Problemas de sistemas de ecuaciones
Katherine y Josué van a una feria en Masaya. Katherine paga $\text{C}\$280$ por 3 nacatamales y 2 frescos. Josué paga $\text{C}\$220$ por 2 nacatamales y 3 frescos. Nadie vio los precios, ¿cuánto cuesta un nacatamal y cuánto un fresco? Resolver un sistema ya lo sabes hacer. Lo difícil es traducir el enunciado a ecuaciones, y de eso trata esta página.
Plantear: tantas ecuaciones como incógnitas
La parte difícil es el paso 2. Estas traducciones aparecen una y otra vez:
| En el enunciado | En álgebra |
|---|---|
| La suma de dos números es 54 | $x + y = 54$ |
| Su diferencia es 12 | $x - y = 12$ |
| $x$ es el triple de $y$ | $x = 3y$ |
| $x$ mide 15 más que $y$ | $x = y + 15$ |
| Dentro de 10 años (edades) | $x + 10$ y $y + 10$ |
| Sube 5 % | $1.05x$ |
| Baja 10 % | $0.90y$ |
| Número de tres cifras $c\,d\,u$ | $100c + 10d + u$ |
| Una fracción $\tfrac{1}{20}$ del peso $x$ | $\dfrac{x}{20}$ |
La suma de dos números enteros es $54$ y su diferencia es $12$. Plantea un sistema de ecuaciones y calcula el valor de ambos números.
La suma de dos números enteros es $54$ y su diferencia es $12$. Plantea un sistema de ecuaciones y calcula el valor de ambos números.
Un hotel de costa dispone de habitaciones dobles y sencillas. En total hay $50$ habitaciones y $87$ camas. Suponiendo que todas las habitaciones están completas,…
Un hotel de costa dispone de habitaciones dobles y sencillas. En total hay $50$ habitaciones y $87$ camas. Suponiendo que todas las habitaciones están completas, ¿cuántas habitaciones de cada tipo tiene el hotel?
Precios y mezclas
Vuelve a la feria. Cada compra es una ecuación: $n$ es el precio de un nacatamal y $f$ el de un fresco.
Cada recta de la gráfica es una compra. El punto donde se cruzan es el único par de precios que cumple las dos. Mueve la mirada hasta $(80, 20)$.
En una mezcla hay siempre dos ecuaciones: una de cantidad (cuánto suman los kilos o litros) y otra de valor (precio, o cantidad de sustancia, por cantidad).
Vuelve al principio: el nacatamal cuesta $\text{C}\$80$ y el fresco $\text{C}\$20$.
En una ferretería, un cliente compra $4$ tornillos y $3$ tuercas por un total de $73.50$ córdobas. Otro cliente compra $2$ tornillos y $5$ tuercas por $61.25$ córdobas.…
En una ferretería, un cliente compra $4$ tornillos y $3$ tuercas por un total de $73.50$ córdobas. Otro cliente compra $2$ tornillos y $5$ tuercas por $61.25$ córdobas. Plantea un sistema de ecuaciones lineales y calcula el precio de cada artículo.
En una bodega se mezclan dos tipos de vino, uno de $140$ córdobas/litro y otro de $192.50$ córdobas/litro, para obtener un tonel de $300$ litros de mezcla que se venderá…
En una bodega se mezclan dos tipos de vino, uno de $140$ córdobas/litro y otro de $192.50$ córdobas/litro, para obtener un tonel de $300$ litros de mezcla que se venderá a $161$ córdobas/litro. ¿Cuántos litros de cada tipo de vino se han utilizado para hacer la mezcla?
Una familia destina una parte de sus ingresos mensuales a pagar la hipoteca y otra parte a alimentación. El mes pasado, la suma de estos dos gastos fue de $42\,000$…
Una familia destina una parte de sus ingresos mensuales a pagar la hipoteca y otra parte a alimentación. El mes pasado, la suma de estos dos gastos fue de $42\,000$ córdobas. Este mes, la cuota de la hipoteca ha subido un $5\%$ y el gasto en alimentación ha bajado un $10\%$, siendo el gasto total en estos dos conceptos de $40\,950$ córdobas. Plantea un sistema de ecuaciones para calcular cuánto gastaron en cada concepto el mes pasado.
Conteos, edades y puntajes
Muchos problemas tienen un «doble conteo»: cuentas lo mismo de dos maneras (cabezas y patas, boletos y dinero, aciertos y puntos).
En las edades, la diferencia entre dos personas nunca cambia, pero la razón entre ellas sí. Usa $x + n$ para «dentro de $n$ años» y $x - n$ para «hace $n$ años».
En una granja escuela hay gallinas y vacas. Si se cuentan las cabezas de los animales, hay un total de $45$; si se cuentan las patas, hay $140$. ¿Cuántos animales de…
En una granja escuela hay gallinas y vacas. Si se cuentan las cabezas de los animales, hay un total de $45$; si se cuentan las patas, hay $140$. ¿Cuántos animales de cada clase hay en la granja?
La edad actual de un padre es el triple que la de su hijo. Dentro de $10$ años, la edad del padre será exactamente el doble que la del hijo. Determina las edades que…
La edad actual de un padre es el triple que la de su hijo. Dentro de $10$ años, la edad del padre será exactamente el doble que la del hijo. Determina las edades que tienen actualmente ambos.
Un examen de matemáticas consta de $30$ preguntas. Por cada respuesta correcta se suman $5$ puntos y por cada respuesta incorrecta o en blanco se restan $2$ puntos. Un…
Un examen de matemáticas consta de $30$ preguntas. Por cada respuesta correcta se suman $5$ puntos y por cada respuesta incorrecta o en blanco se restan $2$ puntos. Un alumno ha obtenido $94$ puntos en total. ¿Cuántas preguntas ha respondido correctamente?
Geometría: perímetro, área y diagonal
El perímetro da una ecuación lineal. Pero el área ($xy$) y la diagonal ($x^2 + y^2 = d^2$, por Pitágoras) dan ecuaciones no lineales. Se resuelven con sustitución: despeja una incógnita en la ecuación lineal y reemplázala.
El perímetro de una parcela rectangular mide $130$ metros. Se sabe que el largo de la parcela mide $15$ metros más que el ancho. Plantea un sistema de ecuaciones y…
El perímetro de una parcela rectangular mide $130$ metros. Se sabe que el largo de la parcela mide $15$ metros más que el ancho. Plantea un sistema de ecuaciones y determina las dimensiones de la parcela.
Las dimensiones de un campo de juego rectangular son tales que su área es de $6000$ m² y la longitud de su diagonal es $130$ m. Plantea un sistema de ecuaciones no…
Las dimensiones de un campo de juego rectangular son tales que su área es de $6000$ m² y la longitud de su diagonal es $130$ m. Plantea un sistema de ecuaciones no lineal para calcular el largo y el ancho del campo.
Un agricultor quiere vallar un campo de forma rectangular que linda con un río recto, por lo que no necesita poner valla en el lado del río. Dispone de exactamente $400$…
Un agricultor quiere vallar un campo de forma rectangular que linda con un río recto, por lo que no necesita poner valla en el lado del río. Dispone de exactamente $400$ metros de valla. Sabiendo que el área cercada debe ser de $20000$ m², plantea un sistema de ecuaciones para encontrar las dimensiones del campo y discute justificadamente si existe una única solución para el problema.
Geometría: cajas y triángulos rectángulos
Caja sin tapa. Al cortar cuadrados de lado $c$ en las esquinas de una lámina de $L \times A$, la caja mide $(L - 2c)$ de largo, $(A - 2c)$ de ancho y $c$ de alto.
Triángulo rectángulo con tres incógnitas $a, b, c$ (catetos e hipotenusa): suele darse el perímetro, el área o una altura, y siempre Pitágoras.
Se quiere construir una caja sin tapa a partir de una lámina rectangular de cartón, cortando cuadrados de $5$ cm de lado en cada esquina y doblando los bordes hacia…
Se quiere construir una caja sin tapa a partir de una lámina rectangular de cartón, cortando cuadrados de $5$ cm de lado en cada esquina y doblando los bordes hacia arriba. El largo de la lámina original es el doble que el ancho. Si el volumen de la caja resultante debe ser de $1500$ cm³, plantea la ecuación o sistema necesario y determina las dimensiones de la lámina de cartón original.
Determina las medidas de los lados de un triángulo rectángulo sabiendo que su perímetro es de $60$ cm y que la altura trazada sobre la hipotenusa mide $12$ cm. Plantea…
Determina las medidas de los lados de un triángulo rectángulo sabiendo que su perímetro es de $60$ cm y que la altura trazada sobre la hipotenusa mide $12$ cm. Plantea un sistema de ecuaciones no lineal de tres incógnitas (catetos e hipotenusa) para resolverlo.
Movimiento: $d = vt$
En movimientos uniformes toda la información cabe en $d = vt$. Escribe esa relación para cada vehículo o persona que se mueve, y busca qué comparten: la distancia, el tiempo o la suma de distancias.
Con ida y vuelta (misma distancia, distinta velocidad) lo que se repite es la distancia: $d = v_1 t_1 = v_2 t_2$. Con trabajo en equipo (llaves, obreros) se suman rendimientos: si una llave llena un depósito en $x$ horas, en una hora llena $\tfrac{1}{x}$ del depósito.
Un ciclista realiza un trayecto de ida y vuelta entre dos pueblos separados por una distancia $d$. A la ida, con el viento a favor, circula a una velocidad constante de…
Un ciclista realiza un trayecto de ida y vuelta entre dos pueblos separados por una distancia $d$. A la ida, con el viento a favor, circula a una velocidad constante de $30$ km/h. A la vuelta, con el viento en contra, circula a $20$ km/h. Si el tiempo total empleado en el trayecto completo de ida y vuelta es de $2.5$ horas, plantea un sistema de ecuaciones y halla la distancia entre los dos pueblos y el tiempo empleado en cada trayecto.
Dos llaves llenan un tanque en $6$ horas si se abren al mismo tiempo. Si la primera llave tarda $5$ horas menos que la segunda en llenar el tanque por separado, plantea…
Dos llaves llenan un tanque en $6$ horas si se abren al mismo tiempo. Si la primera llave tarda $5$ horas menos que la segunda en llenar el tanque por separado, plantea un sistema de ecuaciones (que incluirá fracciones algebraicas) para determinar cuánto tardaría cada llave en llenarlo de forma individual.
Dos trenes parten simultáneamente de dos estaciones A y B separadas por $450$ km, circulando por vías paralelas y en sentidos opuestos. Se cruzan al cabo de $3$ horas.…
Dos trenes parten simultáneamente de dos estaciones A y B separadas por $450$ km, circulando por vías paralelas y en sentidos opuestos. Se cruzan al cabo de $3$ horas. Si el tren que sale de A hubiera salido $1$ hora antes que el tren de B, se habrían cruzado a $306$ km de la estación A. Plantea un sistema de ecuaciones para calcular las velocidades constantes de ambos trenes.
Tres incógnitas
Cuando el enunciado trae tres cantidades, hacen falta tres ecuaciones. La idea es la misma que en la reducción: eliminar una incógnita de dos pares de ecuaciones para quedarte con un sistema $2 \times 2$.
Una empresa reparte sus beneficios anuales entre sus tres socios A, B y C. El socio A recibe el doble que el socio B, y el socio C recibe $140\,000$ córdobas más que el…
Una empresa reparte sus beneficios anuales entre sus tres socios A, B y C. El socio A recibe el doble que el socio B, y el socio C recibe $140\,000$ córdobas más que el socio B. Si el beneficio total a repartir es de $1\,820\,000$ córdobas, plantea un sistema de tres ecuaciones lineales y calcula la cantidad que recibe cada socio.
En una tienda de deportes se venden balones de fútbol, baloncesto y voleibol. El precio de un balón de fútbol es de $875$ córdobas, el de baloncesto $1\,050$ córdobas y…
En una tienda de deportes se venden balones de fútbol, baloncesto y voleibol. El precio de un balón de fútbol es de $875$ córdobas, el de baloncesto $1\,050$ córdobas y el de voleibol $700$ córdobas. Un club compró $40$ balones por un total de $36\,050$ córdobas. Sabiendo que el número de balones de fútbol comprados es igual a la suma de los de baloncesto y voleibol, plantea un sistema de tres ecuaciones y determina cuántos balones de cada deporte se adquirieron.
En un laboratorio de química se dispone de tres disoluciones de un mismo ácido con concentraciones del $10\%$, $20\%$ y $40\%$. Se quieren obtener $100$ ml de una nueva…
En un laboratorio de química se dispone de tres disoluciones de un mismo ácido con concentraciones del $10\%$, $20\%$ y $40\%$. Se quieren obtener $100$ ml de una nueva disolución al $25\%$. Si se utiliza la misma cantidad de volumen de la disolución al $10\%$ que de la del $20\%$, ¿qué volumen de cada disolución se debe mezclar?
Tres incógnitas con cifras, porcentajes y fracciones
Para estos problemas, la tabla de traducciones del inicio es tu mejor herramienta. Tres casos típicos:
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Cifras. El número es $100c + 10d + u$. Al invertirlo es $100u + 10d + c$. «La cifra de en medio es la media de las otras dos» significa $d = \tfrac{c + u}{2}$.
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Cambios porcentuales de producción. «Aumenta 20 %» es $1.2x$, y «se reduce 10 %» es $0.9z$. La nueva producción total es la suma de las nuevas cantidades.
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Fracciones de un peso. «Pierde $\tfrac{1}{20}$ de su peso» es $\tfrac{x}{20}$. El total perdido suma lo que pierde cada ingrediente.
Densidad y pérdida de peso en el agua
Algunos problemas de aleaciones vienen de la física. La densidad es la masa entre el volumen: $\rho = \dfrac{m}{V}$. Cuando sumerges un objeto en agua, el agua lo empuja hacia arriba con una fuerza igual al peso del agua que desaloja (empuje). Por eso el objeto «pesa menos» dentro del agua: su peso aparente baja justo lo que pesa ese volumen de agua.
Como el agua pesa $1$ g por cada cm³, un objeto de volumen $V$ cm³ pierde $V$ gramos. Y como $V = \dfrac{m}{\rho}$, un metal más denso pierde una fracción más pequeña de su peso. Así, «el cobre pierde $\tfrac{1}{8}$ de su peso en el agua» quiere decir que $m$ gramos de cobre pierden $\tfrac{m}{8}$ gramos. La pérdida total de una aleación es la suma de las pérdidas de cada metal.
Con tres metales haces lo mismo: una ecuación para el peso total, otra para la pérdida en el agua y otra con la relación que dé el enunciado entre los pesos.
La suma de las tres cifras de un número es $12$. La cifra de las decenas es la media aritmética de las otras dos. Si se invierte el orden de las cifras, el número…
La suma de las tres cifras de un número es $12$. La cifra de las decenas es la media aritmética de las otras dos. Si se invierte el orden de las cifras, el número resultante es $198$ unidades mayor que el original. Plantea un sistema de ecuaciones y averigua de qué número se trata.
Una empresa fabrica tres modelos de computadoras: básico, medio y avanzado. La producción diaria total es de $400$ unidades. El costo de fabricación es de $10\,500$…
Una empresa fabrica tres modelos de computadoras: básico, medio y avanzado. La producción diaria total es de $400$ unidades. El costo de fabricación es de $10\,500$ córdobas para el básico, $17\,500$ córdobas para el medio y $28\,000$ córdobas para el avanzado, con un costo total diario de $6\,825\,000$ córdobas. Si la empresa decide aumentar la producción del modelo básico en un $20\%$ y reducir la del modelo avanzado en un $10\%$, la producción total aumentaría en $15$ unidades. Plantea un sistema de ecuaciones de tres incógnitas y determina la producción inicial de cada modelo.
Una aleación está compuesta por oro, plata y cobre. El peso total de una pieza de esta aleación es de $120$ gramos. Se sabe que el peso del oro y la plata juntos supera…
Una aleación está compuesta por oro, plata y cobre. El peso total de una pieza de esta aleación es de $120$ gramos. Se sabe que el peso del oro y la plata juntos supera en $40$ gramos al peso del cobre. Al sumergir la pieza en agua, esta pierde $10$ gramos de su peso aparente por el empuje hidrostático. Si se sabe que la pérdida de peso en el agua para el oro puro es de $1/20$ de su peso, para la plata de $1/10$ y para el cobre de $1/8$, plantea un sistema de ecuaciones y calcula cuántos gramos de cada metal contiene la pieza.
Problemas con un parámetro
A veces un dato es una letra $k$. Entonces no se pide una solución, sino para qué valores de $k$ hay una, ninguna o infinitas. La idea es eliminar incógnitas y ver qué ecuación final queda.
Mueve $k$ en la gráfica: para $k = 2$ las dos rectas son paralelas y no se cortan.
En un sistema $3 \times 3$ el procedimiento es igual: elimina $x$ y obtén dos ecuaciones en $y$ y $z$. Elimina $y$ y llegarás a algo como $(k - a)z = b$. Si $k \neq a$ hay una sola solución. Si $k = a$ y $b \neq 0$ es incompatible. Si $k = a$ y $b = 0$ hay infinitas soluciones.
Un sistema de ecuaciones lineales dependiente de un parámetro $k$ modeliza la distribución de vehículos en tres rutas alternativas $x$, $y$, $z$:…
Un sistema de ecuaciones lineales dependiente de un parámetro $k$ modeliza la distribución de vehículos en tres rutas alternativas $x$, $y$, $z$:
$ \begin{cases} x + y + z = 100 \\ 2x + 3y + kz = 250 \\ x + 2y + 3z = 160 \end{cases} $
Determina para qué valores del parámetro $k$ el modelo tiene una solución única, infinitas soluciones o ninguna solución, e interpreta qué significa físicamente que el sistema resulte incompatible.