Teoria cinetica e calori specifici molari
Una bombola di elio per i palloncini di una festa e una di ossigeno sono nella stessa stanza, a 20 °C. Le molecole di elio sono molto più leggere, eppure le due bombole sono alla stessa temperatura. In che cosa si assomigliano allora le molecole dei due gas? E perché l'elio, nell'atmosfera, prima o poi se ne va nello spazio? Alla fine della pagina saprai rispondere.
Il modello cinetico del gas perfetto
Il gas perfetto è un modello: un enorme numero di molecole puntiformi che si muovono in modo disordinato, urtano elasticamente le pareti e non interagiscono fra loro se non negli urti. Sono gli urti contro le pareti, ripetuti miliardi di volte al secondo, a produrre la pressione macroscopica: è il paradigma newtoniano che collega il microscopico al macroscopico.
Confrontando questo modello con l'equazione di stato $pV=nRT$ si arriva a un risultato fondamentale (qui lo enunciamo e lo usiamo, senza la dimostrazione statistica).
Il significato è questo: la temperatura assoluta è una misura dell'energia cinetica media delle molecole. Non dipende dal tipo di gas né dalla massa della molecola. Per questo l'elio e l'ossigeno della stanza, alla stessa $T$, hanno la stessa energia cinetica media: la massa minore dell'elio è compensata da una velocità maggiore.
Dalla stessa relazione si ricava la velocità quadratica media:
$$v_{qm}=\sqrt{\overline{v^2}}=\sqrt{\frac{3k_BT}{m}}$$Calcola l'energia cinetica traslazionale media di una molecola di un gas perfetto a 300 K. Usa $k_B=1,38\cdot10^{-23}$ J/K e $E_c=\tfrac32k_BT$.
Calcola l'energia cinetica traslazionale media di una molecola di un gas perfetto a 300 K. Usa $k_B=1,38\cdot10^{-23}$ J/K e $E_c=\tfrac32k_BT$.
Una molecola di elio ha massa $m=6,6\cdot10^{-27}$ kg. Il gas è a 300 K. Usa $k_B=1,38\cdot10^{-23}$ J/K e $\tfrac12mv^2=\tfrac32k_BT$. a) Calcola la velocità quadratica…
Una molecola di elio ha massa $m=6,6\cdot10^{-27}$ kg. Il gas è a 300 K. Usa $k_B=1,38\cdot10^{-23}$ J/K e $\tfrac12mv^2=\tfrac32k_BT$.
- a) Calcola la velocità quadratica media delle molecole.
- b) A quale temperatura la velocità quadratica media raddoppia?
In una miscela di idrogeno ($m=3,3\cdot10^{-27}$ kg per molecola) e ossigeno ($m=5,3\cdot10^{-26}$ kg per molecola) in equilibrio termico a 300 K, considera solo…
In una miscela di idrogeno ($m=3,3\cdot10^{-27}$ kg per molecola) e ossigeno ($m=5,3\cdot10^{-26}$ kg per molecola) in equilibrio termico a 300 K, considera solo l'energia traslazionale.
- a) Confronta le energie cinetiche medie delle due specie.
- b) Calcola il rapporto fra le velocità quadratiche medie.
- c) Spiega perché l'idrogeno sfugge più facilmente dall'atmosfera terrestre.
Energia interna del gas perfetto
In un gas perfetto monoatomico le molecole non interagiscono, quindi non c'è energia potenziale: l'energia interna è la somma delle energie cinetiche traslazionali delle $N$ molecole.
$$U=N\cdot\tfrac32k_BT=\tfrac32 nRT$$perché $Nk_B=nN_Ak_B=nR$.
Questo è il senso in cui $U$ è una funzione di stato: la sua variazione dipende solo dagli stati iniziale e finale. Ne segue che in una trasformazione isoterma di un gas perfetto $\Delta U=0$.
Nota la differenza fra grandezze intensive ed estensive: $T$ e $p$ sono intensive (non dipendono dalla quantità di gas), mentre $U$ e $V$ sono estensive (raddoppiando il gas, raddoppiano). Inoltre, $U=\tfrac32nRT$ vale per stati di equilibrio: lo si usa lungo trasformazioni quasi-statiche (reversibili), così lente che il gas è sempre in equilibrio; in una trasformazione irreversibile gli stati intermedi non sono descritti da $p$ e $T$, ma $\Delta U$ dipende comunque solo dagli stati iniziale e finale.
Per gas biatomici (come $\mathrm{N_2}$, $\mathrm{O_2}$ a temperatura ambiente) entrano in gioco anche le rotazioni: $U=\tfrac52nRT$.
Calcola l'energia interna di 2,0 mol di gas perfetto monoatomico a 400 K con $U=\tfrac32nRT$ e $R=8,31$ J/(mol·K).
Calcola l'energia interna di 2,0 mol di gas perfetto monoatomico a 400 K con $U=\tfrac32nRT$ e $R=8,31$ J/(mol·K).
Una mole di gas perfetto monoatomico segue una trasformazione da $(p_1,V_1)=(1,0\cdot10^5\text{ Pa};\,20\text{ L})$ a $(p_2,V_2)=(2,0\cdot10^5\text{ Pa};\,30\text{ L})$…
Una mole di gas perfetto monoatomico segue una trasformazione da $(p_1,V_1)=(1,0\cdot10^5\text{ Pa};\,20\text{ L})$ a $(p_2,V_2)=(2,0\cdot10^5\text{ Pa};\,30\text{ L})$ lungo un segmento rettilineo nel piano $p$–$V$. Usa $R=8,31$ J/(mol·K).
- a) Calcola $T_1$ e $T_2$.
- b) Calcola $\Delta U$.
- c) Calcola il lavoro compiuto dal gas.
- d) Calcola il calore scambiato e indica se è assorbito o ceduto.
Calori specifici molari
Il calore specifico molare dice quanta energia serve per scaldare di 1 K una mole di gas, e dipende da come si scalda.
A volume costante il gas non compie lavoro ($L=0$): per il primo principio $\Delta U=Q-L$ tutto il calore diventa energia interna. Quindi
$$Q_V=nc_V\Delta T=\Delta U=\tfrac32nR\Delta T\quad\Rightarrow\quad c_V=\tfrac32R\ \text{(monoatomico)}$$A pressione costante il gas si espande e compie il lavoro $L=p\Delta V=nR\Delta T$ (dall'equazione di stato). Il calore deve fornire sia $\Delta U$ sia $L$:
$$Q_P=nc_P\Delta T=\Delta U+L=nc_V\Delta T+nR\Delta T\quad\Rightarrow\quad c_P-c_V=R$$Per il monoatomico $c_P=\tfrac52R$. Il rapporto è
$$\gamma=\frac{c_P}{c_V}=\frac53\approx1{,}67\ \text{(monoatomico)},\qquad\gamma=\frac75=1{,}4\ \text{(biatomico, } c_V=\tfrac52R)$$Per un gas perfetto monoatomico $c_V=\tfrac32R$. a) Calcola $c_V$ e $c_P$ usando $c_P-c_V=R$ con $R=8,31$ J/(mol·K). b) Calcola il rapporto $\gamma=c_P/c_V$.
Per un gas perfetto monoatomico $c_V=\tfrac32R$.
- a) Calcola $c_V$ e $c_P$ usando $c_P-c_V=R$ con $R=8,31$ J/(mol·K).
- b) Calcola il rapporto $\gamma=c_P/c_V$.
Un campione di 3,0 mol di elio (gas perfetto monoatomico) viene riscaldato a volume costante da 280 K a 350 K. a) Calcola la variazione di energia interna. b) Calcola il…
Un campione di 3,0 mol di elio (gas perfetto monoatomico) viene riscaldato a volume costante da 280 K a 350 K.
- a) Calcola la variazione di energia interna.
- b) Calcola il calore assorbito.
- c) Calcola il lavoro compiuto dal gas.
Un campione di 2,0 mol di gas perfetto monoatomico viene riscaldato a pressione costante da 300 K a 400 K. Usa $R=8,31$ J/(mol·K). a) Calcola il calore assorbito. b)…
Un campione di 2,0 mol di gas perfetto monoatomico viene riscaldato a pressione costante da 300 K a 400 K. Usa $R=8,31$ J/(mol·K).
- a) Calcola il calore assorbito.
- b) Calcola il lavoro compiuto dal gas.
- c) Verifica il primo principio calcolando $\Delta U$ in due modi.
Dimostra, partendo dal primo principio e dall'equazione di stato, che per un gas perfetto $c_P-c_V=R$. a) Scrivi il calore a volume costante e la variazione di energia…
Dimostra, partendo dal primo principio e dall'equazione di stato, che per un gas perfetto $c_P-c_V=R$.
- a) Scrivi il calore a volume costante e la variazione di energia interna.
- b) Scrivi il calore a pressione costante, il lavoro e la variazione di energia interna.
- c) Ricava la relazione e calcola $\gamma$ per un gas biatomico con $c_V=\tfrac52R$.
Chiusura del gancio
Elio e ossigeno, alla stessa temperatura, hanno la stessa energia cinetica media: cambia la velocità, che va come $1/\sqrt m$. Le molecole leggere di elio e idrogeno hanno velocità medie elevate e, nell'alta atmosfera, una parte di esse supera la velocità di fuga e abbandona la Terra; le molecole pesanti restano.