En un taller de Managua, en un laboratorio o en un juego de béisbol, muchas veces importa cuánto te desviaste de lo ideal, no hacia qué lado. Un lanzamiento que pasa 30 cm a la izquierda del home y otro que pasa 30 cm a la derecha se salen de la zona de strike por lo mismo. El valor absoluto (o módulo) es la herramienta que mide esa desviación sin mirar el signo. Al final de la página vamos a usarlo para resolver un problema de tolerancia en una pieza.
Definición por casos
Geométricamente, $|x|$ es la distancia de $x$ al $0$ en la recta numérica. Su gráfica tiene forma de V.
Practica★☆☆Sin empezar
Calcula el valor numérico de la siguiente expresión: $|-7| - |4 - 9| + |-3|$.
Calcula el valor numérico de la siguiente expresión: $|-7| - |4 - 9| + |-3|$.
La distancia entre dos puntos $a$ y $b$ de la recta numérica es $|a - b|$ (da lo mismo $|b - a|$). Por eso $|x - c| = r$ significa «$x$ está a distancia $r$ del punto $c$».
Practica★☆☆Sin empezar
Calcula la distancia en la recta real entre los puntos $A = -6$ y $B = 11$ utilizando el valor absoluto.
Calcula la distancia en la recta real entre los puntos $A = -6$ y $B = 11$ utilizando el valor absoluto.
Si $|A|$ es una distancia, «$|A| \le r$» significa «estar cerca» y «$|A| \ge r$» significa «estar lejos».
Con las mismas reglas se pasa de un intervalo a una inecuación con módulo: el centro es el punto medio y el radio es la mitad de la longitud. Por ejemplo, $(-8, 8)$ tiene centro $0$ y radio $8$, así que es $|x| < 8$.
Practica★☆☆Sin empezar
Expresa la desigualdad $|x + 2| > 4$ como una unión de intervalos.
Expresa la desigualdad $|x + 2| > 4$ como una unión de intervalos.
Una fábrica de rodamientos de acero estipula que la longitud ideal de una pieza es de $250 \text{ mm}$. El control de calidad rechaza cualquier pieza cuya longitud…
Una fábrica de rodamientos de acero estipula que la longitud ideal de una pieza es de $250 \text{ mm}$. El control de calidad rechaza cualquier pieza cuya longitud difiera de la ideal en más de $1.2 \text{ mm}$. Expresa esta condición mediante una inecuación con valor absoluto y determina el intervalo de longitudes válidas.
En un modelo de aprendizaje automático, el error $E$ entre la predicción $y$ y el valor real $t$ se define como $E = |y - t|$. Si se garantiza por el diseño del modelo…
En un modelo de aprendizaje automático, el error $E$ entre la predicción $y$ y el valor real $t$ se define como $E = |y - t|$. Si se garantiza por el diseño del modelo que $|y - 15| \le 1.5$ y $|t - 15| \le 2.5$, determina una cota superior para el error máximo posible $E$ utilizando las propiedades del valor absoluto, y encuentra el intervalo de valores posibles para la diferencia $y - t$.
Esta sección es de ampliación: lleva más lejos lo que ya sabes de valor absoluto.
Toda expresión con módulos se puede reescribir sin barras estudiando el signo de cada expresión interior en cada tramo. Así se ve la gráfica de $f(x) = |x-3| + |x+2|$:
Practica★★☆Sin empezar
Simplifica la expresión algebraica $|x - 3| + |x + 2|$ sabiendo que la variable $x$ pertenece al intervalo $(-2, 3)$.
Simplifica la expresión algebraica $|x - 3| + |x + 2|$ sabiendo que la variable $x$ pertenece al intervalo $(-2, 3)$.
La siguiente gráfica representa una función definida mediante la diferencia de dos valores absolutos, $f(x) = |x - a| - |x - b|$ con $a < b$. Observando los vértices y…
La siguiente gráfica representa una función definida mediante la diferencia de dos valores absolutos, $f(x) = |x - a| - |x - b|$ con $a < b$. Observando los vértices y los tramos constantes en la figura, determina los valores de los parámetros $a$ y $b$, y escribe la expresión analítica de $f(x)$ definida a trozos sin usar valores absolutos.