Ley del seno

En un triángulo $ABC$, se conocen los ángulos $A = 45^\circ$ y $B = 60^\circ$, y la longitud del lado $a = 12$ cm. Calcula la longitud del lado $b$ utilizando el teorema del seno.

En el triángulo $ABC$, se sabe que la longitud del lado $a$ es el doble que la del lado $b$ ($a = 2b$). Si $\sin A = 0.8$, halla el valor exacto de $\sin B$.

En un triángulo $ABC$, se cumple la proporción $\frac{a}{\sin A} = 24$. Si la suma de los ángulos $A + B = 120^\circ$ y el lado $a = 12\sqrt{3}$ cm, determina la longitud exacta del lado $c$.

Determina si es posible construir un triángulo $ABC$ con los siguientes datos: $a = 8$ cm, $b = 14$ cm y $A = 45^\circ$. Justifica tu respuesta matemáticamente empleando el teorema del seno.

En el triángulo $ABC$, se conocen los lados $a = 10$ cm, $b = 14$ cm y el ángulo $A = 30^\circ$. Calcula los dos posibles valores para el ángulo $B$ y las longitudes correspondientes del lado $c$ para cada caso.

En la construcción de un triángulo $ABC$, se fijan el lado $a = 10$ cm y el ángulo $A = 45^\circ$. El lado $b$ tiene una longitud variable $x$ cm. Determina, de forma razonada, el intervalo estricto de valores reales de $x$ para los cuales existen exactamente dos triángulos distintos que cumplen estas condiciones simultáneamente.

Dos estaciones de guardacostas, $A$ y $B$, están separadas por una distancia de $50$ km a lo largo de una costa rectilínea. Un barco $S$ emite una señal de socorro. La estación $A$ detecta la señal formando un ángulo de $40^\circ$ con la línea de la costa, mientras que la estación $B$ la detecta con un ángulo de $65^\circ$. Calcula la distancia en línea recta desde cada estación hasta el barco.

Un teleférico asciende en línea recta desde una estación base $A$ hasta la cima $C$ de una montaña. Desde un punto $D$, situado $200$ m por detrás de $A$ en el mismo plano horizontal, el ángulo de elevación hacia $C$ es de $22^\circ$. Desde la estación $A$, el ángulo de elevación hacia la cima es de $35^\circ$. Calcula la longitud del cable $AC$ del teleférico resolviendo el triángulo $ADC$.

Un avión vuela en línea recta a una altitud constante. Un observador estático en tierra lo divisa inicialmente con un ángulo de elevación de $30^\circ$. Exactamente $10$ segundos después, el avión, que vuela directamente hacia la vertical del observador, es divisado con un ángulo de elevación de $45^\circ$. Si la velocidad constante del avión es de $600$ km/h, calcula la altitud a la que vuela resolviendo el triángulo formado por el observador y las dos posiciones del avión mediante el teorema del seno.

Una parcela de terreno con forma triangular tiene dos ángulos que miden $60^\circ$ y $75^\circ$. El lado comprendido entre estos dos ángulos está delimitado por un muro recto que mide $120$ m. Calcula el área total de la parcela.

Calcula el perímetro de un heptágono regular (polígono de 7 lados) que está inscrito en una circunferencia de radio $R = 10$ cm. Utiliza el teorema del seno en los triángulos isósceles que se forman desde el centro del polígono.

En un triángulo $ABC$, las longitudes de los lados $a$, $b$ y $c$ se encuentran en progresión aritmética, cumpliéndose la relación $2b = a + c$. Demuestra que los senos de los ángulos opuestos mantienen una relación análoga: $\sin A + \sin C = 2 \sin B$.

Demuestra que el radio $R$ de la circunferencia circunscrita a un triángulo $ABC$ está directamente relacionado con el área del triángulo $S$ mediante la fórmula:

$R = \frac{a \times b \times c}{4S}$

(Pista: Expresa el área del triángulo usando el seno de uno de sus ángulos y combínalo con el teorema del seno).

En un triángulo $ABC$, la bisectriz interior del ángulo $A$ corta al lado opuesto $BC$ en el punto $D$. Aplica el teorema del seno en los triángulos $ABD$ y $ACD$ para demostrar formalmente el teorema de la bisectriz, es decir, que se cumple la proporción:

$\frac{BD}{DC} = \frac{c}{b}$