Función derivada. Derivadas sucesivas

Dada la función $f(x) = 3x^2 - 5x + 2$, realiza las siguientes tareas:

1. a) Calcula la función derivada $f'(x)$ aplicando las reglas de derivación.

1. b) Halla el valor de la pendiente de la recta tangente a la gráfica de $f(x)$ en el punto de abscisa $x = 2$.

1. c) Determina la ecuación de la recta tangente en dicho punto.

Dada la función $f(x) = \frac{x^2}{2} + 4\sqrt{x}$, calcula su función derivada $f'(x)$. Una vez calculada, halla el valor de $f'(4)$.

Se sabe que la derivada de una función en un punto coincide con la pendiente de la recta tangente. Si la recta tangente a la función $g(x)$ en el punto $x = 3$ es $y = 4x - 5$, razona cuánto valen $g(3)$ y $g'(3)$.

Halla los puntos de la gráfica de la función $f(x) = x^3 - 12x + 1$ en los que la recta tangente es horizontal.

Pista: Una recta es horizontal cuando su pendiente es igual a $0$.

Una empresa de fabricación de fundas para celulares ha determinado que el costo total (en dólares) de producir $x$ unidades viene dado por la función:

Calcula la función de costo marginal, $C'(x)$, y determina cuál es el costo aproximado de producir la unidad número 21 (es decir, calcula $C'(20)$).

Una empresa de mensajería ha comprobado que el costo total de reparto (en cientos de dólares) sigue la función $C(x) = \sqrt{x^2 + 9}$, donde $x$ es el número de miles de paquetes enviados.

1. a) Halla la función del costo marginal, es decir, la derivada del costo $C'(x)$.
2. b) Calcula el ritmo al que crece el costo cuando se están enviando $4000$ paquetes ($x=4$).
3. c) Calcula la segunda derivada $C''(x)$ simplificando la expresión al máximo.

La posición de un dron de reparto respecto a su base de despegue sigue la función $s(t) = t^2 + 4t$, donde $s$ es la distancia en metros y $t$ el tiempo en segundos.

1. Obtén la función de la velocidad instantánea, $v(t)$, sabiendo que es la primera derivada de la posición.

2. Obtén la función de la aceleración, $a(t)$, sabiendo que es la segunda derivada de la posición.

3. ¿Qué velocidad lleva el dron a los 5 segundos de vuelo?

Comprueba que la cuarta derivada de la función $f(x) = \frac{1}{6}x^3 + x^2$ es igual a cero para cualquier valor de $x$. ¿Qué grado debe tener como mínimo un polinomio para que su cuarta derivada no sea nula?

Calcula las tres primeras derivadas de la función polinómica $f(x) = x^4 - 2x^3 + 5x - 7$. Una vez obtenidas, comprueba si se cumple que $f'''(1) = 18$.

Dada la función polinómica $f(x) = \frac{1}{12}x^4 - \frac{2}{3}x^3 + \frac{5}{2}x^2 - 10$, realiza las siguientes operaciones:

1. a) Calcula la función derivada primera $f'(x)$ y la función derivada segunda $f''(x)$.
2. b) Determina los valores de $x$ para los cuales la derivada segunda se anula ($f''(x) = 0$).
3. c) Calcula la derivada de orden superior $f^{(5)}(x)$ y justifica el resultado obtenido sin necesidad de realizar todos los pasos intermedios.

Dada la función $h(x) = \ln(x^2 + 1)$, cuya gráfica aparece en la figura, calcula:

1. a) La pendiente de la recta tangente a la curva en el punto de abscisa $x = 1$.

1. b) La ecuación de la función derivada segunda $h''(x)$.

1. c) Los puntos de la gráfica donde la derivada segunda es igual a cero.

El número de seguidores de un "influencer" en una red social crece según la función $S(t) = \frac{50t}{t+2}$, donde $t$ es el tiempo en meses desde que abrió su cuenta y $S(t)$ se mide en miles de seguidores.

1. a) Obtén la función derivada $S'(t)$, que representa la velocidad de crecimiento de la comunidad.
2. b) ¿A qué ritmo está ganando seguidores exactamente al finalizar el cuarto mes?
3. c) Estudia el signo de la derivada segunda $S''(t)$ para $t > 0$ y explica qué significa ese resultado en términos del crecimiento de la cuenta (¿crece cada vez más rápido o cada vez más lento?).

Una empresa de desarrollo de aplicaciones móviles ha comprobado que el número de usuarios activos de su nuevo juego, medido en miles, sigue la función $U(t) = t^2 \times e^{-0.5t}$, donde $t$ es el tiempo en meses desde el lanzamiento. La gráfica de la función es la siguiente:

La "aceleración" en la captación de usuarios viene dada por la derivada segunda de la función, $U''(t)$.

1. a) Calcula la función derivada segunda $U''(t)$.

1. b) Determina en qué momentos (meses) la aceleración es nula (puntos de inflexión del crecimiento).

Un sociólogo estudia la propagación de un rumor en una red social mediante la función $P(t) = \dfrac{100}{1 + 9e^{-t}}$, donde $P$ es el porcentaje de la población que conoce el rumor y $t$ es el tiempo en días.

Demuestra que la velocidad de propagación (la derivada primera $P'(t)$) es máxima cuando la derivada segunda es nula ($P''(t) = 0$). Calcula dicho instante $t$ exacto utilizando logaritmos neperianos.

Dada la función $g(x) = e^{2x} \times (x^2 - 1)$, demuestra que se cumple la siguiente relación entre la función y sus derivadas sucesivas para cualquier valor de $x$:

Considera la función exponencial compuesta $g(x) = e^{x^2 - 4x}$. Halla las funciones derivadas sucesivas $g'(x)$ y $g''(x)$. Encuentra los puntos de la gráfica donde la función original y su derivada segunda toman el mismo valor, es decir, resuelve la ecuación $g(x) = g''(x)$.

Dada la función $f(x) = \sqrt{x^2 + k}$, donde $k$ es una constante positiva, demuestra que se cumple la relación:

Para ello, obtén primero la función derivada $f'(x)$, simplifícala, y luego calcula la derivada segunda $f''(x)$. Sustituye ambas en la expresión de la izquierda para verificar la igualdad.

Se sabe que la función $f(x) = ax^3 + bx^2 + 9x$ tiene una derivada segunda que se anula en $x = 2$. Además, se conoce que el valor de la derivada primera en el punto $x = 1$ es igual a $6$. Calcula los valores de los parámetros reales $a$ y $b$.

Dada la función $f(x) = a \times \ln(x) + b \times x^2 + x$, calcula los valores de los parámetros reales $a$ y $b$ sabiendo que la función derivada primera se anula en $x = 1$, es decir, $f'(1) = 0$, y que la derivada segunda en ese mismo punto vale $f''(1) = 5$. Una vez hallados $a$ y $b$, escribe la expresión de la derivada tercera $f'''(x)$.

Calcula el valor de los parámetros $k$ y $p$ para que la función $f(x) = \sin(kx) + e^{px}$ cumpla las siguientes condiciones simultáneamente:

1. Su derivada primera en el origen es nula: $f'(0) = 0$.

2. Su derivada segunda en el origen es igual a 2: $f''(0) = 2$.

Justifica si los valores obtenidos son únicos o si existen múltiples combinaciones.

Halla los valores de $k$ y $p$ para que la función $f(x)$ sea derivable en todo su dominio (especialmente en el punto de salto $x = 0$):

Una vez hallados, calcula el valor de $f''(1)$.

Sea la función $f(x) = \frac{x+1}{x-1}$.

1. a) Calcula $f'(x)$, $f''(x)$ y $f'''(x)$.
2. b) Observando los resultados anteriores, intenta deducir una expresión general para la derivada $n$-ésima $f^{(n)}(x)$.

(Pista: Fíjate en cómo evoluciona el exponente del denominador y el signo de la fracción).

Determina la expresión general para la derivada $n$-ésima de la función racional $f(x) = \dfrac{1}{3x - 2}$, definida para $x \neq \dfrac{2}{3}$. Para ello, calcula las cuatro primeras derivadas sucesivas, identifica el patrón recurrente y utiliza la notación de factorial $n!$ y potencias para escribir $f^{(n)}(x)$.

En el análisis de algoritmos informáticos, se estudia la complejidad de una función de costo definida por $C(x) = x^x$ para $x > 0$. Utiliza la técnica de la derivación logarítmica para encontrar la función derivada $C'(x)$. Posteriormente, calcula la segunda derivada $C''(x)$ y comprueba si existe algún valor de $x$ para el cual la derivada de la pendiente sea nula.