L'energia nel moto oscillatorio

Una massa oscilla orizzontalmente attaccata a una molla, senza attrito, tra le posizioni $x = -A$ e $x = +A$. La figura mostra l'oscillatore con queste posizioni indicate.

1. a) In quale posizione o posizioni l'energia potenziale elastica è massima?
2. b) In quale posizione l'energia cinetica è massima?
3. c) In quali posizioni l'energia cinetica è nulla? Giustifica le tue risposte con le formule $E_p = \frac{1}{2} \cdot k \cdot x^2$ e $E_c = \frac{1}{2} \cdot m \cdot v^2$.

Le pulegge e l'arco di un arco da tiro sportivo si comportano nel complesso come una molla di costante equivalente $k = 300\ \text{N/m}$. Quando lo si tende, la corda si sposta di $x = 0,1\ \text{m}$. Calcola l'energia potenziale elastica immagazzinata, $E_p = \frac{1}{2} \cdot k \cdot x^2$.

Un carrello di $m = 0,5\ \text{kg}$ attaccato a una molla passa per la posizione di equilibrio con una velocità di $2\ \text{m/s}$.

1. a) Calcola la sua energia cinetica in quel punto.
2. b) Quanto vale in quel punto la sua energia potenziale elastica? E la sua energia meccanica? Giustificalo.

Il martelletto di un campanello elettrico oscilla con ampiezza $A = 5\ \text{cm}$ spinto da una molla di costante $k = 800\ \text{N/m}$; la sua massa è $m = 0,1\ \text{kg}$.

1. a) Esprimi l'ampiezza in metri e calcola l'energia meccanica dell'oscillatore.
2. b) Calcola l'energia cinetica massima del martelletto.
3. c) Calcola la velocità massima del martelletto.

La membrana di un altoparlante può essere modellata come un oscillatore massa-molla di massa $m = 0,4\ \text{kg}$ e costante elastica efficace $k = 250\ \text{N/m}$, che vibra con ampiezza $A = 0,08\ \text{m}$.

1. a) Calcola l'energia meccanica della vibrazione.
2. b) Tutta quell'energia è cinetica al passaggio per l'equilibrio: calcola la velocità massima della membrana.
3. c) Verifica che coincide con il valore dato dall'espressione $v_{max} = A \cdot \sqrt{\frac{k}{m}}$.

Un oscillatore massa-molla ha un'energia meccanica costante $E_m$.

1. a) Descrivi come varia l'energia potenziale elastica $E_p = \frac{1}{2} \cdot k \cdot x^2$ con la posizione: che forma ha il suo grafico rispetto a $x$ tra $-A$ e $+A$?
2. b) L'energia cinetica in ogni punto è $E_c = E_m - E_p$. Descrivi come varia $E_c$ con la posizione.
3. c) Che cosa rappresenta il punto in cui si incrociano i grafici di $E_c$ e $E_p$? Disegna sul quaderno i tre grafici ($E_p$, $E_c$ e $E_m$) in funzione della posizione.

Puoi farlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

Un carrello di $m = 0,5\ \text{kg}$ oscilla su un tavolo senza attrito attaccato a una molla di $k = 400\ \text{N/m}$, con ampiezza $A = 0,1\ \text{m}$. La figura mostra come si ripartisce l'energia dell'oscillatore in funzione della posizione.

1. a) Calcola l'energia meccanica dell'oscillatore, $E_m = \frac{1}{2} \cdot k \cdot A^2$.
2. b) Calcola l'energia potenziale elastica quando l'elongazione è $x = 0,06\ \text{m}$.
3. c) Calcola l'energia cinetica in quello stesso punto e, a partire da essa, la velocità del carrello.

Un oscillatore massa-molla ha $k = 100\ \text{N/m}$ e oscilla con ampiezza $A = 0,1\ \text{m}$.

1. a) Calcola l'energia meccanica e l'energia potenziale elastica nei punti $x = 0$, $x = 0,05\ \text{m}$ e $x = 0,1\ \text{m}$.
2. b) Calcola l'energia cinetica in quegli stessi tre punti.
3. c) Con questi valori, disegna sul quaderno i grafici di $E_p(x)$, $E_c(x)$ e $E_m(x)$ tra $-A$ e $+A$ e descrivili: forma di ciascuna curva, punti di intersezione con gli assi e punto di incrocio tra $E_p$ e $E_c$.
4. d) Calcola la posizione esatta in cui i grafici di $E_p$ e $E_c$ si incrociano.

Puoi farlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

La sfera d'acciaio di una macchina da demolizione pende da un cavo di $l = 2\ \text{m}$ e viene lasciata dalla quiete quando il cavo forma un angolo di $60^\circ$ con la verticale (prendi $g = 9,8\ \text{m/s}^2$). L'altezza di cui scende rispetto al punto più basso è $h = l \cdot (1 - \cos 60^\circ)$. La situazione è mostrata in figura.

1. a) Calcola questa altezza $h$.
2. b) Applica la conservazione dell'energia, $m \cdot g \cdot h = \frac{1}{2} \cdot m \cdot v^2$, e calcola la velocità della sfera al passaggio per il punto più basso.
3. c) Questa velocità dipende dalla massa della sfera? Giustificalo.

Il cestello di una lavatrice, durante la centrifuga, vibra con un'energia meccanica di $1,44\ \text{J}$. Gli ammortizzatori che lo sostengono si comportano come una molla di costante efficace $k = 200\ \text{N/m}$.

1. a) Ricava l'ampiezza dalla formula $E_m = \frac{1}{2} \cdot k \cdot A^2$.
2. b) Calcola l'ampiezza della vibrazione, in metri, ed esprimila anche in centimetri.

Un oscillatore reale con attrito perde il $10\ \%$ della sua energia meccanica a ogni ciclo. Parte con un'energia iniziale $E_0 = 2\ \text{J}$. La figura mostra come decresce l'ampiezza dell'oscillazione nel tempo.

1. a) Calcola l'energia meccanica che gli resta dopo $5$ cicli.
2. b) Tenendo conto che $E_m = \frac{1}{2} \cdot k \cdot A^2$, cioè che l'energia è proporzionale al quadrato dell'ampiezza, calcola di quale fattore si è ridotta l'ampiezza dopo questi $5$ cicli.
3. c) In che cosa si è trasformata l'energia persa? Spiega perché il periodo dell'oscillazione, tuttavia, cambia appena anche se l'ampiezza diminuisce (suggerimento: da quali grandezze dipende $T$?).

Un giocattolo lancia verticalmente una sfera di $m = 0,05\ \text{kg}$ mediante una molla di costante $k = 500\ \text{N/m}$ che viene compressa di $x = 0,1\ \text{m}$ prima di essere rilasciata (prendi $g = 9,8\ \text{m/s}^2$). Il lancio è mostrato in figura.

1. a) Calcola l'energia potenziale elastica immagazzinata nella molla compressa.
2. b) Supponendo che tutta quell'energia si converta in energia cinetica della sfera, calcola la sua velocità di uscita.
3. c) Calcola l'altezza massima che raggiungerà la sfera, applicando di nuovo la conservazione dell'energia.
4. d) Il giocattolo reale raggiunge un'altezza minore di quella calcolata. Cita almeno due cause energetiche che lo spiegano.