Il moto armonico semplice

Un'altalena oscilla liberamente dopo una spinta. Con un cronometro, compie $15$ oscillazioni complete in $30\ \text{s}$. La figura mostra l'altalena in tre posizioni della sua oscillazione.

1. a) Definisci, applicandoli all'altalena, i concetti di elongazione, ampiezza, periodo e frequenza.
2. b) Calcola il periodo $T$ e la frequenza $f$ dell'oscillazione.

Un elettrocardiogramma registra un ritmo cardiaco di $75$ battiti al minuto, perfettamente regolare. La figura rappresenta il segnale registrato.

1. a) Calcola la frequenza del battito, in $\text{Hz}$.
2. b) Calcola il suo periodo, in secondi: quanto tempo passa tra due battiti consecutivi?

La tensione della rete elettrica italiana oscilla con una frequenza di $50\ \text{Hz}$. Calcola la sua pulsazione $\omega = 2 \cdot \pi \cdot f$, in $\text{rad/s}$.

Un gruppo di studenti misura la gravità con un pendolo. La lunghezza misurata è $l = 1,20\ \text{m}$ e cronometrano $20$ oscillazioni complete in $44,0\ \text{s}$.

1. a) Calcola il periodo del pendolo.
2. b) Ricava $g$ dalla formula $T = 2 \cdot \pi \cdot \sqrt{\frac{l}{g}}$ e calcola il suo valore sperimentale.
3. c) Confrontalo con il valore accettato $g = 9,81\ \text{m/s}^2$ e spiega perché si cronometrano $20$ oscillazioni e non una sola per ottenere il periodo.

L'elongazione di una massa che oscilla su una molla orizzontale è data, in unità del Sistema Internazionale, da $x = 0,1 \cdot \sen(20 \cdot \pi \cdot t)$.

1. a) Quanto valgono l'ampiezza $A$ e la pulsazione $\omega$?
2. b) Calcola il periodo $T$ e la frequenza $f$ del moto, ricordando che $T = \frac{2 \cdot \pi}{\omega}$ e $f = \frac{1}{T}$.

Un oscillatore descrive un moto armonico semplice di equazione $x = 0,08 \cdot \sen(\pi \cdot t)$, in unità del Sistema Internazionale.

1. a) Calcola l'elongazione all'istante $t = 0,5\ \text{s}$.
2. b) Qual è il valore massimo che può assumere l'elongazione? In quali istanti viene raggiunto?

Due oscillatori identici vibrano secondo le equazioni, in unità del Sistema Internazionale, $x_1 = 0,05 \cdot \sen(3 \cdot \pi \cdot t)$ e $x_2 = 0,05 \cdot \sen(3 \cdot \pi \cdot t + \frac{\pi}{2})$.

1. a) Quali grandezze hanno in comune i due moti?
2. b) Calcola l'elongazione iniziale (in $t = 0$) di ciascuno e spiega in che cosa si differenziano.

L'ago di una macchina da cucire sale e scende con un moto armonico semplice di ampiezza $6\ \text{cm}$ e periodo $0,5\ \text{s}$. All'istante iniziale l'ago passa per la posizione di equilibrio muovendosi nel verso positivo, per cui $\varphi_0 = 0$.

1. a) Calcola la pulsazione $\omega$.
2. b) Scrivi l'equazione completa dell'elongazione, $x = A \cdot \sen(\omega \cdot t + \varphi_0)$, esprimendo l'ampiezza in metri.

Un punto al centro di una corda di chitarra vibra con un moto armonico semplice di ampiezza $A = 2\ \text{mm}$ e frequenza $f = 440\ \text{Hz}$ (la nota «la» di accordatura). La velocità massima di un oscillatore è $v_{max} = A \cdot \omega$.

1. a) Calcola la pulsazione $\omega$ della vibrazione.
2. b) Esprimi l'ampiezza in metri e calcola la velocità massima del punto della corda.

Una boa per la raccolta di energia del moto ondoso oscilla verticalmente con le onde secondo l'equazione $x = 0,1 \cdot \sen(2 \cdot \pi \cdot t)$, in unità del Sistema Internazionale.

1. a) Calcola il periodo e la frequenza dell'oscillazione.
2. b) Calcola l'elongazione all'istante $t = \frac{1}{12}\ \text{s}$.
3. c) In quale istante raggiunge per la prima volta la sua altezza massima?

Lo stelo di un motore a combustione vibra secondo l'equazione $x = 0,04 \cdot \sen(10 \cdot \pi \cdot t + \frac{\pi}{2})$, in unità del Sistema Internazionale.

1. a) Indica il valore dell'ampiezza $A$, della pulsazione $\omega$ e della fase iniziale $\varphi_0$.
2. b) Calcola il periodo $T$ e la frequenza $f$.
3. c) Calcola l'elongazione in $t = 0,1\ \text{s}$ e interpreta il suo segno.

L'ago registratore di un sismografo oscilla secondo l'equazione $x = 0,06 \cdot \sen(8 \cdot \pi \cdot t)$, in unità del Sistema Internazionale. La velocità nel moto armonico semplice è $v = A \cdot \omega \cdot \cos(\omega \cdot t + \varphi_0)$. Il grafico dell'elongazione in funzione del tempo è quello della figura.

1. a) Calcola il primo istante in cui l'elongazione vale $x = 0,03\ \text{m}$ (la metà dell'ampiezza).
2. b) Calcola la velocità dell'ago in quell'istante.
3. c) In quale posizione la velocità è massima e quanto vale?

Un ponte sospeso ha una frequenza propria di oscillazione di $0,5\ \text{Hz}$. Il vento, aggirando i piloni, genera vortici che spingono lateralmente il ponte una volta ogni $2,0\ \text{s}$. La figura mostra come l'ampiezza dell'oscillazione forzata dipende dalla frequenza delle spinte.

1. a) Calcola il periodo e la pulsazione propri del ponte.
2. b) Calcola la frequenza delle spinte del vento e confrontala con la frequenza propria del ponte.
3. c) Spiega che cos'è la risonanza e perché è pericolosa in questa situazione, anche se ogni spinta è debole.
4. d) Proponi una modifica di progetto che eviti il problema e giustificala indicando quale grandezza fisica cambia.

Il periodo di un oscillatore massa-molla è $T = 2 \cdot \pi \cdot \sqrt{\frac{m}{k}}$. In laboratorio, un blocco di $m = 0,25\ \text{kg}$ oscilla attaccato a una molla di costante elastica $k = 100\ \text{N/m}$. Calcola il periodo dell'oscillazione.

In un'officina si collauda una molla di costante $k = 250\ \text{N/m}$ attaccandole una massa di $0,4\ \text{kg}$ e facendola oscillare.

1. a) Calcola il periodo dell'oscillazione, $T = 2 \cdot \pi \cdot \sqrt{\frac{m}{k}}$.
2. b) Calcola la frequenza, in $\text{Hz}$.

In laboratorio si montano due oscillatori con la stessa molla, di costante $k = 100\ \text{N/m}$: l'oscillatore A porta una massa di $0,1\ \text{kg}$ e l'oscillatore B una massa di $0,4\ \text{kg}$. La figura mostra i due montaggi.

1. a) Calcola il periodo di ciascun oscillatore e il loro rapporto $\frac{T_B}{T_A}$.
2. b) Senza ripetere i calcoli, ragiona con la formula $T = 2 \cdot \pi \cdot \sqrt{\frac{m}{k}}$ su quale relazione ci sia tra questo rapporto e il rapporto tra le masse $\frac{m_B}{m_A}$.
3. c) Quale costante elastica dovrebbe avere la molla dell'oscillatore B perché oscilli con lo stesso periodo di A? Giustificalo.

Si appende una massa di $m = 0,5\ \text{kg}$ a una molla verticale di costante $k = 200\ \text{N/m}$ (prendi $g = 9,8\ \text{m/s}^2$). Il montaggio è mostrato in figura.

1. a) Calcola di quanto si allunga la molla fino a raggiungere la posizione di equilibrio, in cui la forza elastica $k \cdot x_0$ eguaglia il peso $m \cdot g$.
2. b) Si sposta leggermente la massa da quella posizione e la si lascia. Calcola il periodo dell'oscillazione verticale, $T = 2 \cdot \pi \cdot \sqrt{\frac{m}{k}}$.
3. c) Spiega perché la gravità non modifica il periodo rispetto allo stesso oscillatore disposto in orizzontale: che cosa è l'unica cosa che la gravità cambia nell'oscillazione verticale?

Nella Stazione Spaziale Internazionale non si può usare una bilancia per misurare la massa degli astronauti. Al suo posto, l'astronauta si siede su un sedile collegato a una molla di costante $k = 1000\ \text{N/m}$ e si misura il periodo di oscillazione dell'insieme, $T = 2 \cdot \pi \cdot \sqrt{\frac{m}{k}}$.

1. a) Se il periodo misurato è $T = 1,6\ \text{s}$, ricava la massa dalla formula e calcola la massa dell'astronauta (trascura quella del sedile).
2. b) Spiega perché questo metodo funziona in assenza di gravità e una bilancia no.

Su una rotaia a cuscino d'aria senza attrito, un carrello di $m = 0,25\ \text{kg}$ è collegato a una molla di costante $k = 400\ \text{N/m}$. Si sposta il carrello di $10\ \text{cm}$ dalla posizione di equilibrio e lo si lascia libero da fermo all'istante $t = 0$. Il montaggio è mostrato in figura.

1. a) Calcola la pulsazione, $\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}$, e il periodo dell'oscillazione.
2. b) Assumendo $x(t) = A\sin(\omega t + \varphi_0)$, ragiona sul perché la fase iniziale è $\varphi_0 = \frac{\pi}{2}$: quanto vale l'elongazione in $t = 0$?
3. c) Scrivi l'equazione completa dell'elongazione, in unità del Sistema Internazionale.
4. d) Calcola la velocità massima del carrello, $v_{max} = A \cdot \omega$.

Il periodo di un pendolo semplice è $T = 2 \cdot \pi \cdot \sqrt{\frac{l}{g}}$. La lampada dell'atrio di un museo pende da un cavo lungo $l = 1\ \text{m}$ e oscilla leggermente dopo una corrente d'aria (prendi $g = 9,8\ \text{m/s}^2$). Calcola il suo periodo di oscillazione.

Un antico orologio a pendolo funziona con un pendolo il cui periodo deve essere esattamente $T = 2,0\ \text{s}$: ogni oscillazione completa fa avanzare un dente del meccanismo (prendi $g = 9,8\ \text{m/s}^2$). Il pendolo è mostrato in figura.

1. a) Ricava la lunghezza dalla formula $T = 2 \cdot \pi \cdot \sqrt{\frac{l}{g}}$.
2. b) Calcola la lunghezza che deve avere il pendolo.

Un pendolo lungo $l = 1,5\ \text{m}$ fa parte di un esperimento che verrà installato in una base lunare. La gravità sulla superficie della Luna è $g_L = 1,6\ \text{m/s}^2$ e sulla Terra $g_T = 9,8\ \text{m/s}^2$.

1. a) Calcola il periodo del pendolo sulla Terra.
2. b) Calcola il periodo sulla Luna.
3. c) Quante volte più lentamente oscilla sulla Luna? Calcola il rapporto tra i due periodi.

Si vuole progettare un pendolo di periodo $T = 2,00\ \text{s}$ per un esperimento che funzionerà sulla superficie di Marte, dove $g_M = 3,71\ \text{m/s}^2$.

1. a) Calcola la lunghezza che deve avere il pendolo su Marte.
2. b) Se quello stesso pendolo venisse riportato sulla Terra ($g_T = 9,8\ \text{m/s}^2$), quale sarebbe il suo periodo?
3. c) I geologi usano pendoli di precisione per misurare $g$ in diversi punti della Terra e rilevare anomalie del sottosuolo. Spiega, a partire dalla formula, perché il periodo di un pendolo rivela il valore di $g$ e quali grandezze occorre misurare con più cura.

Il pendolo di Foucault installato al Pantheon di Parigi ha una lunghezza di $l = 67\ \text{m}$ (prendi $g = 9,8\ \text{m/s}^2$).

1. a) Calcola il suo periodo di oscillazione.
2. b) Calcola quante oscillazioni complete compie in un'ora.
3. c) Foucault usò una sfera di $28\ \text{kg}$. Giustifica, a partire dalla formula del periodo, perché la massa della sfera non influisce sulla misura e perché conviene costruire il pendolo il più lungo possibile per osservare il fenomeno con comodità.