Funciones trigonométricas del ángulo doble
Un lanzador de softbol suelta la bola y su alcance depende de $\operatorname{sen}(2\theta)$, no solo de $\theta$. Un techo de zinc de una bodega tiene el doble de inclinación que el de la casa vecina. En todos estos casos aparece el ángulo doble, y conviene tener sus funciones trigonométricas ya "empaquetadas" en una fórmula. Al final veremos si duplicar el ángulo duplica la pendiente.
De dónde salen las fórmulas
Conoces las funciones trigonométricas de un ángulo cualquiera y la identidad $\operatorname{sen}^2\theta+\cos^2\theta=1$. El ángulo doble $2\alpha$ se puede ver como la suma $\alpha+\alpha$, y de ahí salen las fórmulas.
El coseno del ángulo doble tiene tres formas equivalentes: usa la que mejor combine con tus datos (solo $\cos\alpha$, solo $\operatorname{sen}\alpha$, o ambos).
Simplifica la siguiente expresión trigonométrica a un único valor numérico exacto: $4\sin(15^\circ)\cos(15^\circ)$
Simplifica la siguiente expresión trigonométrica a un único valor numérico exacto:
$4\sin(15^\circ)\cos(15^\circ)$
Sabiendo que $\cos(x) = 0.6$, determina el valor de $\cos(2x)$ utilizando exclusivamente la identidad que relaciona el coseno del ángulo doble con el coseno del ángulo…
Sabiendo que $\cos(x) = 0.6$, determina el valor de $\cos(2x)$ utilizando exclusivamente la identidad que relaciona el coseno del ángulo doble con el coseno del ángulo simple.
Con una sola función conocida
Si solo conoces $\operatorname{sen}\alpha$ o $\cos\alpha$ y el cuadrante, halla la otra con $\operatorname{sen}^2\alpha+\cos^2\alpha=1$ y luego aplica la fórmula del ángulo doble.
Sabiendo que $\sin(\alpha) = \frac{4}{5}$ y que $\alpha$ es un ángulo del primer cuadrante, calcula el valor exacto de $\sin(2\alpha)$.
Sabiendo que $\sin(\alpha) = \frac{4}{5}$ y que $\alpha$ es un ángulo del primer cuadrante, calcula el valor exacto de $\sin(2\alpha)$.
Dado que $\cos(\alpha) = -\frac{1}{3}$ y que $\alpha$ pertenece al segundo cuadrante, determina el valor exacto de $\cos(2\alpha)$.
Dado que $\cos(\alpha) = -\frac{1}{3}$ y que $\alpha$ pertenece al segundo cuadrante, determina el valor exacto de $\cos(2\alpha)$.
Si $\tan(\alpha) = \frac{3}{2}$, calcula el valor de $\tan(2\alpha)$ expresando el resultado como una fracción irreducible.
Si $\tan(\alpha) = \frac{3}{2}$, calcula el valor de $\tan(2\alpha)$ expresando el resultado como una fracción irreducible.
Simplificar expresiones
Muchas expresiones con productos de seno y coseno, o con diferencias de cuadrados, son una fórmula del ángulo doble disfrazada. Reconocer el patrón ahorra la calculadora.
Calcula el valor exacto de la siguiente expresión sin utilizar la calculadora: $\cos^2\left(\frac{\pi}{8}\right) - \sin^2\left(\frac{\pi}{8}\right)$
Calcula el valor exacto de la siguiente expresión sin utilizar la calculadora:
$\cos^2\left(\frac{\pi}{8}\right) - \sin^2\left(\frac{\pi}{8}\right)$
Escribe la siguiente expresión en función de una única razón trigonométrica del ángulo $x$, simplificando al máximo: $\frac{\sin(2x)}{2\sin(x)}$
Escribe la siguiente expresión en función de una única razón trigonométrica del ángulo $x$, simplificando al máximo:
$\frac{\sin(2x)}{2\sin(x)}$
Halla el valor exacto de la siguiente operación utilizando las identidades del ángulo doble: $\frac{2\tan(22.5^\circ)}{1 - \tan^2(22.5^\circ)}$
Halla el valor exacto de la siguiente operación utilizando las identidades del ángulo doble:
$\frac{2\tan(22.5^\circ)}{1 - \tan^2(22.5^\circ)}$
Demostrar identidades
Para demostrar una identidad, transforma un miembro (el más complicado) hasta obtener el otro. Las fórmulas del ángulo doble sirven para pasar todo al ángulo simple $x$.
Un mecanismo de tijera para un elevador hidráulico tiene un pivote central que forma un ángulo de apertura $2\alpha$. La fuerza de cizalladura en el pasador central…
Un mecanismo de tijera para un elevador hidráulico tiene un pivote central que forma un ángulo de apertura $2\alpha$. La fuerza de cizalladura en el pasador central viene dada por una expresión proporcional a $F(\alpha) = \frac{1 - \cos(2\alpha)}{\sin(2\alpha)}$. Demuestra que esta expresión se puede simplificar a una única razón trigonométrica del ángulo $\alpha$.
Demuestra la siguiente identidad trigonométrica, transformando el primer miembro hasta obtener el segundo: $\frac{\sin(2x)}{1 + \cos(2x)} = \tan(x)$
Demuestra la siguiente identidad trigonométrica, transformando el primer miembro hasta obtener el segundo:
$\frac{\sin(2x)}{1 + \cos(2x)} = \tan(x)$
Demuestra la siguiente identidad trigonométrica, válida para cualquier ángulo $x$ donde las expresiones estén definidas:…
Demuestra la siguiente identidad trigonométrica, válida para cualquier ángulo $x$ donde las expresiones estén definidas:
$\frac{1 + \sin(2x) - \cos(2x)}{1 + \sin(2x) + \cos(2x)} = \tan(x)$
Ecuaciones con el ángulo doble
Cuando una ecuación mezcla $\operatorname{sen}(2x)$ o $\cos(2x)$ con funciones de $x$, el primer paso es sustituir la fórmula del ángulo doble para dejar todo en función del mismo ángulo. Luego se factoriza o se resuelve como una ecuación de segundo grado.
Resuelve la siguiente ecuación trigonométrica, encontrando todas las soluciones en el intervalo $[0, 2\pi)$: $\sin(2x) + \sqrt{3}\cos(x) = 0$
Resuelve la siguiente ecuación trigonométrica, encontrando todas las soluciones en el intervalo $[0, 2\pi)$:
$\sin(2x) + \sqrt{3}\cos(x) = 0$
Resuelve la siguiente ecuación trigonométrica y da las soluciones en grados para el intervalo $[0^\circ, 360^\circ)$: $\cos(2x) - 3\sin(x) = 2$
Resuelve la siguiente ecuación trigonométrica y da las soluciones en grados para el intervalo $[0^\circ, 360^\circ)$:
$\cos(2x) - 3\sin(x) = 2$
Resuelve la siguiente ecuación trigonométrica, determinando todas las soluciones en el intervalo $[0, 2\pi)$: $\tan(2x) \times \tan(x) = 1$
Resuelve la siguiente ecuación trigonométrica, determinando todas las soluciones en el intervalo $[0, 2\pi)$:
$\tan(2x) \times \tan(x) = 1$
Aplicaciones
El ángulo doble aparece en el alcance de un proyectil, en techos que duplican una inclinación de referencia y en mecanismos articulados.
En la construcción de una nave industrial, se han diseñado dos cubiertas contiguas. La primera cubierta tiene una inclinación $\alpha$ respecto a la horizontal tal que…
En la construcción de una nave industrial, se han diseñado dos cubiertas contiguas. La primera cubierta tiene una inclinación $\alpha$ respecto a la horizontal tal que $\tan(\alpha) = 0.4$. Por motivos de drenaje de agua, la segunda cubierta se ha diseñado con un ángulo de inclinación que es exactamente el doble que el de la primera, es decir, $2\alpha$. Calcula la pendiente exacta (tangente) de la segunda cubierta.
En física, el alcance máximo $R$ de un proyectil lanzado sobre un terreno horizontal se modela mediante la fórmula $R = \frac{v_0^2 \sin(2\theta)}{g}$, donde $v_0$ es la…
En física, el alcance máximo $R$ de un proyectil lanzado sobre un terreno horizontal se modela mediante la fórmula $R = \frac{v_0^2 \sin(2\theta)}{g}$, donde $v_0$ es la velocidad inicial, $\theta$ es el ángulo de lanzamiento y $g \approx 10 \text{ m/s}^2$ es la aceleración de la gravedad. Si un cañón de pruebas dispara un proyectil con una velocidad inicial de $30 \text{ m/s}$ y se desea alcanzar un objetivo situado a $45 \text{ m}$ de distancia, halla los posibles ángulos de lanzamiento $\theta$ en grados.
Un rayo de luz incide sobre un sistema de espejos de manera que su ángulo de desviación final es $2\theta$. Si las mediciones del laboratorio indican que…
Un rayo de luz incide sobre un sistema de espejos de manera que su ángulo de desviación final es $2\theta$. Si las mediciones del laboratorio indican que $\cos(2\theta) = 0.28$ y sabemos que el ángulo de incidencia $\theta$ es agudo, determina el valor exacto de $\sin(\theta)$ y $\cos(\theta)$.