Sovrapposizione di onde e battimenti

Il principio di sovrapposizione

Due onde che attraversano lo stesso punto non si disturbano a vicenda: ciascuna procede come se l'altra non ci fosse. In ogni istante lo spostamento del mezzo è la somma degli spostamenti che ciascuna onda produrrebbe da sola.

Il motivo: per piccole deformazioni le forze di richiamo del mezzo sono proporzionali agli spostamenti, e le forze si sommano.

Interferenza costruttiva e distruttiva

Due onde armoniche con la stessa frequenza e la stessa ampiezza $A$, sfasate di $\varphi$, danno un'onda della stessa frequenza con ampiezza

Due casi estremi:

• $\varphi=0$ (fase uguale): $A_{ris}=2A$, interferenza costruttiva.

• $\varphi=\pi$ (opposizione di fase): $A_{ris}=0$, interferenza distruttiva.

Poiché l'intensità è proporzionale al quadrato dell'ampiezza, nel caso costruttivo diventa $4$ volte quella di una sola onda.

Differenza di cammino

Due sorgenti in fase arrivano in un punto percorrendo distanze $r_1$ e $r_2$. La differenza di cammino è $\delta=|r_2-r_1|$. Un cammino in più di una lunghezza d'onda equivale a un ciclo completo ($2\pi$), quindi $\varphi=2\pi\,\delta/\lambda$.

I battimenti

Che cosa succede se le due onde hanno frequenze leggermente diverse, $f_1$ e $f_2$? A volte le due onde sono in fase e si rinforzano, un momento dopo sono in opposizione di fase e si indeboliscono: l'ampiezza risultante oscilla lentamente nel tempo. Si sente il volume salire e scendere: sono i battimenti.

Formula di prostaferesi

Con $y_1=A\sin(2\pi f_1t)$ e $y_2=A\sin(2\pi f_2t)$, usando $\sin\alpha+\sin\beta=2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}$:

Il seno oscilla alla frequenza media $\frac{f_1+f_2}{2}$ (il suono che percepiamo); il coseno è l'inviluppo, che varia lentamente e ha ampiezza massima $2A$.

L'intensità segue il quadrato dell'inviluppo, che raggiunge un massimo due volte per ogni periodo del coseno. Il risultato è semplice:

Accordare uno strumento con i battimenti

Ecco la risposta all'accordatore di Cremona. Sentendo $3$ battimenti al secondo con un la a $440\ \mathrm{Hz}$, la corda può essere a $437$ o a $443\ \mathrm{Hz}$. Per decidere, si modifica un poco la corda e si osserva come cambia il ritmo:

• se aumento la frequenza della corda e i battimenti rallentano, ci si avvicina a $f_0$: la corda era sotto $f_0$;

• se aumentando la frequenza i battimenti accelerano, ci si allontana da $f_0$: la corda era sopra $f_0$.

Si accorda quando i battimenti spariscono.

Per una corda tesa $f\propto\sqrt{T}$ ($T$ è la tensione): stringendo la corda la frequenza sale. Se $f$ passa da $f_i$ a $f_f$,

Due sorgenti e i massimi nello spazio

Torniamo a due altoparlanti in fase, a distanza $d$, osservati da molto lontano lungo una direzione che forma un angolo $\theta$ con l'asse. I raggi sono quasi paralleli e la differenza di cammino è $\delta=d\sin\theta$. Perciò:

• massimi: $d\sin\theta=m\lambda$

• minimi: $d\sin\theta=\left(m+\tfrac12\right)\lambda$

Poiché $|\sin\theta|\le1$, i massimi esistono solo per $|m|\le d/\lambda$: il numero di massimi dipende dal rapporto $d/\lambda$.

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In sintesi

• Sovrapposizione: lo spostamento risultante è la somma degli spostamenti delle singole onde, che poi proseguono inalterate.

• Due onde di uguale ampiezza $A$ e sfasamento $\varphi$: $A_{ris}=2A|\cos(\varphi/2)|$; costruttiva per $\varphi=0$, distruttiva per $\varphi=\pi$.

• Sorgenti in fase: massimi per $\delta=m\lambda$, minimi per $\delta=(m+\tfrac12)\lambda$; per due sorgenti lontane $\delta=d\sin\theta$.

• Intensità $\propto$ ampiezza$^2$; l'energia si ridistribuisce, non sparisce.

• Battimenti: $f_{batt}=|f_1-f_2|$; il suono ha frequenza media $\frac{f_1+f_2}{2}$ e un inviluppo lento.

• Per accordare uno strumento si osserva come cambiano i battimenti quando si modifica la frequenza; con $f\propto\sqrt{T}$ si risale alla tensione.