Binomio de Newton
Ana Lucía, en su colegio de David, debe desarrollar $(2x-y)^4$ para la tarea. Multiplicar cuatro paréntesis a mano es largo y los signos se estropean fácil. El binomio de Newton da los coeficientes del desarrollo sin multiplicar nada: alcanza con contar combinaciones. La misma idea cuenta los caminos de una bolita en un tablero de Galton o los genotipos de una población: aparece cada vez que algo se repite $n$ veces con dos posibilidades.
Factorial y números combinatorios
El factorial de un número natural, $n!$, es el producto de todos los naturales desde $1$ hasta $n$ (y $0!=1$ por convenio). El número combinatorio $\binom{n}{k}$ cuenta de cuántas formas se pueden elegir $k$ elementos de un total de $n$, sin importar el orden.
Calcula el valor de la siguiente expresión utilizando las propiedades de los factoriales y los números combinatorios: $\frac{10!}{8! \times 2!} + \binom{7}{3}$.
Calcula el valor de la siguiente expresión utilizando las propiedades de los factoriales y los números combinatorios: $\frac{10!}{8! \times 2!} + \binom{7}{3}$.
Halla el valor del número natural $x$ que verifica la siguiente ecuación con números combinatorios: $\binom{x}{2} = 21$.
Halla el valor del número natural $x$ que verifica la siguiente ecuación con números combinatorios: $\binom{x}{2} = 21$.
Resuelve la siguiente ecuación en la que intervienen números combinatorios, encontrando el valor del número natural $x$: $\binom{x}{3} + \binom{x}{2} = 4 \binom{x}{1}$.
Resuelve la siguiente ecuación en la que intervienen números combinatorios, encontrando el valor del número natural $x$: $\binom{x}{3} + \binom{x}{2} = 4 \binom{x}{1}$.
El triángulo de Pascal
Los números $\binom{n}{0},\binom{n}{1},\dots,\binom{n}{n}$ de la fila $n$ son los coeficientes del desarrollo de $(a+b)^n$. Colocados en un triángulo, cada número es la suma de los dos que tiene encima: es el triángulo de Pascal (o de Tartaglia).
Además de la explicación con grupos, la regla de suma se puede demostrar con la definición con factoriales. Es la herramienta que hace falta cuando la identidad aparece dentro de una ecuación.
Utiliza el triángulo de Tartaglia (o de Pascal) para obtener los coeficientes de la sexta fila y desarrolla la expresión $(m + 2n)^6$.
Utiliza el triángulo de Tartaglia (o de Pascal) para obtener los coeficientes de la sexta fila y desarrolla la expresión $(m + 2n)^6$.
Demuestra la propiedad fundamental de los números combinatorios $\binom{n}{k} + \binom{n}{k+1} = \binom{n+1}{k+1}$ utilizando la definición algebraica con factoriales.…
Demuestra la propiedad fundamental de los números combinatorios $\binom{n}{k} + \binom{n}{k+1} = \binom{n+1}{k+1}$ utilizando la definición algebraica con factoriales. Posteriormente, utiliza las propiedades de los números combinatorios para resolver el siguiente sistema de ecuaciones para $x$ e $y$ naturales:
$\binom{x}{y} = \binom{x}{y+1}$
$4x - 5y = 19$
La fórmula del binomio de Newton
El binomio de Newton desarrolla $(a+b)^n$ sin multiplicar paréntesis: cada término lleva una potencia de $a$ que baja, una de $b$ que sube y el coeficiente de la fila $n$ del triángulo.
Desarrolla completamente el binomio $(x + 3)^4$ utilizando la fórmula del binomio de Newton.
Desarrolla completamente el binomio $(x + 3)^4$ utilizando la fórmula del binomio de Newton.
Desarrolla la expresión $(2a - b)^5$ e indica cuántos términos tiene el desarrollo final.
Desarrolla la expresión $(2a - b)^5$ e indica cuántos términos tiene el desarrollo final.
Desarrolla el binomio con fracciones $\left(x + \frac{1}{2}\right)^3$ y simplifica cada uno de los términos resultantes.
Desarrolla el binomio con fracciones $\left(x + \frac{1}{2}\right)^3$ y simplifica cada uno de los términos resultantes.
El término general
Si solo piden «el cuarto término» o «el término en $x^3$», no hace falta desarrollar todo: el término general lo da directamente.
Escribe directamente el cuarto término del desarrollo del binomio $(x^2 - 2y)^7$, sin calcular todo el desarrollo.
Escribe directamente el cuarto término del desarrollo del binomio $(x^2 - 2y)^7$, sin calcular todo el desarrollo.
Calcula el coeficiente del término que contiene $x^3$ en el desarrollo del binomio $(x - 4)^5$.
Calcula el coeficiente del término que contiene $x^3$ en el desarrollo del binomio $(x - 4)^5$.
En el desarrollo del binomio $(x + k)^4$, se sabe que el coeficiente del término en $x^2$ es igual a $54$. Calcula el valor positivo del parámetro $k$.
En el desarrollo del binomio $(x + k)^4$, se sabe que el coeficiente del término en $x^2$ es igual a $54$. Calcula el valor positivo del parámetro $k$.
Fracciones, radicales y término independiente
El término general funciona igual cuando $a$ o $b$ son fracciones, raíces o llevan signo. Solo hay que cuidar la simplificación de los exponentes de $x$. Para buscar un término concreto (por ejemplo, el término independiente, el que no tiene $x$), se iguala a la potencia pedida el exponente de $x$ en $T_{k+1}$ y se despeja $k$.
Encuentra el término independiente de $x$ (es decir, el término que no contiene la variable $x$) en el desarrollo del binomio $\left(x^2 - \frac{1}{x}\right)^9$.
Encuentra el término independiente de $x$ (es decir, el término que no contiene la variable $x$) en el desarrollo del binomio $\left(x^2 - \frac{1}{x}\right)^9$.
Determina el término central en el desarrollo del binomio $\left(\sqrt{x} - \frac{2}{x}\right)^6$ y simplifica la expresión resultante.
Determina el término central en el desarrollo del binomio $\left(\sqrt{x} - \frac{2}{x}\right)^6$ y simplifica la expresión resultante.
Desarrolla y simplifica al máximo la expresión con radicales $\left(\sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}}\right)^4$. Agrupa los términos semejantes y deja el resultado sin…
Desarrolla y simplifica al máximo la expresión con radicales $\left(\sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}}\right)^4$. Agrupa los términos semejantes y deja el resultado sin exponentes negativos.
Propiedades y aplicaciones
La suma de los coeficientes de una fila es siempre $2^n$ (se sustituye $a=b=1$). Y dar valores concretos a la fórmula permite aproximar o modelar situaciones reales.
Demuestra que la suma de todos los números combinatorios de una misma fila $n$ cumple que $\binom{n}{0} + \binom{n}{1} + \dots + \binom{n}{n} = 2^n$ utilizando el…
Demuestra que la suma de todos los números combinatorios de una misma fila $n$ cumple que $\binom{n}{0} + \binom{n}{1} + \dots + \binom{n}{n} = 2^n$ utilizando el desarrollo del binomio de Newton para $(1+1)^n$. Aplica este resultado para determinar cuántos grupos distintos (de cualquier tamaño, incluyendo el grupo vacío) se pueden formar con los $8$ empleados de una oficina.
Calcula la suma de todos los coeficientes del polinomio resultante al desarrollar $(3x - 2y)^5$. Pista: Piensa en qué valores numéricos puedes asignar a las variables…
Calcula la suma de todos los coeficientes del polinomio resultante al desarrollar $(3x - 2y)^5$. Pista: Piensa en qué valores numéricos puedes asignar a las variables $x$ e $y$ para que la expresión evaluada coincida exactamente con la suma de sus coeficientes.
En economía, el capital final acumulado tras $5$ años a un interés compuesto anual $r$ se calcula mediante la fórmula $C = C_0(1 + r)^5$. Utiliza el binomio de Newton…
En economía, el capital final acumulado tras $5$ años a un interés compuesto anual $r$ se calcula mediante la fórmula $C = C_0(1 + r)^5$. Utiliza el binomio de Newton para desarrollar $(1 + r)^5$. Si la tasa de interés es $r = 0.03$, calcula una aproximación del capital final para un capital inicial de $1000$ dólares utilizando únicamente los tres primeros términos del desarrollo.
Productos, probabilidad y errores pequeños
El binomio también sirve para sacar un coeficiente de un producto de binomios, para contar caminos o calcular probabilidades (cada término $\binom{n}{k}p^kq^{n-k}$ es la probabilidad de $k$ éxitos en $n$ intentos) y para estimar cambios pequeños.
El volumen de un cubo metálico de arista $L$ a cierta temperatura es $V = L^3$. Al calentarse, su arista se dilata linealmente pasando a medir $L(1 + \alpha \Delta T)$.…
El volumen de un cubo metálico de arista $L$ a cierta temperatura es $V = L^3$. Al calentarse, su arista se dilata linealmente pasando a medir $L(1 + \alpha \Delta T)$. Desarrolla la expresión del nuevo volumen utilizando el binomio de Newton y, sabiendo que el producto $\alpha \Delta T$ es un valor muy pequeño (del orden de $10^{-5}$), justifica matemáticamente por qué el incremento de volumen $\Delta V$ se puede aproximar por la expresión $3 L^3 \alpha \Delta T$.
En el control de calidad de una fábrica de componentes electrónicos, la probabilidad de que un lote de $n$ componentes tenga exactamente $k$ defectuosos viene dada por…
En el control de calidad de una fábrica de componentes electrónicos, la probabilidad de que un lote de $n$ componentes tenga exactamente $k$ defectuosos viene dada por el término general $\binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$, donde $p$ es la probabilidad de que un componente individual sea defectuoso. Si en un lote de $10$ componentes, la probabilidad de encontrar exactamente $4$ defectuosos es el doble que la de encontrar $3$ defectuosos, plantea la ecuación correspondiente y halla el valor exacto de $p$.
Calcula el coeficiente que acompaña a $x^5$ en el desarrollo completo del producto de polinomios $(1 + x)^4 \times (1 - 2x)^5$.
Calcula el coeficiente que acompaña a $x^5$ en el desarrollo completo del producto de polinomios $(1 + x)^4 \times (1 - 2x)^5$.
Vuelve al principio: $(2x-y)^4 = (2x)^4 - 4(2x)^3y + 6(2x)^2y^2 - 4(2x)y^3 + y^4 = 16x^4 - 32x^3y + 24x^2y^2 - 8xy^3 + y^4$, en un solo paso y sin multiplicar paréntesis.