Inecuaciones con valor absoluto
En un taller de carpintería de Masaya, un tornillo tiene que medir 40 mm, pero se acepta que se desvíe hasta 0.5 mm para un lado o para el otro. No importa de qué lado se pase: importa cuánto se aleja del valor ideal. Esa «lejanía» es el valor absoluto, y es la llave para resolver todas las inecuaciones de esta página.
El valor absoluto como distancia
Resuelve la inecuación $|x - 5| < 3$ y expresa la solución en forma de intervalo.
Resuelve la inecuación $|x - 5| < 3$ y expresa la solución en forma de intervalo.
Encuentra todos los números reales $x$ que satisfacen la desigualdad $|2x + 4| \geq 8$.
Encuentra todos los números reales $x$ que satisfacen la desigualdad $|2x + 4| \geq 8$.
Resuelve la siguiente inecuación con valor absoluto: $|3x - 1| \leq 5$.
Resuelve la siguiente inecuación con valor absoluto: $|3x - 1| \leq 5$.
Del enunciado a la inecuación y otras formas
Muchas veces el valor absoluto no aparece «limpio». Hay dos pasos útiles: traducir el lenguaje coloquial y aislar el módulo.
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«La distancia entre $x$ y $7$ es menor que $4$» se escribe $|x-7|<4$.
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Si el módulo está dentro de una cuenta, primero lo aíslas: $5-|x-2|>1$ se transforma en $-|x-2|>-4$, o sea $|x-2|<4$ (se invirtió el sentido al multiplicar por $-1$).
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Si hay fracciones, como $\left|\frac{x}{3}-2\right|\leq1$, plantea $-1\leq\frac{x}{3}-2\leq1$ y opera en los tres miembros.
Expresa mediante una inecuación con valor absoluto el siguiente enunciado: "La distancia entre un número $x$ y $7$ es estrictamente menor que $4$". A continuación,…
Expresa mediante una inecuación con valor absoluto el siguiente enunciado: "La distancia entre un número $x$ y $7$ es estrictamente menor que $4$". A continuación, determina el conjunto de soluciones.
Determina el conjunto solución de la inecuación $|-x + 6| > 2$.
Determina el conjunto solución de la inecuación $|-x + 6| > 2$.
Resuelve la inecuación $\left| \frac{x}{3} - 2 \right| \leq 1$.
Resuelve la inecuación $\left| \frac{x}{3} - 2 \right| \leq 1$.
Resuelve la desigualdad $5 - |x - 2| > 1$.
Resuelve la desigualdad $5 - |x - 2| > 1$.
La ecuación $|x+b|=a$
Antes de las inecuaciones conviene resolver la ecuación, porque sus soluciones son los puntos donde cambia la desigualdad. Tres propiedades básicas: $|x|\geq0$ siempre, $|-x|=|x|$ y $|x|=k$ (con $k>0$) significa $x=k$ o $x=-k$.
Resuelve la inecuación $|x - 5| < 3$ y expresa la solución en forma de intervalo.
Resuelve la inecuación $|x - 5| < 3$ y expresa la solución en forma de intervalo.
Casos sin solución o con solución toda la recta
Como $|x|\geq0$ siempre, hay inecuaciones que no necesitan cálculo: se resuelven razonando sobre el signo.
Justifica si las siguientes inecuaciones tienen solución en el conjunto de los números reales y, en caso afirmativo, hállala: a) $|x + 4| \leq 0$ b) $|2x - 5| < -1$
Justifica si las siguientes inecuaciones tienen solución en el conjunto de los números reales y, en caso afirmativo, hállala:
- a) $|x + 4| \leq 0$
- b) $|2x - 5| < -1$
Tolerancias y márgenes de error
El contexto más habitual del valor absoluto en la vida real es una tolerancia: una medida que debe estar cerca de un valor ideal, con un margen de error máximo.
En una fábrica de componentes electrónicos, la longitud ideal de un chip es de $12.5$ mm. Por cuestiones de control de calidad, se acepta un margen de error máximo de…
En una fábrica de componentes electrónicos, la longitud ideal de un chip es de $12.5$ mm. Por cuestiones de control de calidad, se acepta un margen de error máximo de $0.15$ mm. Escribe una inecuación con valor absoluto que modele esta situación para la longitud $L$ del chip y resuelve para encontrar el intervalo de longitudes aceptables.
El pH de una piscina debe mantenerse en un nivel óptimo de $7.4$. Para que el agua sea apta para bañarse, la diferencia absoluta entre el pH actual y el óptimo no debe…
El pH de una piscina debe mantenerse en un nivel óptimo de $7.4$. Para que el agua sea apta para bañarse, la diferencia absoluta entre el pH actual y el óptimo no debe superar el $5\%$ del valor óptimo. Plantea la inecuación con valor absoluto correspondiente y determina el rango de pH permitido.
La temperatura $T$ (en grados Celsius) de un horno industrial oscila durante su funcionamiento de modo que $|2T - 300| \leq 50$. Si por razones de seguridad en el…
La temperatura $T$ (en grados Celsius) de un horno industrial oscila durante su funcionamiento de modo que $|2T - 300| \leq 50$. Si por razones de seguridad en el proceso de fundición la temperatura no puede bajar de $130^\circ$C en ningún momento, comprueba matemáticamente si el horno cumple la normativa de seguridad garantizada por su oscilación.
Expresiones cuadráticas, racionales y módulo en ambos miembros
Cuando dentro del módulo hay una expresión cuadrática o racional, el método no cambia: se traduce a una doble desigualdad o a dos tramos, y después se resuelve lo que quede con las técnicas conocidas.
Cuando el lado derecho no es un número
En $|2x-3|
Módulo en ambos miembros
Para $|f(x)|\leq|g(x)|$, ambos lados son no negativos, así que puedes elevar al cuadrado sin cambiar el sentido: $[f(x)]^2\leq[g(x)]^2$. Para $|x-2|<|x+4|$ también sirve la geometría: $x$ está más cerca de $2$ que de $-4$, o sea, a la derecha del punto medio $-1$.
Dos módulos sumados
Para $|x-1|+|x-3|\leq6$ se dividen los casos según los puntos donde cada módulo se anula ($x=1$ y $x=3$): $x<1$, $1\leq x<3$ y $x\geq3$. En cada tramo se sacan los módulos con su signo y se resuelve; la solución es la unión de lo que sirve en cada tramo.
Resuelve la inecuación cuadrática con valor absoluto $|x^2 - 5| < 4$.
Resuelve la inecuación cuadrática con valor absoluto $|x^2 - 5| < 4$.
Encuentra los valores de $x$ que satisfacen la inecuación $|2x - 3| < x + 1$.
Encuentra los valores de $x$ que satisfacen la inecuación $|2x - 3| < x + 1$.
Resuelve la inecuación racional con valor absoluto $\frac{2}{|x - 3|} \geq 1$.
Resuelve la inecuación racional con valor absoluto $\frac{2}{|x - 3|} \geq 1$.
Halla el conjunto solución de la inecuación $|x - 2| < |x + 4|$ interpretando geométricamente el valor absoluto como la distancia entre puntos en la recta real.
Halla el conjunto solución de la inecuación $|x - 2| < |x + 4|$ interpretando geométricamente el valor absoluto como la distancia entre puntos en la recta real.
Encuentra el conjunto de soluciones de la inecuación $|x - 1| + |x - 3| \leq 6$. La figura muestra la gráfica de $f(x) = |x-1| + |x-3|$ (en azul) y la recta $y = 6$ (en…
Encuentra el conjunto de soluciones de la inecuación $|x - 1| + |x - 3| \leq 6$.
La figura muestra la gráfica de $f(x) = |x-1| + |x-3|$ (en azul) y la recta $y = 6$ (en verde). Puedes usarla para comprobar el resultado que obtengas de forma algebraica.
Resuelve la inecuación $|x^2 - 4x| > 3x$. Expresa la solución en forma de unión de intervalos.
Resuelve la inecuación $|x^2 - 4x| > 3x$. Expresa la solución en forma de unión de intervalos.
Resuelve la inecuación racional con valor absoluto $\left| \frac{2x - 1}{x + 2} \right| \geq 1$.
Resuelve la inecuación racional con valor absoluto $\left| \frac{2x - 1}{x + 2} \right| \geq 1$.
Sistemas, parámetros y aplicaciones
Un sistema de inecuaciones pide los $x$ que cumplen todas a la vez: se resuelve cada una por separado y se intersecan las soluciones.
Con parámetros, la idea es la misma: $|x-k|\leq3$ da $[k-3, k+3]$, y se piden condiciones sobre $k$ para que ese intervalo quede contenido en otro, comparando extremos. En el caso $|x^2-a^2|\leq a^2$ (con $a>0$) se traduce a $-a^2\leq x^2-a^2\leq a^2$, es decir $0\leq x^2\leq2a^2$.
También aparecen en la física: si la velocidad es $v(t)=|3t-15|$, la condición $v<6$ se resuelve como cualquier otra inecuación con módulo. Y si una función combina módulos, como $d(x)=|x|-|x-2|$, se parte la recta en tramos para sacarlos.
Resuelve el siguiente sistema de inecuaciones lineales con valor absoluto: $$ \begin{cases} |x - 2| \leq 4 \\ |x + 1| > 2 \end{cases} $$
Resuelve el siguiente sistema de inecuaciones lineales con valor absoluto:
$$ \begin{cases} |x - 2| \leq 4 \\ |x + 1| > 2 \end{cases} $$Resuelve el siguiente sistema de inecuaciones combinadas: $$ \begin{cases} |x^2 - 4| \leq 5 \\ |2x - 1| \geq 3 \end{cases} $$
Resuelve el siguiente sistema de inecuaciones combinadas:
$$ \begin{cases} |x^2 - 4| \leq 5 \\ |2x - 1| \geq 3 \end{cases} $$Determina para qué valores del parámetro real $k$ el conjunto solución de la inecuación $|x - k| \leq 3$ está estrictamente contenido en el intervalo $[-1, 8]$.
Determina para qué valores del parámetro real $k$ el conjunto solución de la inecuación $|x - k| \leq 3$ está estrictamente contenido en el intervalo $[-1, 8]$.
La celeridad de un vehículo en un instante $t$ (en segundos) viene dada por la expresión $v(t) = |3t - 15|$ m/s. Determina durante qué intervalo de tiempo la celeridad…
La celeridad de un vehículo en un instante $t$ (en segundos) viene dada por la expresión $v(t) = |3t - 15|$ m/s. Determina durante qué intervalo de tiempo la celeridad del vehículo es estrictamente menor que $6$ m/s y calcula la distancia total recorrida en ese intervalo considerando que el vehículo se mueve en línea recta.
Considera la inecuación $|x^2 - a^2| \leq a^2$, donde $a > 0$ es un parámetro real constante. Expresa el conjunto solución de esta inecuación en función del parámetro…
Considera la inecuación $|x^2 - a^2| \leq a^2$, donde $a > 0$ es un parámetro real constante. Expresa el conjunto solución de esta inecuación en función del parámetro $a$.
En un estudio de óptica y refracción, la desviación de un haz de luz respecto a su trayectoria ideal viene dada por la función $d(x) = |x| - |x - 2|$. Resuelve la…
En un estudio de óptica y refracción, la desviación de un haz de luz respecto a su trayectoria ideal viene dada por la función $d(x) = |x| - |x - 2|$. Resuelve la inecuación $|d(x)| \leq 1$ para encontrar los valores de $x$ donde la desviación se mantiene dentro de los márgenes tolerables por el instrumento.
Vuelve al principio: el tornillo de $40$ mm con desvío máximo de $0.5$ mm cumple $|L-40|\leq0.5$, o sea $L\in[39.5, 40.5]$.