Esercizi: L'energia nel moto oscillatorio

Una massa oscilla orizzontalmente attaccata a una molla, senza attrito, tra le posizioni $x = -A$ e $x = +A$. La figura mostra l'oscillatore con queste posizioni indicate.

1. a) In quale posizione o posizioni l'energia potenziale elastica è massima?
2. b) In quale posizione l'energia cinetica è massima?
3. c) In quali posizioni l'energia cinetica è nulla? Giustifica le tue risposte con le formule $E_p = \frac{1}{2} \cdot k \cdot x^2$ e $E_c = \frac{1}{2} \cdot m \cdot v^2$.

Le pulegge e l'arco di un arco da tiro sportivo si comportano nel complesso come una molla di costante equivalente $k = 300\ \text{N/m}$. Quando lo si tende, la corda si sposta di $x = 0,1\ \text{m}$. Calcola l'energia potenziale elastica immagazzinata, $E_p = \frac{1}{2} \cdot k \cdot x^2$.

L'energia meccanica di un oscillatore massa-molla è $E_m = \frac{1}{2} \cdot k \cdot A^2$, dove $A$ è l'ampiezza. In laboratorio, un oscillatore ha $k = 200\ \text{N/m}$ e oscilla con ampiezza $A = 0,05\ \text{m}$. Calcola la sua energia meccanica.

Il vibratore di un telefono cellulare immagazzina un'energia meccanica di $2\ \text{J}$ mentre oscilla.

1. a) Quanto vale la sua energia cinetica massima? In quale posizione viene raggiunta?
2. b) Quanto vale la sua energia potenziale elastica massima? In quali posizioni viene raggiunta?
3. c) Che relazione c'è tra questi due valori e l'energia meccanica? Giustificalo.

Un carrello di $m = 0,5\ \text{kg}$ attaccato a una molla passa per la posizione di equilibrio con una velocità di $2\ \text{m/s}$.

1. a) Calcola la sua energia cinetica in quel punto.
2. b) Quanto vale in quel punto la sua energia potenziale elastica? E la sua energia meccanica? Giustificalo.

In un pendolo di Newton (il pendolo di sfere d'acciaio da scrivania), una sfera di $m = 0,3\ \text{kg}$ viene sollevata di $h = 0,2\ \text{m}$ sopra il suo punto più basso prima di essere lasciata (prendi $g = 10\ \text{m/s}^2$). La figura mostra la sfera sollevata, sul punto di essere lasciata.

1. a) Calcola la sua energia potenziale gravitazionale rispetto al punto più basso, $E_p = m \cdot g \cdot h$.
2. b) In che cosa si trasformerà questa energia quando la sfera viene lasciata? Quanto varrà l'energia cinetica al passaggio per il punto più basso?

Un oscillatore massa-molla ha un'energia meccanica costante $E_m$.

1. a) Descrivi come varia l'energia potenziale elastica $E_p = \frac{1}{2} \cdot k \cdot x^2$ con la posizione: che forma ha il suo grafico rispetto a $x$ tra $-A$ e $+A$?
2. b) L'energia cinetica in ogni punto è $E_c = E_m - E_p$. Descrivi come varia $E_c$ con la posizione.
3. c) Che cosa rappresenta il punto in cui si incrociano i grafici di $E_c$ e $E_p$? Disegna sul quaderno i tre grafici ($E_p$, $E_c$ e $E_m$) in funzione della posizione.

Puoi farlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

Una ginnasta salta su un tappeto elastico e oscilla verticalmente, senza perdere contatto con il telo, tra un punto più alto e un punto più basso.

1. a) In quale punto dell'oscillazione la sua energia potenziale gravitazionale è massima?
2. b) In quale punto è massima l'energia potenziale elastica immagazzinata dal telo?
3. c) Dove è massima la sua energia cinetica? Giustifica le tre risposte con lo scambio di energie.

Un carrello di $m = 0,5\ \text{kg}$ oscilla su un tavolo senza attrito attaccato a una molla di $k = 400\ \text{N/m}$, con ampiezza $A = 0,1\ \text{m}$. La figura mostra come si ripartisce l'energia dell'oscillatore in funzione della posizione.

1. a) Calcola l'energia meccanica dell'oscillatore, $E_m = \frac{1}{2} \cdot k \cdot A^2$.
2. b) Calcola l'energia potenziale elastica quando l'elongazione è $x = 0,06\ \text{m}$.
3. c) Calcola l'energia cinetica in quello stesso punto e, a partire da essa, la velocità del carrello.

Un oscillatore massa-molla oscilla con ampiezza $A = 0,1\ \text{m}$. Si vuole trovare la posizione in cui l'energia cinetica e l'energia potenziale elastica sono uguali.

1. a) Imposta la condizione $E_c = E_p$ tenendo conto che $E_c + E_p = \frac{1}{2} \cdot k \cdot A^2$, e dimostra che in quel punto $E_p = \frac{1}{4} \cdot k \cdot A^2$.
2. b) Ricava l'elongazione e calcola il suo valore numerico.
3. c) Verifica che il risultato è minore dell'ampiezza: è ragionevole?

La membrana di un altoparlante può essere modellata come un oscillatore massa-molla di massa $m = 0,4\ \text{kg}$ e costante elastica efficace $k = 250\ \text{N/m}$, che vibra con ampiezza $A = 0,08\ \text{m}$.

1. a) Calcola l'energia meccanica della vibrazione.
2. b) Tutta quell'energia è cinetica al passaggio per l'equilibrio: calcola la velocità massima della membrana.
3. c) Verifica che coincide con il valore dato dall'espressione $v_{max} = A \cdot \sqrt{\frac{k}{m}}$.

La sfera d'acciaio di una macchina da demolizione pende da un cavo di $l = 2\ \text{m}$ e viene lasciata dalla quiete quando il cavo forma un angolo di $60^\circ$ con la verticale (prendi $g = 9,8\ \text{m/s}^2$). L'altezza di cui scende rispetto al punto più basso è $h = l \cdot (1 - \cos 60^\circ)$. La situazione è mostrata in figura.

1. a) Calcola questa altezza $h$.
2. b) Applica la conservazione dell'energia, $m \cdot g \cdot h = \frac{1}{2} \cdot m \cdot v^2$, e calcola la velocità della sfera al passaggio per il punto più basso.
3. c) Questa velocità dipende dalla massa della sfera? Giustificalo.

La molla del lanciatore di un flipper ha una costante elastica $k = 100\ \text{N/m}$. La figura mostra come cresce l'energia potenziale elastica con la compressione.

1. a) Calcola l'energia potenziale elastica immagazzinata quando si comprime di $0,1\ \text{m}$ e quando si comprime di $0,2\ \text{m}$.
2. b) Quale energia aggiuntiva bisogna fornire per passare da una compressione all'altra?
3. c) Perché non basta dire che «il doppio della compressione è il doppio dell'energia»? Ragiona con la formula.

Il cestello di una lavatrice, durante la centrifuga, vibra con un'energia meccanica di $1,44\ \text{J}$. Gli ammortizzatori che lo sostengono si comportano come una molla di costante efficace $k = 200\ \text{N/m}$.

1. a) Ricava l'ampiezza dalla formula $E_m = \frac{1}{2} \cdot k \cdot A^2$.
2. b) Calcola l'ampiezza della vibrazione, in metri, ed esprimila anche in centimetri.

Il martelletto di un campanello elettrico oscilla con ampiezza $A = 5\ \text{cm}$ spinto da una molla di costante $k = 800\ \text{N/m}$; la sua massa è $m = 0,1\ \text{kg}$.

1. a) Esprimi l'ampiezza in metri e calcola l'energia meccanica dell'oscillatore.
2. b) Calcola l'energia cinetica massima del martelletto.
3. c) Calcola la velocità massima del martelletto.

Una persona si dondola su una liana di $l = 2\ \text{m}$ e passa per il punto più basso a $3\ \text{m/s}$ (prendi $g = 10\ \text{m/s}^2$). La figura mostra il dondolio.

1. a) Calcola l'altezza massima che raggiunge sopra il punto più basso, applicando $\frac{1}{2} \cdot m \cdot v^2 = m \cdot g \cdot h$.
2. b) L'altezza e l'angolo massimo $\theta$ con la verticale soddisfano $h = l \cdot (1 - \cos\theta)$. Calcola il valore di $\cos\theta$ e deduci l'angolo massimo raggiunto dalla liana.

Un oscillatore massa-molla ha $k = 100\ \text{N/m}$ e oscilla con ampiezza $A = 0,1\ \text{m}$.

1. a) Calcola l'energia meccanica e l'energia potenziale elastica nei punti $x = 0$, $x = 0,05\ \text{m}$ e $x = 0,1\ \text{m}$.
2. b) Calcola l'energia cinetica in quegli stessi tre punti.
3. c) Con questi valori, disegna sul quaderno i grafici di $E_p(x)$, $E_c(x)$ e $E_m(x)$ tra $-A$ e $+A$ e descrivili: forma di ciascuna curva, punti di intersezione con gli assi e punto di incrocio tra $E_p$ e $E_c$.
4. d) Calcola la posizione esatta in cui i grafici di $E_p$ e $E_c$ si incrociano.

Puoi farlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

Un oscillatore reale con attrito perde il $10\ \%$ della sua energia meccanica a ogni ciclo. Parte con un'energia iniziale $E_0 = 2\ \text{J}$. La figura mostra come decresce l'ampiezza dell'oscillazione nel tempo.

1. a) Calcola l'energia meccanica che gli resta dopo $5$ cicli.
2. b) Tenendo conto che $E_m = \frac{1}{2} \cdot k \cdot A^2$, cioè che l'energia è proporzionale al quadrato dell'ampiezza, calcola di quale fattore si è ridotta l'ampiezza dopo questi $5$ cicli.
3. c) In che cosa si è trasformata l'energia persa? Spiega perché il periodo dell'oscillazione, tuttavia, cambia appena anche se l'ampiezza diminuisce (suggerimento: da quali grandezze dipende $T$?).

Un oscillatore di $m = 0,2\ \text{kg}$ e $k = 50\ \text{N/m}$ oscilla con ampiezza $A = 0,2\ \text{m}$.

1. a) Calcola la sua energia meccanica.
2. b) Calcola l'energia potenziale, l'energia cinetica e la velocità quando l'elongazione è $x = 0,16\ \text{m}$.
3. c) Dimostra, usando $E_c = \frac{1}{2} \cdot k \cdot (A^2 - x^2)$, che la velocità è la metà di quella massima quando $x = A \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$, e calcola questa posizione.

Un pendolo dimostrativo da laboratorio ha una lunghezza $l = 1\ \text{m}$ e viene lasciato dalla quiete formando $60^\circ$ con la verticale (prendi $g = 9,8\ \text{m/s}^2$). Ricorda che l'altezza sopra il punto più basso è $h = l \cdot (1 - \cos\theta)$. La figura mostra il pendolo nelle tre posizioni considerate.

1. a) Calcola la velocità massima che raggiunge al passaggio per il punto più basso.
2. b) Calcola la sua velocità quando il filo forma $30^\circ$ con la verticale, applicando la conservazione dell'energia tra i punti di $60^\circ$ e $30^\circ$.
3. c) Confronta le due velocità: perché la velocità a $30^\circ$ è più della metà di quella massima anche se l'angolo è esattamente la metà?

Un oscillatore di $m = 1\ \text{kg}$ e $k = 100\ \text{N/m}$ oscilla prima con ampiezza $A = 0,1\ \text{m}$ e poi con ampiezza $A' = 0,2\ \text{m}$.

1. a) Calcola l'energia meccanica in ciascun caso e il loro rapporto $\frac{E_m'}{E_m}$.
2. b) Calcola la velocità massima in ciascun caso e il loro rapporto $\frac{v_{max}'}{v_{max}}$.
3. c) Generalizza il risultato: se l'ampiezza viene moltiplicata per un fattore $n$, per quale fattore vengono moltiplicate l'energia meccanica e la velocità massima? Giustificalo con le formule.

In un oscillatore armonico si misura che, quando l'elongazione vale $x = \frac{A}{2}$, l'energia cinetica è di $6\ \text{J}$.

1. a) Dimostra che in quel punto l'energia potenziale elastica vale un quarto dell'energia meccanica, cioè $E_p = \frac{E_m}{4}$.
2. b) A partire dalla misura, calcola l'energia meccanica dell'oscillatore.
3. c) Calcola l'energia cinetica al passaggio per l'equilibrio e l'energia potenziale agli estremi.

Una sfera d'acciaio di $m = 2\ \text{kg}$ pende da una corda di $l = 2,5\ \text{m}$ e viene lasciata dalla quiete formando $30^\circ$ con la verticale (prendi $g = 9,8\ \text{m/s}^2$; ricorda $h = l \cdot (1 - \cos\theta)$).

1. a) Calcola l'energia meccanica del pendolo rispetto al punto più basso della traiettoria.
2. b) Calcola la velocità massima al passaggio per il punto più basso.
3. c) Se la sfera avesse massa doppia e venisse lasciata dallo stesso angolo, come cambierebbero l'energia meccanica e la velocità massima? Giustificalo con le formule e spiega perché una delle due non cambia.

Un giocattolo lancia verticalmente una sfera di $m = 0,05\ \text{kg}$ mediante una molla di costante $k = 500\ \text{N/m}$ che viene compressa di $x = 0,1\ \text{m}$ prima di essere rilasciata (prendi $g = 9,8\ \text{m/s}^2$). Il lancio è mostrato in figura.

1. a) Calcola l'energia potenziale elastica immagazzinata nella molla compressa.
2. b) Supponendo che tutta quell'energia si converta in energia cinetica della sfera, calcola la sua velocità di uscita.
3. c) Calcola l'altezza massima che raggiungerà la sfera, applicando di nuovo la conservazione dell'energia.
4. d) Il giocattolo reale raggiunge un'altezza minore di quella calcolata. Cita almeno due cause energetiche che lo spiegano.

Sfida del tema. L'energia meccanica si conserva in un oscillatore reale? Analizza il comportamento di un pendolo fatto in casa applicando il moto armonico semplice (MAS) e il bilancio energetico.

1. Montaggio e raccolta dati: Appendi un oggetto piccolo e denso (delle chiavi) a un filo sottile ($L \approx 0,70\text{ m}$). Spostalo di un angolo piccolo ($\theta \le 10^\circ$) per garantire il regime di MAS. Misura con il cellulare il tempo di $10$ oscillazioni complete e ripeti $5$ volte per determinare il periodo con la sua incertezza ($T \pm \Delta T$). Registra la massa con una bilancia da cucina ($m \pm \Delta m$). Annota anche l'angolo iniziale $\theta_0$ e calcola l'ampiezza $A = L\theta_0$ (con $\theta_0$ in radianti).

2. Cinematica del MAS: Calcola la pulsazione $\omega = 2\pi/T$ e scrivi l'equazione dell'elongazione $x(t) = A\cos(\omega t)$. Confronta il periodo misurato con quello teorico ($T = 2\pi\sqrt{L/g}$, con $g = 9,80\text{ m/s}^2$) giustificando le differenze.

3. Energia e grafico: Calcola l'energia cinetica massima, $E_{c,\text{max}} = \frac{1}{2}m\omega^2 A^2$, e confrontala con quella potenziale iniziale. Elabora una tabella con $E_c(t)$, $E_p(t)$ e $E_m(t)$ in $8$ istanti di un'oscillazione e rappresenta le loro curve in uno stesso grafico.

4. Relazione finale: Misura (ad esempio registrando un video) l'ampiezza iniziale e quella dopo $10$ oscillazioni, stima la perdita di energia meccanica e consegna una proposta argomentata che spieghi le perdite osservate dovute all'attrito.

Verranno valutati:

• Rigore nell'ottenimento sperimentale di misure e incertezze.

• Correttezza delle equazioni del MAS e del calcolo delle energie.

• Qualità tecnica della tabella e del grafico comparativo.

• Analisi critica sul degrado dell'energia meccanica.