Regla de Ruffini
Yariela arma para la feria científica de su colegio, en David, una caja con forma de prisma. Sabe que su volumen es $V(x) = x^3 + 5x^2 + 2x - 8$ y que la altura mide $x - 1$. ¿Cómo encuentra el área de la base sin hacer una división larga de polinomios? Para eso sirve la división sintética (regla de Ruffini): hace lo mismo que la división de siempre, pero trabajando solo con números. Con ella vas a dividir, evaluar, hallar ceros y factorizar polinomios de grado alto.
Cómo funciona la regla
Ruffini sirve para dividir un polinomio $P(x)$ por un binomio de la forma $x - a$. Se arma una tabla así:
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Escribe los coeficientes de $P(x)$ en fila, ordenados de mayor a menor grado. Si falta algún grado, pon un $0$.
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A la izquierda, aparte, pon el valor $a$.
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Baja el primer coeficiente tal cual.
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Cada número nuevo de la fila de abajo se obtiene multiplicando el anterior por $a$ y sumándole el coeficiente de su columna.
El último número de la fila de abajo es el residuo (también llamado resto). Los demás son los coeficientes del cociente, que tiene un grado menos que $P(x)$.
Siempre vale la relación de la división: $P(x) = (x-a)\cdot C(x) + R$. Por eso se puede comprobar el resultado multiplicando.
Divide el polinomio $P(x) = 3x^3 - 2x^2 + 5x - 4$ entre el binomio $x - 2$ utilizando la regla de Ruffini e indica el cociente y el residuo resultantes.
Divide el polinomio $P(x) = 3x^3 - 2x^2 + 5x - 4$ entre el binomio $x - 2$ utilizando la regla de Ruffini e indica el cociente y el residuo resultantes.
Aplica la regla de Ruffini para realizar la división de $P(x) = x^4 - 16$ entre $x + 2$. Escribe claramente el polinomio cociente y el valor del residuo.
Aplica la regla de Ruffini para realizar la división de $P(x) = x^4 - 16$ entre $x + 2$. Escribe claramente el polinomio cociente y el valor del residuo.
Halla el residuo de la división del polinomio $P(x) = x^5 + 3x^4 - 2x^2 + 7$ entre $x + 3$ aplicando la regla de Ruffini.
Halla el residuo de la división del polinomio $P(x) = x^5 + 3x^4 - 2x^2 + 7$ entre $x + 3$ aplicando la regla de Ruffini.
Ruffini calcula valores y detecta ceros
El último número de la tabla es el resto de dividir por $x-a$. Por el teorema del residuo, ese residuo es $P(a)$. Entonces Ruffini te permite calcular el valor numérico de un polinomio sin elevar y sumar término a término. Y si el resto da $0$, encontraste un cero.
En el gráfico de $P(x)=x^3-4x^2+x+6$ se ve que corta al eje $x$ justo donde Ruffini da resto $0$:
Comprueba, utilizando la regla de Ruffini, si $x = 3$ es una raíz del polinomio $P(x) = x^3 - 4x^2 + x + 6$.
Comprueba, utilizando la regla de Ruffini, si $x = 3$ es una raíz del polinomio $P(x) = x^3 - 4x^2 + x + 6$.
Calcula el valor numérico del polinomio $P(x) = -2x^3 + 5x^2 - 3x + 1$ para $x = -1$ aplicando el teorema del residuo mediante la regla de Ruffini.
Calcula el valor numérico del polinomio $P(x) = -2x^3 + 5x^2 - 3x + 1$ para $x = -1$ aplicando el teorema del residuo mediante la regla de Ruffini.
Calcula el valor numérico del polinomio $P(x) = x^4 - 2.5x^3 + 1.5x^2 - 3x + 2$ para $x = 2$ utilizando exclusivamente la disposición de la regla de Ruffini.
Calcula el valor numérico del polinomio $P(x) = x^4 - 2.5x^3 + 1.5x^2 - 3x + 2$ para $x = 2$ utilizando exclusivamente la disposición de la regla de Ruffini.
Factorizar con un cero conocido
Si ya sabes (o descubres) un cero $a$, Ruffini te da el cociente: un polinomio de un grado menos. Entonces $P(x) = (x-a)\cdot C(x)$. Si el cociente es de grado 2, lo terminas de factorizar con la fórmula cuadrática o buscando dos números que sumen y multipliquen lo que corresponde.
¿Cómo se encuentra un cero si el enunciado no lo da? Prueba con los divisores del término independiente (con signo $\pm$). Por ejemplo, si el término independiente es $6$, prueba $\pm1,\ \pm2,\ \pm3,\ \pm6$. Para el 2 que se cuela como coeficiente principal, prueba también fracciones como $\pm\tfrac12$, $\pm\tfrac32$.
Factoriza el polinomio $P(x) = x^3 - 2x^2 - 5x + 6$ sabiendo de antemano que $x = 1$ es una de sus raíces.
Factoriza el polinomio $P(x) = x^3 - 2x^2 - 5x + 6$ sabiendo de antemano que $x = 1$ es una de sus raíces.
Determina, sin realizar la división completa y utilizando el teorema del residuo o la regla de Ruffini, si el binomio $x + 1$ es un factor del polinomio…
Determina, sin realizar la división completa y utilizando el teorema del residuo o la regla de Ruffini, si el binomio $x + 1$ es un factor del polinomio $P(x) = x^4 + x^3 - x^2 + x + 2$.
Factoriza completamente el polinomio $P(x) = 2x^3 + 3x^2 - 8x + 3$ hallando todas sus raíces.
Factoriza completamente el polinomio $P(x) = 2x^3 + 3x^2 - 8x + 3$ hallando todas sus raíces.
Repetir Ruffini: ceros múltiples y patrones
A veces el cociente tiene el mismo cero otra vez. Entonces repites Ruffini sobre el cociente con el mismo $a$. Si el factor $(x-a)$ aparece $k$ veces, decimos que $a$ es un cero de multiplicidad $k$. Si en algún momento el cociente es de grado 2 y no tiene ceros reales (discriminante negativo), ese factor queda sin descomponer: es irreducible sobre los reales.
Otro patrón útil: al dividir $x^n - a^n$ entre $x-a$ el resto siempre es $0$ (porque $a^n-a^n=0$) y el cociente sale con coeficientes $1,\ a,\ a^2,\ \dots$. Pruébalo con $x^3-8$ entre $x-2$: la fila de abajo da $1,\ 2,\ 4,\ 0$, o sea que $x^3-8=(x-2)(x^2+2x+4)$.
Factoriza completamente el polinomio de quinto grado $P(x) = x^5 - 5x^4 + 7x^3 - 2x^2 + 4x - 8$ en polinomios irreducibles sobre los números reales.
Factoriza completamente el polinomio de quinto grado $P(x) = x^5 - 5x^4 + 7x^3 - 2x^2 + 4x - 8$ en polinomios irreducibles sobre los números reales.
Aplica la regla de Ruffini para dividir el polinomio $P(x) = x^5 - 32$ entre $x - 2$. A partir del patrón observado en los coeficientes del cociente, deduce y escribe la…
Aplica la regla de Ruffini para dividir el polinomio $P(x) = x^5 - 32$ entre $x - 2$. A partir del patrón observado en los coeficientes del cociente, deduce y escribe la expresión general del polinomio cociente al dividir $x^n - a^n$ entre $x - a$.
Volúmenes y áreas con polinomios
Muchas magnitudes geométricas son polinomios. Si el volumen es producto de tres medidas y conoces una, divides para encontrar el producto de las otras dos.
El volumen de una caja con forma de prisma rectangular recto viene dado por el polinomio $V(x) = x^3 + 5x^2 + 2x - 8$. Si se sabe que la altura de la caja es $x - 1$,…
El volumen de una caja con forma de prisma rectangular recto viene dado por el polinomio $V(x) = x^3 + 5x^2 + 2x - 8$. Si se sabe que la altura de la caja es $x - 1$, determina el polinomio que representa el área de la base $A(x)$.
El área de un panel solar de forma rectangular se describe mediante el polinomio $A(x) = 2x^3 + 7x^2 + 4x + 3$. Si se conoce que la medida del ancho del panel es…
El área de un panel solar de forma rectangular se describe mediante el polinomio $A(x) = 2x^3 + 7x^2 + 4x + 3$. Si se conoce que la medida del ancho del panel es $x + 3$, encuentra el polinomio que representa su longitud.
El volumen de un casquete esférico está dado por la fórmula $V = \frac{\pi h^2}{3}(3R - h)$, donde $R$ es el radio de la esfera y $h$ la altura del casquete. Si el radio…
El volumen de un casquete esférico está dado por la fórmula $V = \frac{\pi h^2}{3}(3R - h)$, donde $R$ es el radio de la esfera y $h$ la altura del casquete. Si el radio de una esfera es $R = 5\text{ cm}$ y se quiere obtener un casquete con un volumen de $V = \frac{52\pi}{3}\text{ cm}^3$, plantea la ecuación correspondiente y utiliza la regla de Ruffini para encontrar la altura $h$.
Ceros en modelos: cuándo vale cero
Cuando una cantidad modelizada por un polinomio se anula (ganancia nula, posición en el origen, temperatura de $0\,^\circ\text{C}$), hay que resolver $P(x)=0$. Con Ruffini el camino es: buscar un cero entre los divisores del término independiente, dividir, y resolver el cociente. Después hay que revisar qué soluciones tienen sentido en el contexto (por ejemplo, un tiempo no puede ser negativo).
Los beneficios de una empresa, en miles de dólares, se modelan durante sus primeros años de actividad mediante el polinomio $B(x) = -x^3 + 10x^2 - 31x + 30$, donde $x$…
Los beneficios de una empresa, en miles de dólares, se modelan durante sus primeros años de actividad mediante el polinomio $B(x) = -x^3 + 10x^2 - 31x + 30$, donde $x$ representa el tiempo en años. Encuentra los años exactos en los que el beneficio de la empresa fue nulo (puntos de equilibrio).
La posición de una partícula en movimiento rectilíneo viene dada por la ecuación $s(t) = t^3 - 7t^2 + 14t - 8$, donde $t$ es el tiempo en segundos. Determina en qué…
La posición de una partícula en movimiento rectilíneo viene dada por la ecuación $s(t) = t^3 - 7t^2 + 14t - 8$, donde $t$ es el tiempo en segundos. Determina en qué instantes de tiempo la partícula pasa por el origen de coordenadas ($s(t) = 0$).
La temperatura de una reacción química en función del tiempo $t$ (en minutos) se modeliza mediante el polinomio $T(t) = -t^4 + 8t^3 - 17t^2 + 10t$. Determina en qué…
La temperatura de una reacción química en función del tiempo $t$ (en minutos) se modeliza mediante el polinomio $T(t) = -t^4 + 8t^3 - 17t^2 + 10t$. Determina en qué instantes de tiempo la temperatura de la reacción es exactamente de $0^\circ\text{C}$.
Signo de un polinomio
Una vez que factorizaste un polinomio, estudiar dónde es positivo o negativo es sencillo. Ubicas los ceros sobre la recta real y analizas el signo del producto de factores en cada intervalo. El signo solo cambia al pasar por un cero de multiplicidad impar.
Resuelve la inecuación polinómica $x^4 - 5x^3 + 5x^2 + 5x - 6 \ge 0$. Para ello, factoriza primero el polinomio utilizando la regla de Ruffini y luego estudia el signo…
Resuelve la inecuación polinómica $x^4 - 5x^3 + 5x^2 + 5x - 6 \ge 0$. Para ello, factoriza primero el polinomio utilizando la regla de Ruffini y luego estudia el signo en los intervalos correspondientes de la recta real.
Parámetros desconocidos
Cuando un coeficiente es una letra, una condición de divisibilidad se transforma en una ecuación. Aplicas Ruffini con el valor $a$ dado, la letra viaja por la tabla, y el último número (el resto) queda en función del parámetro. Después lo igualas a lo que pida el enunciado.
Si hay dos parámetros, cada condición da una ecuación y resuelves el sistema. Si pide divisibilidad por $(x-a)^2$, aplicas Ruffini dos veces con el mismo $a$ y pides residuo $0$ en cada una.
Determina el valor de la constante $k$ para que el polinomio $P(x) = x^3 - kx^2 + 3x - 2$ sea divisible exactamente por $x - 1$.
Determina el valor de la constante $k$ para que el polinomio $P(x) = x^3 - kx^2 + 3x - 2$ sea divisible exactamente por $x - 1$.
Determina los valores de los parámetros $m$ y $n$ para que el polinomio $P(x) = x^4 - 3x^3 + mx + n$ sea divisible exactamente por $x - 2$ y, al mismo tiempo, dé un…
Determina los valores de los parámetros $m$ y $n$ para que el polinomio $P(x) = x^4 - 3x^3 + mx + n$ sea divisible exactamente por $x - 2$ y, al mismo tiempo, dé un resto de $4$ al dividirlo entre $x + 1$.
Encuentra los valores de $a$ y $b$ para que el polinomio $P(x) = x^4 + ax^3 + bx^2 - 12x + 4$ sea divisible por $(x - 2)^2$.
Encuentra los valores de $a$ y $b$ para que el polinomio $P(x) = x^4 + ax^3 + bx^2 - 12x + 4$ sea divisible por $(x - 2)^2$.
Armar un polinomio a partir de sus ceros
Si un polinomio de grado 3 con coeficiente principal $1$ se anula en $x=1$ y $x=2$, entonces tiene la forma $P(x)=(x-1)(x-2)(x-r)$, con $r$ desconocido. Otra condición, como el resto al dividir por $x-3$, que es $P(3)$, permite hallar $r$.
Encuentra la expresión de un polinomio de tercer grado $P(x)$ cuyo coeficiente principal sea $1$, sabiendo que se anula para $x = 1$ y $x = 2$, y que al dividirlo entre…
Encuentra la expresión de un polinomio de tercer grado $P(x)$ cuyo coeficiente principal sea $1$, sabiendo que se anula para $x = 1$ y $x = 2$, y que al dividirlo entre $x - 3$ se obtiene un resto de $10$.
Cuando el divisor no es $x-a$
Ruffini está pensado para $x-a$. Si el divisor es $x-\tfrac12$, no hay problema: $a=\tfrac12$ y trabajas con fracciones. Si es algo como $2x-3$, sacas factor común: $2x-3=2\left(x-\tfrac32\right)$. Aplicas Ruffini con $a=\tfrac32$, y el cociente de la tabla lo divides por $2$. El resto no cambia.
¿Por qué? De $P(x)=\left(x-\tfrac32\right)C(x)+R$ se obtiene $P(x)=(2x-3)\cdot\dfrac{C(x)}{2}+R$. El factor $2$ pasa al cociente y el resto queda igual.
Divide el polinomio $P(x) = 2x^3 - 5x^2 + 3x - 1$ entre el binomio $x - \frac{1}{2}$ empleando la regla de Ruffini. Expresa el resultado final indicando cociente y…
Divide el polinomio $P(x) = 2x^3 - 5x^2 + 3x - 1$ entre el binomio $x - \frac{1}{2}$ empleando la regla de Ruffini. Expresa el resultado final indicando cociente y residuo.
Realiza la división del polinomio $P(x) = 4x^3 - 8x^2 + 7x - 3$ entre el binomio $2x - 3$ utilizando la regla de Ruffini. Ten en cuenta que debes adaptar el divisor para…
Realiza la división del polinomio $P(x) = 4x^3 - 8x^2 + 7x - 3$ entre el binomio $2x - 3$ utilizando la regla de Ruffini. Ten en cuenta que debes adaptar el divisor para poder aplicar el algoritmo y, posteriormente, ajustar el cociente y el residuo obtenidos.
Vuelve al principio: como la altura es $x-1$, divides $V(x)$ por Ruffini con $a=1$. El resto es $0$ y el cociente $x^2+6x+8$ es el área de la base de la caja de Yariela.