Sistemas de ecuaciones

Qué es un sistema

Para comprobar una solución se reemplaza en todas las ecuaciones. Si pruebas $x = 60$ paneles A e $y = 60$ paneles B: $60 + 60 = 120$ y $400 \cdot 60 + 250 \cdot 60 = 24\,000 + 15\,000 = 39\,000$. Cumple las dos.

Sistemas lineales de dos incógnitas

Ya conoces tres métodos: sustitución (despejas una incógnita y la reemplazas en la otra ecuación), igualación (despejas la misma incógnita en las dos y las igualas) y reducción (sumas o restas las ecuaciones, multiplicadas por números convenientes, para eliminar una incógnita).

¿Por qué funciona la reducción? Si a dos miembros iguales les sumas miembros iguales, la igualdad se conserva. Eso te permite cancelar una incógnita sin cambiar las soluciones.

Tres incógnitas: sistemas escalonados y método de Gauss

Un sistema está escalonado cuando cada ecuación tiene una incógnita menos que la anterior. Se resuelve de abajo hacia arriba:

Si el sistema no está escalonado, el método de Gauss lo transforma en uno escalonado con el mismo conjunto de soluciones. Se permite: intercambiar ecuaciones, multiplicar una ecuación por un número distinto de cero, y sumarle a una ecuación un múltiplo de otra. Con esto vas haciendo ceros debajo de cada incógnita.

Discusión de un sistema con un parámetro

Discutir un sistema es clasificarlo según el valor de un parámetro:

• Compatible determinado: una única solución.

• Compatible indeterminado: infinitas soluciones.

• Incompatible: ninguna solución.

En dos incógnitas cada ecuación es una recta, y las tres situaciones son las posiciones de dos rectas.

Para un sistema $2 \times 2$ con coeficientes $a_1x + b_1y = c_1$ y $a_2x + b_2y = c_2$, el determinante del sistema es $\Delta = a_1 b_2 - a_2 b_1$. Si $\Delta \neq 0$ las rectas se cortan en un punto: compatible determinado. Si $\Delta = 0$ hay que mirar los términos independientes, y queda indeterminado (rectas coincidentes) o incompatible (rectas paralelas).

Con tres incógnitas se usa Gauss y se mira qué pasa con la última ecuación.

Sistemas no lineales

Si alguna ecuación tiene $x^2$, $x \cdot y$ u otra expresión que no es de primer grado, el sistema es no lineal. La estrategia general: despeja en la ecuación más sencilla y sustituye en la otra. Geométricamente se buscan los puntos donde se cortan las dos gráficas.

Sistemas simétricos. Cuando las ecuaciones no cambian al intercambiar $x$ e $y$, conviene usar la suma $s = x + y$ y el producto $p = xy$. Por ejemplo, $x^2 + y^2 = s^2 - 2p$ y $x^2 + xy + y^2 = s^2 - p$. Conocidos $s$ y $p$, $x$ e $y$ son las raíces de $t^2 - st + p = 0$.

Cuadráticas en $x^2$ e $y^2$. Si solo aparecen $x^2$ e $y^2$, tratalas como incógnitas nuevas: $u = x^2$, $v = y^2$. Queda un sistema lineal en $u$ y $v$. Después se vuelve con $x = \pm\sqrt{u}$, $y = \pm\sqrt{v}$.

Sistemas con radicales, fracciones y valor absoluto

Radicales. Aislá cada raíz y elevá al cuadrado para quedarte con expresiones lineales. Como una raíz cuadrada nunca es negativa, comprobá al final.

Fracciones con incógnita en el denominador. Usá $u = \dfrac{1}{x}$ y $v = \dfrac{1}{y}$: el sistema pasa a ser lineal en $u$ y $v$. Al final se vuelve con $x = \dfrac{1}{u}$ e $y = \dfrac{1}{v}$.

Valor absoluto. Recordá que $|A| = c$ (con $c > 0$) significa $A = c$ o $A = -c$. Se resuelven los dos sistemas por separado y se juntan las soluciones.

Sistemas exponenciales

Si las potencias tienen la misma base, igualás exponentes; si no se puede, hacés un cambio de variable ($u = 3^x$, $v = 2^y$…) para obtener un sistema lineal, y después deshacés el cambio.

¿Por qué se pueden igualar exponentes? Porque la exponencial es inyectiva: $a^m = a^n$ (con $a > 0$, $a \neq 1$) implica $m = n$.

Sistemas logarítmicos y mixtos

Recordá las propiedades: $\log(a \cdot b) = \log a + \log b$, $\log\dfrac{a}{b} = \log a - \log b$ y $\log a^n = n \log a$. Con ellas, o con un cambio de variable ($u = \log x$, $v = \log y$), un sistema logarítmico se vuelve lineal.

Cuando las ecuaciones tienen un solo logaritmo cada una, se pasa a forma exponencial: $\log_a A = c$ significa $A = a^c$. Por ejemplo, $\log_2 x + \log_2 y = 3$ equivale a $\log_2(xy) = 3$, o sea $xy = 8$.

Sistemas mixtos (exponencial y logarítmica): usá la ecuación logarítmica para obtener una relación algebraica entre $x$ e $y$, sustituí en la exponencial y tomá logaritmos de ambos miembros.

Problemas que se resuelven con sistemas lineales

Plantear bien es la mitad del trabajo. Seguí estos pasos:

1. Elegí las incógnitas y escribí qué representa cada una (con unidades).

2. Traducí cada condición del enunciado a una ecuación.

3. Resolvé el sistema con el método más cómodo.

4. Interpretá y comprobá en el enunciado: ¿tiene sentido el resultado (positivo, entero si cuenta objetos)?

Problemas que llevan a sistemas no lineales

A veces las condiciones son de producto (áreas, distancia = velocidad · tiempo) o de Pitágoras; el sistema resulta no lineal. El plan es el mismo, y después usás sustitución o suma y producto.

Para los triángulos rectángulos suele servir esta combinación: perímetro (suma), Pitágoras $x^2 + y^2 = z^2$ y área expresada de dos maneras (catetos y base por altura sobre la hipotenusa).

Resumen