 2$ es $-7$, calcula el valor del coeficiente $a$.
Varias condiciones a la vez
Con dos parámetros desconocidos hacen falta dos condiciones (dos restos, o un resto y una divisibilidad). Cada una da una ecuación y juntas forman un sistema de ecuaciones lineales, que resuelves por el método que prefieras (sustitución, igualación o eliminación).
Halla los valores de los parámetros $m$ y $n$ para que el polinomio $P(x) = x^3 + mx^2 + nx - 10$ sea divisible por $x - 2$ y deje un resto de $-24$ al dividirlo por…
Halla los valores de los parámetros $m$ y $n$ para que el polinomio $P(x) = x^3 + mx^2 + nx - 10$ sea divisible por $x - 2$ y deje un resto de $-24$ al dividirlo por $x + 2$.
Determina el valor de $k$ para que el resto de dividir el polinomio $P(x) = 2x^3 - kx^2 + x - k$ entre $x - 2$ sea idéntico al resto de dividir el polinomio…
Determina el valor de $k$ para que el resto de dividir el polinomio $P(x) = 2x^3 - kx^2 + x - k$ entre $x - 2$ sea idéntico al resto de dividir el polinomio $Q(x) = x^2 - kx + 3$ entre $x + 1$.
Calcula el valor de $a$ y $b$ sabiendo que el polinomio $P(x) = ax^4 + bx^3 - x^2 + 2x - 4$ es divisible simultáneamente por $(x - 1)$ y por $(x + 1)$.
Calcula el valor de $a$ y $b$ sabiendo que el polinomio $P(x) = ax^4 + bx^3 - x^2 + 2x - 4$ es divisible simultáneamente por $(x - 1)$ y por $(x + 1)$.
Un polinomio $P(x)$ de tercer grado tiene como coeficiente principal $2$. Sabiendo que es divisible por $(x - 1)$ y por $(x + 2)$, y que al dividirlo por $(x - 2)$ da un…
Un polinomio $P(x)$ de tercer grado tiene como coeficiente principal $2$. Sabiendo que es divisible por $(x - 1)$ y por $(x + 2)$, y que al dividirlo por $(x - 2)$ da un resto de $16$, determina la expresión completa del polinomio $P(x)$ en su forma desarrollada.
Determina los coeficientes $a, b, c, d$ del polinomio $P(x) = x^4 + ax^3 + bx^2 + cx + d$ sabiendo que es divisible por el binomio $x^2 - 4$, que al dividirlo por…
Determina los coeficientes $a, b, c, d$ del polinomio $P(x) = x^4 + ax^3 + bx^2 + cx + d$ sabiendo que es divisible por el binomio $x^2 - 4$, que al dividirlo por $x - 1$ deja un resto de $15$, y que su término independiente es $-12$.
Exponentes enormes
El teorema del resto no distingue entre un polinomio de grado $3$ y uno de grado $2024$: evaluar $P(a)$ cuesta lo mismo. Eso sí, conviene aprovechar las potencias de $a$ para cancelar términos antes de calcular.
El costo de producción de $q$ miles de unidades de un componente electrónico sigue la ley $C(q) = 0.5q^4 - 3q^3 + 5q^2 + 12$ (en miles de dólares). Aplica el teorema del…
El costo de producción de $q$ miles de unidades de un componente electrónico sigue la ley $C(q) = 0.5q^4 - 3q^3 + 5q^2 + 12$ (en miles de dólares). Aplica el teorema del residuo para determinar el costo exacto de fabricar $4000$ unidades ($q=4$).
La deflexión de una viga en un punto $x$ (en metros) viene dada por el polinomio $D(x) = kx^4 - 2x^3 + 3x^2$. Sabiendo que la deflexión en $x = 2$ es de $20$ mm, halla…
La deflexión de una viga en un punto $x$ (en metros) viene dada por el polinomio $D(x) = kx^4 - 2x^3 + 3x^2$. Sabiendo que la deflexión en $x = 2$ es de $20$ mm, halla el valor de la constante $k$ apoyándote en el teorema del resto y determina cuál será la deflexión en la coordenada $x = -1$.
En un sistema de seguridad criptográfico, una clave se genera evaluando un polinomio de grado muy alto. La clave corresponde exactamente al resto de dividir el polinomio…
En un sistema de seguridad criptográfico, una clave se genera evaluando un polinomio de grado muy alto. La clave corresponde exactamente al resto de dividir el polinomio $P(x) = x^{2024} - 3x^{2023} + 2x^5 - 7x + 4$ entre el binomio $x - 3$. Calcula el valor numérico de dicha clave de seguridad justificando tu respuesta.
Demuestra, aplicando el teorema del resto, que el polinomio $P(x) = x^n - a^n$ es siempre divisible por $x - a$ para cualquier número natural $n$. Utiliza este resultado…
Demuestra, aplicando el teorema del resto, que el polinomio $P(x) = x^n - a^n$ es siempre divisible por $x - a$ para cualquier número natural $n$. Utiliza este resultado para deducir razonadamente el resto de la división de $x^5 - 32$ entre $x - 2$.
El resto al dividir por un polinomio de grado 2
Si el divisor tiene grado $2$, el resto puede ser un polinomio de grado $1$, de la forma $mx+n$. Si conoces las dos raíces del divisor, evaluar $P(x)$ en cada una te da dos ecuaciones para hallar $m$ y $n$.
Halla el resto de dividir el polinomio $P(x) = (x - 2)^{200} + (x - 1)^{100} - 5$ entre el polinomio de segundo grado $Q(x) = (x - 1)(x - 2)$. Nota: Recuerda que el…
Halla el resto de dividir el polinomio $P(x) = (x - 2)^{200} + (x - 1)^{100} - 5$ entre el polinomio de segundo grado $Q(x) = (x - 1)(x - 2)$.
Nota: Recuerda que el resto de dividir por un polinomio de grado 2 es, a lo sumo, de la forma $mx + n$. Aplica el teorema del resto evaluando estratégicamente en las raíces del divisor.
Sea el polinomio $P(x) = x^3 + ax^2 + bx - 4$. Sabiendo que es divisible por $x - 2$ y que la suma de los restos de dividirlo por $x - 1$ y por $x + 1$ es igual a $-10$,…
Sea el polinomio $P(x) = x^3 + ax^2 + bx - 4$. Sabiendo que es divisible por $x - 2$ y que la suma de los restos de dividirlo por $x - 1$ y por $x + 1$ es igual a $-10$, plantea el sistema de ecuaciones pertinente y determina los coeficientes $a$ y $b$.
Encuentra la expresión desarrollada de un polinomio $P(x)$ de tercer grado tal que, al dividirlo por $x+1$, $x-2$ y $x+3$, deje en todos los casos el mismo resto igual a…
Encuentra la expresión desarrollada de un polinomio $P(x)$ de tercer grado tal que, al dividirlo por $x+1$, $x-2$ y $x+3$, deje en todos los casos el mismo resto igual a $5$, y que al dividirlo por $x-1$ deje un resto de $-7$.
Nota: Piensa en la relación entre el polinomio auxiliar $P(x) - 5$ y el teorema del factor.
Resumen
Vuelve al principio: el resto de dividir $x^{2024}-3x^{2023}+2x^5-7x+4$ entre $x-3$ es $P(3)=469$, sin hacer ninguna división.