División sintética
Valeria arma en la feria de ciencias de su colegio en Masaya una caja con forma de prisma para guardar artesanías. Sabe que su volumen es $V(x) = x^3 + 5x^2 + 2x - 8$ y que la altura mide $x - 1$. ¿Cómo encuentra el área de la base sin hacer una división larga de polinomios? Para eso sirve la división sintética: hace lo mismo que la división de siempre, pero trabajando solo con números. Con ella vas a dividir, evaluar, hallar raíces y factorizar polinomios de grado alto.
Cómo funciona la regla
La división sintética sirve para dividir un polinomio $P(x)$ entre un binomio de la forma $x - a$. Se arma una tabla así:
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Escribe los coeficientes de $P(x)$ en fila, ordenados de mayor a menor grado. Si falta algún grado, pon un $0$.
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A la izquierda, aparte, pon el valor $a$.
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Baja el primer coeficiente tal cual.
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Cada número nuevo de la fila de abajo se obtiene multiplicando el anterior por $a$ y sumándole el coeficiente de su columna.
El último número de la fila de abajo es el residuo. Los demás son los coeficientes del cociente, que tiene un grado menos que $P(x)$.
Siempre vale el algoritmo de la división: $P(x) = D(x)\,Q(x) + R(x)$, que aquí es $P(x) = (x-a)\cdot C(x) + R$. Por eso se puede comprobar el resultado multiplicando.
Divide el polinomio $P(x) = 3x^3 - 2x^2 + 5x - 4$ entre el binomio $x - 2$ utilizando la regla de Ruffini e indica el cociente y el residuo resultantes.
Divide el polinomio $P(x) = 3x^3 - 2x^2 + 5x - 4$ entre el binomio $x - 2$ utilizando la regla de Ruffini e indica el cociente y el residuo resultantes.
Aplica la regla de Ruffini para realizar la división de $P(x) = x^4 - 16$ entre $x + 2$. Escribe claramente el polinomio cociente y el valor del residuo.
Aplica la regla de Ruffini para realizar la división de $P(x) = x^4 - 16$ entre $x + 2$. Escribe claramente el polinomio cociente y el valor del residuo.
Halla el residuo de la división del polinomio $P(x) = x^5 + 3x^4 - 2x^2 + 7$ entre $x + 3$ aplicando la regla de Ruffini.
Halla el residuo de la división del polinomio $P(x) = x^5 + 3x^4 - 2x^2 + 7$ entre $x + 3$ aplicando la regla de Ruffini.
La división sintética calcula valores y detecta ceros
El último número de la tabla es el resto de dividir por $x-a$. Por el teorema del residuo, ese residuo es $P(a)$. Entonces la división sintética te permite calcular el valor numérico de un polinomio sin elevar y sumar término a término. Y si el residuo da $0$, encontraste una raíz.
En el gráfico de $P(x)=x^3-4x^2+x+6$ se ve que corta al eje $x$ (los interceptos) justo donde la división sintética da residuo $0$:
Comprueba, utilizando la regla de Ruffini, si $x = 3$ es una raíz del polinomio $P(x) = x^3 - 4x^2 + x + 6$.
Comprueba, utilizando la regla de Ruffini, si $x = 3$ es una raíz del polinomio $P(x) = x^3 - 4x^2 + x + 6$.
Calcula el valor numérico del polinomio $P(x) = -2x^3 + 5x^2 - 3x + 1$ para $x = -1$ aplicando el teorema del residuo mediante la regla de Ruffini.
Calcula el valor numérico del polinomio $P(x) = -2x^3 + 5x^2 - 3x + 1$ para $x = -1$ aplicando el teorema del residuo mediante la regla de Ruffini.
Calcula el valor numérico del polinomio $P(x) = x^4 - 2.5x^3 + 1.5x^2 - 3x + 2$ para $x = 2$ utilizando exclusivamente la disposición de la regla de Ruffini.
Calcula el valor numérico del polinomio $P(x) = x^4 - 2.5x^3 + 1.5x^2 - 3x + 2$ para $x = 2$ utilizando exclusivamente la disposición de la regla de Ruffini.
Factorizar con una raíz conocida
Si ya sabes (o descubres) una raíz $a$, la división sintética te da el cociente: un polinomio de un grado menos. Entonces $P(x) = (x-a)\cdot C(x)$. Si el cociente es de grado 2, lo terminas de factorizar con la fórmula general o buscando dos números que sumen y multipliquen lo que corresponde.
¿Cómo se encuentra una raíz si el enunciado no la da? Prueba con los divisores del término independiente (con signo $\pm$). Por ejemplo, si el término independiente es $6$, prueba $\pm1,\ \pm2,\ \pm3,\ \pm6$. Si el coeficiente principal no es $1$, prueba también fracciones como $\pm\tfrac12$, $\pm\tfrac32$ (divisor del término independiente entre divisor del coeficiente principal).
Factoriza el polinomio $P(x) = x^3 - 2x^2 - 5x + 6$ sabiendo de antemano que $x = 1$ es una de sus raíces.
Factoriza el polinomio $P(x) = x^3 - 2x^2 - 5x + 6$ sabiendo de antemano que $x = 1$ es una de sus raíces.
Determina, sin realizar la división completa y utilizando el teorema del residuo o la regla de Ruffini, si el binomio $x + 1$ es un factor del polinomio…
Determina, sin realizar la división completa y utilizando el teorema del residuo o la regla de Ruffini, si el binomio $x + 1$ es un factor del polinomio $P(x) = x^4 + x^3 - x^2 + x + 2$.
Factoriza completamente el polinomio $P(x) = 2x^3 + 3x^2 - 8x + 3$ hallando todas sus raíces.
Factoriza completamente el polinomio $P(x) = 2x^3 + 3x^2 - 8x + 3$ hallando todas sus raíces.
Repetir la división: raíces múltiples y patrones
A veces el cociente tiene la misma raíz otra vez. Entonces repites la división sintética sobre el cociente con el mismo $a$. Si el factor $(x-a)$ aparece $k$ veces, decimos que $a$ es una raíz de multiplicidad $k$. Si en algún momento el cociente es de grado 2 y no tiene raíces reales (discriminante negativo), ese factor queda sin descomponer: es irreducible sobre los reales.
Otro patrón útil: al dividir $x^n - a^n$ entre $x-a$ el residuo siempre es $0$ (porque $a^n-a^n=0$) y el cociente sale con coeficientes $1,\ a,\ a^2,\ \dots$. Pruébalo con $x^3-8$ entre $x-2$: la fila de abajo da $1,\ 2,\ 4,\ 0$, o sea que $x^3-8=(x-2)(x^2+2x+4)$.
Factoriza completamente el polinomio de quinto grado $P(x) = x^5 - 5x^4 + 7x^3 - 2x^2 + 4x - 8$ en polinomios irreducibles sobre los números reales.
Factoriza completamente el polinomio de quinto grado $P(x) = x^5 - 5x^4 + 7x^3 - 2x^2 + 4x - 8$ en polinomios irreducibles sobre los números reales.
Aplica la regla de Ruffini para dividir el polinomio $P(x) = x^5 - 32$ entre $x - 2$. A partir del patrón observado en los coeficientes del cociente, deduce y escribe la…
Aplica la regla de Ruffini para dividir el polinomio $P(x) = x^5 - 32$ entre $x - 2$. A partir del patrón observado en los coeficientes del cociente, deduce y escribe la expresión general del polinomio cociente al dividir $x^n - a^n$ entre $x - a$.
Volúmenes y áreas con polinomios
Muchas magnitudes geométricas son polinomios. Si el volumen es producto de tres medidas y conoces una, divides para encontrar el producto de las otras dos.
El volumen de una caja con forma de prisma rectangular recto viene dado por el polinomio $V(x) = x^3 + 5x^2 + 2x - 8$. Si se sabe que la altura de la caja es $x - 1$,…
El volumen de una caja con forma de prisma rectangular recto viene dado por el polinomio $V(x) = x^3 + 5x^2 + 2x - 8$. Si se sabe que la altura de la caja es $x - 1$, determina el polinomio que representa el área de la base $A(x)$.
El área de un panel solar de forma rectangular se describe mediante el polinomio $A(x) = 2x^3 + 7x^2 + 4x + 3$. Si se conoce que la medida del ancho del panel es…
El área de un panel solar de forma rectangular se describe mediante el polinomio $A(x) = 2x^3 + 7x^2 + 4x + 3$. Si se conoce que la medida del ancho del panel es $x + 3$, encuentra el polinomio que representa su longitud.
El volumen de un casquete esférico está dado por la fórmula $V = \frac{\pi h^2}{3}(3R - h)$, donde $R$ es el radio de la esfera y $h$ la altura del casquete. Si el radio…
El volumen de un casquete esférico está dado por la fórmula $V = \frac{\pi h^2}{3}(3R - h)$, donde $R$ es el radio de la esfera y $h$ la altura del casquete. Si el radio de una esfera es $R = 5\text{ cm}$ y se quiere obtener un casquete con un volumen de $V = \frac{52\pi}{3}\text{ cm}^3$, plantea la ecuación correspondiente y utiliza la regla de Ruffini para encontrar la altura $h$.
Raíces en modelos: cuándo vale cero
Cuando una cantidad modelizada por un polinomio se anula (beneficio nulo, posición en el origen, temperatura de $0\,^\circ\text{C}$), hay que resolver $P(x)=0$. Con división sintética el camino es: buscar una raíz entre los divisores del término independiente, dividir, y resolver el cociente. Después hay que revisar qué soluciones tienen sentido en el contexto (por ejemplo, un tiempo no puede ser negativo).
Los beneficios de una empresa, en miles de córdobas, se modelan durante sus primeros años de actividad mediante el polinomio $B(x) = -x^3 + 10x^2 - 31x + 30$, donde $x$…
Los beneficios de una empresa, en miles de córdobas, se modelan durante sus primeros años de actividad mediante el polinomio $B(x) = -x^3 + 10x^2 - 31x + 30$, donde $x$ representa el tiempo en años. Encuentra los años exactos en los que el beneficio de la empresa fue nulo (puntos de equilibrio).
La posición de una partícula en movimiento rectilíneo viene dada por la ecuación $s(t) = t^3 - 7t^2 + 14t - 8$, donde $t$ es el tiempo en segundos. Determina en qué…
La posición de una partícula en movimiento rectilíneo viene dada por la ecuación $s(t) = t^3 - 7t^2 + 14t - 8$, donde $t$ es el tiempo en segundos. Determina en qué instantes de tiempo la partícula pasa por el origen de coordenadas ($s(t) = 0$).
La temperatura de una reacción química en función del tiempo $t$ (en minutos) se modeliza mediante el polinomio $T(t) = -t^4 + 8t^3 - 17t^2 + 10t$. Determina en qué…
La temperatura de una reacción química en función del tiempo $t$ (en minutos) se modeliza mediante el polinomio $T(t) = -t^4 + 8t^3 - 17t^2 + 10t$. Determina en qué instantes de tiempo la temperatura de la reacción es exactamente de $0^\circ\text{C}$.
Signo de un polinomio
Una vez que factorizaste un polinomio, estudiar dónde es positivo o negativo es sencillo. Ubicas las raíces sobre la recta numérica y analizas el signo del producto de factores en cada intervalo. El signo solo cambia al pasar por una raíz de multiplicidad impar.
Resuelve la inecuación polinómica $x^4 - 5x^3 + 5x^2 + 5x - 6 \ge 0$. Para ello, factoriza primero el polinomio utilizando la regla de Ruffini y luego estudia el signo…
Resuelve la inecuación polinómica $x^4 - 5x^3 + 5x^2 + 5x - 6 \ge 0$. Para ello, factoriza primero el polinomio utilizando la regla de Ruffini y luego estudia el signo en los intervalos correspondientes de la recta real.
Parámetros desconocidos
Cuando un coeficiente es una letra, una condición de divisibilidad se transforma en una ecuación. Aplicas la división sintética con el valor $a$ dado, la letra viaja por la tabla, y el último número (el residuo) queda en función del parámetro. Después lo igualas a lo que pida el enunciado.
Si hay dos parámetros, cada condición da una ecuación y resuelves el sistema. Si pide divisibilidad entre $(x-a)^2$, aplicas la división sintética dos veces con el mismo $a$ y pides residuo $0$ en cada una.
Determina el valor de la constante $k$ para que el polinomio $P(x) = x^3 - kx^2 + 3x - 2$ sea divisible exactamente por $x - 1$.
Determina el valor de la constante $k$ para que el polinomio $P(x) = x^3 - kx^2 + 3x - 2$ sea divisible exactamente por $x - 1$.
Determina los valores de los parámetros $m$ y $n$ para que el polinomio $P(x) = x^4 - 3x^3 + mx + n$ sea divisible exactamente por $x - 2$ y, al mismo tiempo, dé un…
Determina los valores de los parámetros $m$ y $n$ para que el polinomio $P(x) = x^4 - 3x^3 + mx + n$ sea divisible exactamente por $x - 2$ y, al mismo tiempo, dé un resto de $4$ al dividirlo entre $x + 1$.
Encuentra los valores de $a$ y $b$ para que el polinomio $P(x) = x^4 + ax^3 + bx^2 - 12x + 4$ sea divisible por $(x - 2)^2$.
Encuentra los valores de $a$ y $b$ para que el polinomio $P(x) = x^4 + ax^3 + bx^2 - 12x + 4$ sea divisible por $(x - 2)^2$.
Armar un polinomio a partir de sus raíces
Si un polinomio de grado 3 con coeficiente principal $1$ se anula en $x=1$ y $x=2$, entonces tiene la forma $P(x)=(x-1)(x-2)(x-r)$, con $r$ desconocido. Otra condición, como el residuo al dividir entre $x-3$, que es $P(3)$, permite hallar $r$.
Encuentra la expresión de un polinomio de tercer grado $P(x)$ cuyo coeficiente principal sea $1$, sabiendo que se anula para $x = 1$ y $x = 2$, y que al dividirlo entre…
Encuentra la expresión de un polinomio de tercer grado $P(x)$ cuyo coeficiente principal sea $1$, sabiendo que se anula para $x = 1$ y $x = 2$, y que al dividirlo entre $x - 3$ se obtiene un resto de $10$.
Cuando el divisor no es $x-a$
La división sintética está pensada para $x-a$. Si el divisor es $x-\tfrac12$, no hay problema: $a=\tfrac12$ y trabajas con fracciones. Si es algo como $2x-3$, sacas factor común: $2x-3=2\left(x-\tfrac32\right)$. Aplicas la división sintética con $a=\tfrac32$, y el cociente de la tabla lo divides entre $2$. El residuo no cambia.
¿Por qué? De $P(x)=\left(x-\tfrac32\right)C(x)+R$ se obtiene $P(x)=(2x-3)\cdot\dfrac{C(x)}{2}+R$. El factor $2$ pasa al cociente y el residuo queda igual.
Divide el polinomio $P(x) = 2x^3 - 5x^2 + 3x - 1$ entre el binomio $x - \frac{1}{2}$ empleando la regla de Ruffini. Expresa el resultado final indicando cociente y…
Divide el polinomio $P(x) = 2x^3 - 5x^2 + 3x - 1$ entre el binomio $x - \frac{1}{2}$ empleando la regla de Ruffini. Expresa el resultado final indicando cociente y residuo.
Realiza la división del polinomio $P(x) = 4x^3 - 8x^2 + 7x - 3$ entre el binomio $2x - 3$ utilizando la regla de Ruffini. Ten en cuenta que debes adaptar el divisor para…
Realiza la división del polinomio $P(x) = 4x^3 - 8x^2 + 7x - 3$ entre el binomio $2x - 3$ utilizando la regla de Ruffini. Ten en cuenta que debes adaptar el divisor para poder aplicar el algoritmo y, posteriormente, ajustar el cociente y el residuo obtenidos.
Vuelve al principio: como la altura es $x-1$, divides $V(x)$ con división sintética con $a=1$. El residuo es $0$ y el cociente $x^2+6x+8$ es el área de la base de la caja de Valeria.