Factorización de polinomios
Una bacteria, un dron o una caja de cartón para empacar piñas de Azuero pueden modelarse con un polinomio, y casi siempre te preguntan lo mismo: ¿cuándo vale cero? Si el polinomio está factorizado, la respuesta se lee de un vistazo: $P(x)=2x(x+5)(x-4)^2$ se anula exactamente en $x=0$, $x=-5$ y $x=4$. Aquí reunimos todas las técnicas (factor común, productos notables, división sintética, raíces racionales) en un procedimiento ordenado, y sumamos raíces múltiples, raíces fraccionarias y factores de grado 2 sin raíces reales.
Factor común y productos notables
Factorizar siempre empieza igual: sacar todo el factor común posible y, si lo que queda es un producto notable (por ejemplo, una diferencia de cuadrados) o un trinomio de segundo grado, seguir con eso.
Otros métodos que debes dominar: agrupación, trinomios, trinomio cuadrado perfecto y suma o diferencia de cubos (ver el ejemplo de abajo). Cuando queda un trinomio $ax^2+bx+c$, se hallan sus raíces $x_1$ y $x_2$ con la fórmula cuadrática y se escribe $a(x-x_1)(x-x_2)$.
Extrae factor común y utiliza los productos notables para factorizar al máximo el siguiente polinomio: $P(x) = 3x^5 - 12x^3$
Extrae factor común y utiliza los productos notables para factorizar al máximo el siguiente polinomio:
$P(x) = 3x^5 - 12x^3$
Factoriza el polinomio $P(x) = 2x^2 + 5x - 3$ resolviendo previamente la ecuación de segundo grado asociada.
Factoriza el polinomio $P(x) = 2x^2 + 5x - 3$ resolviendo previamente la ecuación de segundo grado asociada.
Comprueba, utilizando el Teorema del Resto, si $x = -1$ es raíz del polinomio $P(x) = x^4 + 3x^3 - 2x^2 + x + 7$. En caso afirmativo, extrae el factor correspondiente.
Comprueba, utilizando el Teorema del Resto, si $x = -1$ es raíz del polinomio $P(x) = x^4 + 3x^3 - 2x^2 + x + 7$. En caso afirmativo, extrae el factor correspondiente.
Factorización completa y raíces múltiples
Factorizar «completamente» es repetir factor común, productos notables y división sintética hasta que todos los factores sean de grado $1$ (o de grado $2$ sin raíces reales). Si una raíz se repite, es una raíz múltiple y su multiplicidad es el número de veces que aparece su factor.
Para la división sintética (regla de Ruffini) puedes repasar la teoría de 10.° grado (arriba). Recuerda también que, si $P(r)=0$ (teorema del residuo), entonces $(x-r)$ es factor de $P(x)$ (teorema del factor).
Indica cuáles son las raíces del polinomio $P(x) = 5(x+3)^2(x-1)(x^2+4)$ y sus respectivas multiplicidades. Justifica por qué este polinomio no tiene más raíces reales.
Indica cuáles son las raíces del polinomio $P(x) = 5(x+3)^2(x-1)(x^2+4)$ y sus respectivas multiplicidades. Justifica por qué este polinomio no tiene más raíces reales.
Factoriza el siguiente polinomio de tercer grado sabiendo que una de sus raíces es $x = 2$: $P(x) = x^3 - 7x^2 + 16x - 12$
Factoriza el siguiente polinomio de tercer grado sabiendo que una de sus raíces es $x = 2$:
$P(x) = x^3 - 7x^2 + 16x - 12$
Halla las raíces enteras del polinomio $P(x) = x^3 + 2x^2 - 5x - 6$ mediante la regla de Ruffini y exprésalo en su forma factorizada.
Halla las raíces enteras del polinomio $P(x) = x^3 + 2x^2 - 5x - 6$ mediante la regla de Ruffini y exprésalo en su forma factorizada.
Polinomios bicuadrados y diferencias de cuadrados sucesivas
Un polinomio bicuadrado solo tiene términos de grado $4$, $2$ y $0$ ($ax^4+bx^2+c$): se factoriza como uno de segundo grado, usando una variable auxiliar $t=x^2$. Y una diferencia de cuadrados puede aplicarse dos veces si el resultado vuelve a serlo.
Escribe en forma factorizada el polinomio $P(x) = x^4 - 81$ aplicando la identidad de la diferencia de cuadrados de forma sucesiva.
Escribe en forma factorizada el polinomio $P(x) = x^4 - 81$ aplicando la identidad de la diferencia de cuadrados de forma sucesiva.
Factoriza completamente el polinomio bicuadrado $P(x) = x^4 - 5x^2 + 4$.
Factoriza completamente el polinomio bicuadrado $P(x) = x^4 - 5x^2 + 4$.
Factoriza el polinomio $P(x) = (x^2 - 4)^2 - (x + 2)^2$ utilizando productos notables y extrayendo factores comunes, sin necesidad de desarrollar todo el polinomio…
Factoriza el polinomio $P(x) = (x^2 - 4)^2 - (x + 2)^2$ utilizando productos notables y extrayendo factores comunes, sin necesidad de desarrollar todo el polinomio primero.
Raíces racionales: cuando el coeficiente principal no es 1
Si el coeficiente principal no es $1$, además de los divisores del término independiente hay que probar fracciones $\frac{p}{q}$, con $p$ divisor del término independiente y $q$ divisor del coeficiente principal.
Factoriza el polinomio $P(x) = 3x^4 + 5x^3 - 17x^2 - 13x + 6$. Ten en cuenta que algunas de sus raíces pueden ser números fraccionarios.
Factoriza el polinomio $P(x) = 3x^4 + 5x^3 - 17x^2 - 13x + 6$. Ten en cuenta que algunas de sus raíces pueden ser números fraccionarios.
Un biólogo modela el crecimiento y decrecimiento de una población de bacterias mediante el polinomio $N(t) = -t^4 + 10t^3 - 35t^2 + 50t - 24$, donde $t$ es el tiempo en…
Un biólogo modela el crecimiento y decrecimiento de una población de bacterias mediante el polinomio $N(t) = -t^4 + 10t^3 - 35t^2 + 50t - 24$, donde $t$ es el tiempo en horas. Factoriza el polinomio para determinar en qué instantes exactos la población se anula.
En un estudio de economía, la curva de beneficio marginal de una empresa tecnológica se ajusta al polinomio $B(x) = 6x^4 - 11x^3 - 26x^2 + 21x + 10$, donde $x$…
En un estudio de economía, la curva de beneficio marginal de una empresa tecnológica se ajusta al polinomio $B(x) = 6x^4 - 11x^3 - 26x^2 + 21x + 10$, donde $x$ representa la inversión en I+D en millones de dólares. Factoriza el polinomio para encontrar los puntos de equilibrio exactos (incluyendo raíces fraccionarias).
Factores irreducibles de segundo grado
No todo polinomio se descompone en factores de grado $1$. Cuando queda un factor de grado $2$ con discriminante negativo, es irreducible en $\mathbb{R}$ y ahí se detiene la factorización. A veces, sumar y restar un término auxiliar permite ver dos factores de grado $2$ donde no se veía ninguno.
La trayectoria de un dron de carreras en un tramo de exhibición sigue el perfil polinómico $h(x) = 2x^4 - 14x^3 + 30x^2 - 18x$, donde $x$ es la distancia horizontal en…
La trayectoria de un dron de carreras en un tramo de exhibición sigue el perfil polinómico $h(x) = 2x^4 - 14x^3 + 30x^2 - 18x$, donde $x$ es la distancia horizontal en metros y $h(x)$ la altura en metros. Factoriza $h(x)$ para encontrar los puntos exactos donde el dron toca el suelo ($h(x) = 0$).
Demuestra que el polinomio $P(x) = x^4 + 4$ no tiene raíces reales. A continuación, factorízalo como el producto de dos polinomios de segundo grado. Pista: Suma y resta…
Demuestra que el polinomio $P(x) = x^4 + 4$ no tiene raíces reales. A continuación, factorízalo como el producto de dos polinomios de segundo grado. Pista: Suma y resta $4x^2$ a la expresión para forzar la aparición de una diferencia de cuadrados.
Factoriza completamente el polinomio $P(x) = x^6 - 2x^5 - 3x^4 + 8x^3 - 4x^2$. Identifica claramente cuáles son sus raíces reales y la multiplicidad de cada una de ellas.
Factoriza completamente el polinomio $P(x) = x^6 - 2x^5 - 3x^4 + 8x^3 - 4x^2$. Identifica claramente cuáles son sus raíces reales y la multiplicidad de cada una de ellas.
Parámetros, polinomios a medida y fracciones algebraicas
Factorizar sirve para simplificar fracciones algebraicas: se factorizan numerador y denominador y se cancelan los factores comunes. También puedes hacer el camino inverso: armar un polinomio a partir de sus raíces.
Para sumar o restar fracciones algebraicas, factoriza cada denominador, toma como denominador común el m.c.m. (cada factor con su mayor exponente), reescribe cada fracción, opera los numeradores y simplifica.
Si el divisor es de grado $2$ y se factoriza, por ejemplo $x^2-4=(x-2)(x+2)$, el polinomio es divisible por él cuando se anula en cada raíz: $P(2)=0$ y $P(-2)=0$. Eso da un sistema para los parámetros.
Cuando un polinomio tiene un parámetro y una condición de divisibilidad, primero se halla el parámetro (con el teorema del residuo) y después se factoriza con todos los coeficientes conocidos.
Determina el valor del parámetro $m$ para que el polinomio $P(x) = x^3 - mx^2 + 4x - 4$ sea divisible por el binomio $x - 2$. Una vez hallado el valor de $m$, factoriza…
Determina el valor del parámetro $m$ para que el polinomio $P(x) = x^3 - mx^2 + 4x - 4$ sea divisible por el binomio $x - 2$. Una vez hallado el valor de $m$, factoriza completamente el polinomio en el conjunto de los números reales.
El volumen de una caja rectangular en función de su longitud $x$ viene dado por la expresión polinómica $V(x) = x^3 - 7x^2 + 10x$. Factoriza $V(x)$ para encontrar las…
El volumen de una caja rectangular en función de su longitud $x$ viene dado por la expresión polinómica $V(x) = x^3 - 7x^2 + 10x$. Factoriza $V(x)$ para encontrar las expresiones algebraicas más simples que representan las tres dimensiones de la caja.
Simplifica la siguiente fracción algebraica factorizando previamente el numerador y el denominador al máximo: $\frac{x^3 - 3x^2 - 4x + 12}{x^3 - 5x^2 + 6x}$
Simplifica la siguiente fracción algebraica factorizando previamente el numerador y el denominador al máximo:
$\frac{x^3 - 3x^2 - 4x + 12}{x^3 - 5x^2 + 6x}$
Determina un polinomio de cuarto grado, $P(x)$, que sea mónico (coeficiente principal 1), que tenga a $x = -2$ como raíz doble, a $x = 3$ como raíz simple, y que carezca…
Determina un polinomio de cuarto grado, $P(x)$, que sea mónico (coeficiente principal 1), que tenga a $x = -2$ como raíz doble, a $x = 3$ como raíz simple, y que carezca de término independiente. Escríbelo en su forma factorizada y en su forma general desarrollada.
Calcula los valores de los parámetros $a$ y $b$ para que el polinomio $P(x) = x^4 + ax^3 + bx^2 - 12x + 8$ sea divisible por el polinomio $Q(x) = x^2 - 4$. A…
Calcula los valores de los parámetros $a$ y $b$ para que el polinomio $P(x) = x^4 + ax^3 + bx^2 - 12x + 8$ sea divisible por el polinomio $Q(x) = x^2 - 4$. A continuación, factoriza $P(x)$ al máximo.
Un polinomio $P(x)$ de tercer grado cumple que $P(1) = 0$, $P(-2) = 0$ y al dividirlo por el binomio $(x-2)$ el resto de la división es $16$. Además, se sabe que su…
Un polinomio $P(x)$ de tercer grado cumple que $P(1) = 0$, $P(-2) = 0$ y al dividirlo por el binomio $(x-2)$ el resto de la división es $16$. Además, se sabe que su término independiente es $4$. Halla la expresión factorizada de $P(x)$.
Resumen
Vuelve al principio: un polinomio factorizado muestra de un vistazo cuándo vale cero, y eso es lo que necesitabas para la bacteria, el dron o la caja de piñas.