Teorema del residuo
Yahoska, estudiante de 10.° grado en un colegio de Masaya, tiene que averiguar el residuo de dividir $P(x)=x^{2024}-3x^{2023}+2x^5-7x+4$ entre $x-3$. Nadie hace esa división entera. Con una sola sustitución, $P(3)$, el problema se resuelve en un minuto. El teorema del residuo es esa sustitución, y en este apartado vas a aprender a usarla para calcular residuos, detectar factores y hallar coeficientes desconocidos.
El teorema del residuo
Calcula, sin efectuar la división, el resto de dividir el polinomio $P(x) = 3x^4 - 2x^3 + 5x - 7$ entre $x - 2$.
Calcula, sin efectuar la división, el resto de dividir el polinomio $P(x) = 3x^4 - 2x^3 + 5x - 7$ entre $x - 2$.
Calcula el valor numérico del polinomio $P(x) = -x^5 + 3x^3 - 2x^2 + x - 5$ para $x = -1$ e indica qué significado tiene este valor respecto a la división polinómica de…
Calcula el valor numérico del polinomio $P(x) = -x^5 + 3x^3 - 2x^2 + x - 5$ para $x = -1$ e indica qué significado tiene este valor respecto a la división polinómica de $P(x)$ entre $x + 1$.
La posición de un móvil en línea recta en función del tiempo $t$ (en segundos) está dada por el polinomio $x(t) = -2t^3 + 8t^2 - 5t + 3$ (en metros). Utiliza el teorema…
La posición de un móvil en línea recta en función del tiempo $t$ (en segundos) está dada por el polinomio $x(t) = -2t^3 + 8t^2 - 5t + 3$ (en metros). Utiliza el teorema del residuo para calcular la posición del móvil en el instante $t = 3$ y explica la relación conceptual entre el valor hallado y la división polinomial de $x(t)$ entre $t - 3$.
El teorema del factor: cuando el residuo es cero
Si el residuo $P(a)$ da $0$, la división es exacta: $(x-a)$ es un factor de $P(x)$ y $a$ es una raíz del polinomio. Es el mismo teorema, aplicado al caso en que el residuo se anula.
Fíjate en el gráfico: la curva corta al eje $x$ justo en las raíces, y cada corte corresponde a un factor del polinomio.
Determina si el polinomio $Q(x) = x^3 + 4x^2 - x - 4$ es divisible por $x + 4$ aplicando el teorema del resto.
Determina si el polinomio $Q(x) = x^3 + 4x^2 - x - 4$ es divisible por $x + 4$ aplicando el teorema del resto.
Comprueba mediante el teorema del resto si $x = 3$ es una raíz del polinomio $P(x) = x^3 - 4x^2 + 5x - 6$.
Comprueba mediante el teorema del resto si $x = 3$ es una raíz del polinomio $P(x) = x^3 - 4x^2 + 5x - 6$.
El crecimiento de una colonia de bacterias en un medio controlado se modela con el polinomio $P(t) = t^4 - 7t^3 + 17t^2 - 17t + 6$, donde $t$ es el tiempo en días y…
El crecimiento de una colonia de bacterias en un medio controlado se modela con el polinomio $P(t) = t^4 - 7t^3 + 17t^2 - 17t + 6$, donde $t$ es el tiempo en días y $P(t)$ representa la desviación respecto a la población inicial. Demuestra, utilizando el teorema del factor, que en los días $t=1$, $t=2$ y $t=3$ la población vuelve exactamente a su nivel inicial.
Encuentra el valor de $m$ sabiendo que la división del polinomio $R(x) = x^4 + mx^3 - 2x^2 + 5x - 6$ entre $x - 2$ es exacta.
Encuentra el valor de $m$ sabiendo que la división del polinomio $R(x) = x^4 + mx^3 - 2x^2 + 5x - 6$ entre $x - 2$ es exacta.
Hallar un parámetro con una condición
Cuando el polinomio tiene un coeficiente desconocido y se conoce (o se exige) un residuo, se sustituye igual: la condición se convierte en una ecuación con esa incógnita.
Halla el valor del parámetro $k$ para que el resto de dividir $P(x) = 2x^3 - kx^2 + 3x + 1$ entre $x - 1$ sea $4$.
Halla el valor del parámetro $k$ para que el resto de dividir $P(x) = 2x^3 - kx^2 + 3x + 1$ entre $x - 1$ sea $4$.
Sabiendo que el resto de dividir $P(x) = x^3 - 2x^2 + ax + 5$ entre $x + 2$ es $-7$, calcula el valor del coeficiente $a$.
Sabiendo que el resto de dividir $P(x) = x^3 - 2x^2 + ax + 5$ entre $x + 2$ es $-7$, calcula el valor del coeficiente $a$.
Determina el valor de $k$ para que el resto de dividir el polinomio $P(x) = 2x^3 - kx^2 + x - k$ entre $x - 2$ sea idéntico al resto de dividir el polinomio…
Determina el valor de $k$ para que el resto de dividir el polinomio $P(x) = 2x^3 - kx^2 + x - k$ entre $x - 2$ sea idéntico al resto de dividir el polinomio $Q(x) = x^2 - kx + 3$ entre $x + 1$.
Varias condiciones a la vez
Con dos parámetros desconocidos hacen falta dos condiciones (dos residuos, o un residuo y una divisibilidad). Cada una da una ecuación y juntas forman un sistema de ecuaciones lineales, que resuelves por el método que prefieras (sustitución, igualación o reducción).
Halla los valores de los parámetros $m$ y $n$ para que el polinomio $P(x) = x^3 + mx^2 + nx - 10$ sea divisible por $x - 2$ y deje un resto de $-24$ al dividirlo por…
Halla los valores de los parámetros $m$ y $n$ para que el polinomio $P(x) = x^3 + mx^2 + nx - 10$ sea divisible por $x - 2$ y deje un resto de $-24$ al dividirlo por $x + 2$.
Calcula el valor de $a$ y $b$ sabiendo que el polinomio $P(x) = ax^4 + bx^3 - x^2 + 2x - 4$ es divisible simultáneamente por $(x - 1)$ y por $(x + 1)$.
Calcula el valor de $a$ y $b$ sabiendo que el polinomio $P(x) = ax^4 + bx^3 - x^2 + 2x - 4$ es divisible simultáneamente por $(x - 1)$ y por $(x + 1)$.
Un polinomio $P(x)$ de tercer grado tiene como coeficiente principal $2$. Sabiendo que es divisible por $(x - 1)$ y por $(x + 2)$, y que al dividirlo por $(x - 2)$ da un…
Un polinomio $P(x)$ de tercer grado tiene como coeficiente principal $2$. Sabiendo que es divisible por $(x - 1)$ y por $(x + 2)$, y que al dividirlo por $(x - 2)$ da un resto de $16$, determina la expresión completa del polinomio $P(x)$ en su forma desarrollada.
La capacidad calorífica de un material experimental se aproxima mediante el polinomio de tercer grado $C(T) = aT^3 + bT^2 + cT + d$. Sabemos que $C(T)$ es divisible por…
La capacidad calorífica de un material experimental se aproxima mediante el polinomio de tercer grado $C(T) = aT^3 + bT^2 + cT + d$. Sabemos que $C(T)$ es divisible por $T$, que a $T=1$ su valor es $4$, a $T=-1$ su valor es $0$ y a $T=2$ su valor es $18$. Formula el sistema de ecuaciones correspondiente utilizando el teorema del resto y halla la expresión analítica del polinomio $C(T)$.
Exponentes enormes
El teorema del residuo no distingue entre un polinomio de grado $3$ y uno de grado $2024$: evaluar $P(a)$ cuesta lo mismo. Eso sí, conviene aprovechar las potencias de $a$ para cancelar términos antes de calcular.
El costo de producción de $q$ miles de unidades de un componente electrónico sigue la ley $C(q) = 17.50q^4 - 105q^3 + 175q^2 + 420$ (en miles de córdobas). Aplica el…
El costo de producción de $q$ miles de unidades de un componente electrónico sigue la ley $C(q) = 17.50q^4 - 105q^3 + 175q^2 + 420$ (en miles de córdobas). Aplica el teorema del resto para determinar el costo exacto de fabricar $4000$ unidades ($q=4$).
En un sistema de seguridad criptográfico, una clave se genera evaluando un polinomio de grado muy alto. La clave corresponde exactamente al resto de dividir el polinomio…
En un sistema de seguridad criptográfico, una clave se genera evaluando un polinomio de grado muy alto. La clave corresponde exactamente al resto de dividir el polinomio $P(x) = x^{2024} - 3x^{2023} + 2x^5 - 7x + 4$ entre el binomio $x - 3$. Calcula el valor numérico de dicha clave de seguridad justificando tu respuesta.
Demuestra, aplicando el teorema del resto, que el polinomio $P(x) = x^n - a^n$ es siempre divisible por $x - a$ para cualquier número natural $n$. Utiliza este resultado…
Demuestra, aplicando el teorema del resto, que el polinomio $P(x) = x^n - a^n$ es siempre divisible por $x - a$ para cualquier número natural $n$. Utiliza este resultado para deducir razonadamente el resto de la división de $x^5 - 32$ entre $x - 2$.
El residuo al dividir por un polinomio de grado 2
Si el divisor tiene grado $2$, el residuo puede ser un polinomio de grado $1$, de la forma $mx+n$. Si conoces las dos raíces del divisor, evaluar $P(x)$ en cada una te da dos ecuaciones para hallar $m$ y $n$.
Halla el resto de dividir el polinomio $P(x) = (x - 2)^{200} + (x - 1)^{100} - 5$ entre el polinomio de segundo grado $Q(x) = (x - 1)(x - 2)$. Nota: Recuerda que el…
Halla el resto de dividir el polinomio $P(x) = (x - 2)^{200} + (x - 1)^{100} - 5$ entre el polinomio de segundo grado $Q(x) = (x - 1)(x - 2)$.
Nota: Recuerda que el resto de dividir por un polinomio de grado 2 es, a lo sumo, de la forma $mx + n$. Aplica el teorema del resto evaluando estratégicamente en las raíces del divisor.
Encuentra la expresión desarrollada de un polinomio $P(x)$ de tercer grado tal que, al dividirlo por $x+1$, $x-2$ y $x+3$, deje en todos los casos el mismo resto igual a…
Encuentra la expresión desarrollada de un polinomio $P(x)$ de tercer grado tal que, al dividirlo por $x+1$, $x-2$ y $x+3$, deje en todos los casos el mismo resto igual a $5$, y que al dividirlo por $x-1$ deje un resto de $-7$.
Nota: Piensa en la relación entre el polinomio auxiliar $P(x) - 5$ y el teorema del factor.
Resumen
Vuelve al principio: el residuo de dividir $x^{2024}-3x^{2023}+2x^5-7x+4$ entre $x-3$ es $P(3)=469$, sin hacer ninguna división.