Conjuntos numéricos
En una pulpería de Masaya la báscula marca 2.3 libras de queso, el pasaje del bus cuesta $\text{C}\$2.50$ y un quintal de café pesa 100 libras. Son números, pero no todos viven en el mismo conjunto. En esta página aprenderás a agrupar objetos en conjuntos, a clasificar los números y a escribirlos sin ambigüedad. Una pregunta para arrancar: ¿existe el número que viene «justo después» de 2? Al final de la página la respondemos.
Conjuntos: elementos, diagramas y operaciones
Un conjunto es una colección bien determinada de objetos; cada objeto es un elemento. Se escribe con llaves y se nombra con una letra mayúscula. Si $a$ es elemento de $A$ escribimos $a \in A$; si no lo es, $a \notin A$.
El conjunto $A = \{2, 4, 6, 8\}$ está escrito por extensión (listando sus elementos). Por comprensión se escribe $A = \{x \in \mathbb{N} \mid x \text{ es par y } 0 < x < 10\}$. La cardinalidad $n(A)$ es la cantidad de elementos: aquí $n(A) = 4$. El conjunto sin elementos es el conjunto vacío $\varnothing$, y el conjunto universal $U$ contiene todos los elementos de los que estamos hablando.
Indica si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas, justificando brevemente tu respuesta: a) Todo número entero es un número racional. b) El número $0$ es un…
Indica si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas, justificando brevemente tu respuesta:
- a) Todo número entero es un número racional.
- b) El número $0$ es un número irracional.
- c) Todos los números decimales se pueden expresar como fracción.
Los conjuntos numéricos y su jerarquía
Las inclusiones son estrictas: $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$, además $\mathbb{Q} \cap \mathbb{I} = \emptyset$ y $\mathbb{Q} \cup \mathbb{I} = \mathbb{R}$. Para clasificar un número, busca siempre el conjunto más restrictivo al que pertenece.
Clasifica los siguientes números indicando a cuáles de los conjuntos numéricos $\mathbb{N}$, $\mathbb{Z}$, $\mathbb{Q}$ o $\mathbb{R}$ pertenecen (ten en cuenta que un…
Clasifica los siguientes números indicando a cuáles de los conjuntos numéricos $\mathbb{N}$, $\mathbb{Z}$, $\mathbb{Q}$ o $\mathbb{R}$ pertenecen (ten en cuenta que un número puede pertenecer a varios conjuntos a la vez):
$-5$, $3.14$, $\sqrt{16}$, $\sqrt{7}$, $0,\widehat{3}$, $\frac{4}{2}$.
En una clase de Física se miden o utilizan diferentes magnitudes para un experimento: la masa de una partícula $m = 2.5 \times 10^{-3}$ kg, el período de un péndulo…
En una clase de Física se miden o utilizan diferentes magnitudes para un experimento: la masa de una partícula $m = 2.5 \times 10^{-3}$ kg, el período de un péndulo $T = 2\pi$ s, el número de oscilaciones $n = 15$, la variación de temperatura $\Delta \theta = -4^\circ$C y la energía $E = \sqrt{2}$ J. Clasifica los valores numéricos exactos de estas medidas según el conjunto numérico más restrictivo (el más pequeño) al que pertenecen ($\mathbb{N}$, $\mathbb{Z}$, $\mathbb{Q}$, $\mathbb{I}$).
Fracción generatriz: todo decimal periódico es racional
Los decimales exactos son racionales directamente: se escribe el número entre una potencia de $10$ y se simplifica, por ejemplo $3.15 = \dfrac{315}{100} = \dfrac{63}{20}$. Para los periódicos hace falta otro truco.
Error absoluto: cuánto nos equivocamos al aproximar
Cuando se reemplaza un número exacto por una aproximación decimal, se comete un error. El error absoluto es la distancia entre el valor exacto y el aproximado:
$$E_a = |\text{valor exacto} - \text{valor aproximado}|$$El valor absoluto hace que el error nunca sea negativo: no importa si la aproximación se pasa o se queda corta.
Obtén la fracción generatriz irreducible de los siguientes números decimales: a) $2.45$ b) $1,\widehat{6}$ c) $0.1\widehat{25}$
Obtén la fracción generatriz irreducible de los siguientes números decimales:
- a) $2.45$
- b) $1,\widehat{6}$
- c) $0.1\widehat{25}$
Una empresa divide una ganancia de $1000$ córdobas entre $3$ socios en partes iguales. El programa de contabilidad trunca el resultado y transfiere $333.33$ córdobas a…
Una empresa divide una ganancia de $1000$ córdobas entre $3$ socios en partes iguales. El programa de contabilidad trunca el resultado y transfiere $333.33$ córdobas a cada cuenta.
- a) Expresa la cantidad exacta que corresponde a cada socio utilizando fracciones.
- b) Calcula el error absoluto total que comete la empresa al usar la aproximación decimal para los tres socios en lugar del valor exacto.
Un arquitecto calcula la longitud de un muro sumando dos tramos cuyas medidas teóricas son $L_1 = 2,\widehat{3}$ m y $L_2 = 1.1\widehat{6}$ m. a) Calcula la longitud…
Un arquitecto calcula la longitud de un muro sumando dos tramos cuyas medidas teóricas son $L_1 = 2,\widehat{3}$ m y $L_2 = 1.1\widehat{6}$ m.
- a) Calcula la longitud total exacta del muro operando con las fracciones generatrices de ambos números.
- b) Expresa el resultado final como un número decimal.
Los irracionales: una demostración por reducción al absurdo
Los irracionales también se pueden ver en la recta. Un triángulo rectángulo con catetos $1$ y $1$ tiene hipotenusa $\sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$ (teorema de Pitágoras); si con el compás se traslada esa hipotenusa sobre la recta numérica, se ubica el punto $\sqrt{2}$.
Sin utilizar calculadora, determina si el resultado de las siguientes operaciones es un número racional o irracional, desarrollando las expresiones algebraicas: a)…
Sin utilizar calculadora, determina si el resultado de las siguientes operaciones es un número racional o irracional, desarrollando las expresiones algebraicas:
- a) $(\sqrt{2} - 1)(\sqrt{2} + 1)$
- b) $\sqrt{3} + \sqrt{12}$
- c) $\frac{\sqrt{50}}{\sqrt{2}}$
Demuestra, utilizando el método de reducción al absurdo, que $\sqrt{3}$ es un número irracional. (Supón que $\sqrt{3} = \frac{p}{q}$ donde $p$ y $q$ son enteros primos…
Demuestra, utilizando el método de reducción al absurdo, que $\sqrt{3}$ es un número irracional. (Supón que $\sqrt{3} = \frac{p}{q}$ donde $p$ y $q$ son enteros primos entre sí, y llega a una contradicción).
En la figura se muestra la construcción geométrica de un número sobre la recta real utilizando un triángulo rectángulo y un arco de circunferencia. a) Identifica qué…
En la figura se muestra la construcción geométrica de un número sobre la recta real utilizando un triángulo rectángulo y un arco de circunferencia.
- a) Identifica qué número real exacto representa el punto $P$ sobre el eje horizontal.
- b) Clasifica dicho número en los conjuntos numéricos.
- c) Demuestra analíticamente su valor aplicando el teorema de Pitágoras.
Expresiones con raíces: simplificar y clasificar
Para clasificar un número con raíces, primero se simplifica. Dos recursos alcanzan casi siempre: sacar factores de la raíz ($\sqrt{12} = 2\sqrt{3}$) y reconocer un producto notable, el binomio al cuadrado $(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2$, dentro de un radicando. También sirve $\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\dfrac{a}{b}}$, por ejemplo $\dfrac{\sqrt{18}}{\sqrt{2}} = \sqrt{9} = 3$, y la raíz cúbica: $\sqrt[3]{-8} = -2$ porque $(-2)^3 = -8$ (a diferencia de la raíz cuadrada, la cúbica de un negativo sí existe).
Observa el diagrama de Venn que representa los conjuntos numéricos. Sitúa los siguientes números en la región más restrictiva que les corresponda:…
Observa el diagrama de Venn que representa los conjuntos numéricos. Sitúa los siguientes números en la región más restrictiva que les corresponda:
$a = \frac{\sqrt{18}}{\sqrt{2}}$, $b = -2.1\widehat{5}$, $c = \frac{\pi}{2}$, $d = \sqrt[3]{-8}$, $e = 1.010010001\dots$
El número áureo se define como $\phi = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$. a) Demuestra algebraicamente que $\phi$ cumple la ecuación $\phi^2 - \phi - 1 = 0$. b) A partir de este…
El número áureo se define como $\phi = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$.
- a) Demuestra algebraicamente que $\phi$ cumple la ecuación $\phi^2 - \phi - 1 = 0$.
- b) A partir de este resultado, deduce si el número $\frac{1}{\phi}$ es racional o irracional y exprésalo como un binomio en función de $\phi$.
Considera el número real $x = \sqrt{7 - 4\sqrt{3}} + \sqrt{3}$. Simplifica la expresión al máximo (pista: intenta expresar el radicando $7 - 4\sqrt{3}$ como un binomio…
Considera el número real $x = \sqrt{7 - 4\sqrt{3}} + \sqrt{3}$.
Simplifica la expresión al máximo (pista: intenta expresar el radicando $7 - 4\sqrt{3}$ como un binomio al cuadrado perfecto) y determina a qué conjuntos numéricos ($\mathbb{N}$, $\mathbb{Z}$, $\mathbb{Q}$, $\mathbb{I}$) pertenece el valor exacto de $x$.
Intervalos: notación y operaciones
Escribe en forma de intervalo y representa gráficamente en la recta real el siguiente conjunto de números: $A = \{x \in \mathbb{R} \mid -2 < x \le 5\}$ Puedes hacerlo en…
Escribe en forma de intervalo y representa gráficamente en la recta real el siguiente conjunto de números:
$A = \{x \in \mathbb{R} \mid -2 < x \le 5\}$
Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.
Dados los intervalos $A = [-3, 4)$ y $B = (0, 7]$, determina en forma de intervalo el resultado de las siguientes operaciones: a) $A \cup B$ b) $A \cap B$
Dados los intervalos $A = [-3, 4)$ y $B = (0, 7]$, determina en forma de intervalo el resultado de las siguientes operaciones:
- a) $A \cup B$
- b) $A \cap B$
Determina exactamente qué números enteros pertenecen al intervalo $(-2.5; 3]$. Expresa el resultado utilizando notación de conjuntos con llaves.
Determina exactamente qué números enteros pertenecen al intervalo $(-2.5; 3]$. Expresa el resultado utilizando notación de conjuntos con llaves.
Intervalos en problemas: varias condiciones a la vez
Muchos problemas imponen varias condiciones al mismo tiempo: la solución es la intersección de los intervalos. Si una condición está escrita sobre otra variable (por ejemplo $k = \frac{T}{5}$), primero se traduce a la variable pedida.
Una reacción química es viable si la temperatura $T$ (en $^\circ$C) pertenece al intervalo $A = [-10, 45)$ y, simultáneamente, la presión obliga a que un parámetro de…
Una reacción química es viable si la temperatura $T$ (en $^\circ$C) pertenece al intervalo $A = [-10, 45)$ y, simultáneamente, la presión obliga a que un parámetro de control de temperatura $k = \frac{T}{10}$ pertenezca al intervalo $B = (0, 5]$. Calcula el intervalo exacto de temperaturas $T$ para el cual la reacción es viable cumpliendo ambas condiciones a la vez.
Dados los conjuntos definidos en la recta real $A = (-\infty, 3k-1]$ y $B = [k+5, \infty)$, determina el valor del parámetro $k \in \mathbb{R}$ para el cual la…
Dados los conjuntos definidos en la recta real $A = (-\infty, 3k-1]$ y $B = [k+5, \infty)$, determina el valor del parámetro $k \in \mathbb{R}$ para el cual la intersección $A \cap B$ está formada por un único número real. Clasifica dicho número en los conjuntos $\mathbb{N}$, $\mathbb{Z}$, $\mathbb{Q}$, $\mathbb{I}$.
Un analista deportivo modela el rendimiento óptimo de un atleta mediante la intersección de tres intervalos de tiempo de reacción (en segundos) obtenidos de diferentes…
Un analista deportivo modela el rendimiento óptimo de un atleta mediante la intersección de tres intervalos de tiempo de reacción (en segundos) obtenidos de diferentes estudios biomecánicos:
$I_1 = [0.15; 0.25]$
$I_2 = (0.18; 0.30)$
$I_3 = [0.20; \infty)$
- a) Calcula el intervalo resultante de la intersección $I_1 \cap I_2 \cap I_3$.
- b) Si el tiempo de reacción ideal absoluto debe ser un número irracional contenido estrictamente dentro de esa intersección, propón un valor exacto (usando raíces) que cumpla la condición.
Valor absoluto e inecuaciones cuadráticas como intervalos
El valor absoluto $|x - a|$ mide la distancia entre $x$ y $a$ en la recta. Por eso «$|x - a| \le r$» significa «$x$ está a distancia como mucho $r$ de $a$».
Para una inecuación cuadrática se sigue este método: (1) resuelve la ecuación $ax^2 + bx + c = 0$ (factorizando o con la fórmula general) para hallar los interceptos con el eje $x$; (2) grafica la parábola por esos interceptos (abre hacia arriba si $a > 0$ y hacia abajo si $a < 0$); (3) lee en la gráfica dónde la parábola está sobre el eje $x$ ($> 0$) o bajo él ($< 0$).
En el diseño de un microchip, la tolerancia admisible para el grosor de una pista de silicio está dada por el conjunto…
En el diseño de un microchip, la tolerancia admisible para el grosor de una pista de silicio está dada por el conjunto $T = \{x \in \mathbb{R} \mid |x - 1.25| \le 0.05\}$ en micrómetros.
- a) Expresa este conjunto como un intervalo.
- b) Determina si los grosores $x_1 = 1.30$ y $x_2 = 1.25 + \frac{\sqrt{2}}{100}$ cumplen con la tolerancia exigida.
Dados los conjuntos de números reales $A = \{x \in \mathbb{R} \mid x^2 - 5x + 6 \le 0\}$ y $B = \{x \in \mathbb{R} \mid |x - 2| < 1\}$, halla los conjuntos resultantes…
Dados los conjuntos de números reales $A = \{x \in \mathbb{R} \mid x^2 - 5x + 6 \le 0\}$ y $B = \{x \in \mathbb{R} \mid |x - 2| < 1\}$, halla los conjuntos resultantes de las operaciones $A \cup B$ y $A \cap B$. Expresa los resultados finales en forma de intervalo.
Densidad: entre dos reales siempre hay más
Ordena de menor a mayor los siguientes números reales. Para ello, puedes utilizar su expresión decimal aproximada: $3.14$, $\pi$, $\sqrt{10}$, $3.1\widehat{4}$,…
Ordena de menor a mayor los siguientes números reales. Para ello, puedes utilizar su expresión decimal aproximada:
$3.14$, $\pi$, $\sqrt{10}$, $3.1\widehat{4}$, $\frac{22}{7}$
Encuentra un número racional y un número irracional que estén comprendidos estrictamente entre $1.5$ y $1.6$.
Encuentra un número racional y un número irracional que estén comprendidos estrictamente entre $1.5$ y $1.6$.
La propiedad de densidad de los números racionales establece que entre dos números racionales distintos siempre existe otro número racional. Demuestra esta propiedad…
La propiedad de densidad de los números racionales establece que entre dos números racionales distintos siempre existe otro número racional. Demuestra esta propiedad encontrando tres números racionales distintos comprendidos estrictamente entre $\frac{4}{7}$ y $\frac{5}{7}$.
Sabiendo que entre dos números reales cualesquiera existen infinitos números racionales e irracionales, construye un número irracional $x$ que cumpla simultáneamente las…
Sabiendo que entre dos números reales cualesquiera existen infinitos números racionales e irracionales, construye un número irracional $x$ que cumpla simultáneamente las siguientes dos condiciones:
- a) $0.01 < x < 0.02$
- b) En su desarrollo decimal infinito solo aparecen los dígitos $0$ y $1$.
Escribe al menos los primeros 12 decimales de tu número para dejar clara la regla de formación que garantiza su irracionalidad.