Moto rettilineo uniformemente accelerato
Un'auto che riparte a un semaforo non mantiene la stessa velocità: la aumenta poco a poco, sempre allo stesso ritmo. Una che frena con decisione la perde con la stessa regolarità, secondo dopo secondo. Questo moto con accelerazione costante è alla base della sicurezza stradale: distanze di frenata, tempi di reazione, inseguimenti. Alla fine della pagina saprai spiegare perché guardare il cellulare alla guida è così pericoloso.
Che cos'è il moto uniformemente accelerato
Un monopattino elettrico parte da fermo: il tachimetro segna 0 km/h all'inizio, 4 km/h dopo un secondo, 8 km/h dopo due secondi, 12 km/h dopo tre. La velocità cresce sempre dello stesso valore ogni secondo. Nei tre secondi percorre sempre la stessa distanza oppure sempre di più?
Così, $a = 2\ \mathrm{m/s^2}$ significa che ogni secondo la velocità aumenta di $2\ \mathrm{m/s}$.
Dunque la distanza percorsa in ogni secondo aumenta: il monopattino si allontana sempre più in fretta.
Un'automobile parte con un'accelerazione di $2\ \text{m/s}^2$. a) Spiega con parole tue che cosa significa quel dato: di quanto aumenta la sua velocità ogni secondo? b)…
Un'automobile parte con un'accelerazione di $2\ \text{m/s}^2$.
- a) Spiega con parole tue che cosa significa quel dato: di quanto aumenta la sua velocità ogni secondo?
- b) Se parte da fermo, quale velocità avrà dopo $5\ \text{s}$?
Un treno ad alta velocità passa dalla quiete a $50\ \text{m/s}$ in $100\ \text{s}$. Calcola la sua accelerazione ed esprimi il risultato in $\text{m/s}^2$.
Un treno ad alta velocità passa dalla quiete a $50\ \text{m/s}$ in $100\ \text{s}$. Calcola la sua accelerazione ed esprimi il risultato in $\text{m/s}^2$.
La legge della velocità
Dalla definizione $a = \dfrac{\Delta v}{\Delta t}$ si ricava subito quanto vale la velocità dopo un tempo $t$: la velocità iniziale più la variazione, cioè $a \cdot t$.
L'area sottesa alla retta è un trapezio: la useremo per ricavare lo spazio percorso.
Muovi i cursori di $v$ (velocità iniziale) e di $a$: il grafico $v(t)$ è una retta inclinata, non più orizzontale come nel moto uniforme, e la posizione si curva.
Una bicicletta parte da ferma e accelera a $3\ \text{m/s}^2$ per $4\ \text{s}$. Calcola la sua velocità finale usando $v = v_0 + a \cdot t$.
Una bicicletta parte da ferma e accelera a $3\ \text{m/s}^2$ per $4\ \text{s}$. Calcola la sua velocità finale usando $v = v_0 + a \cdot t$.
Un'automobile che viaggia a $20\ \text{m/s}$ frena con un'accelerazione di $-4\ \text{m/s}^2$. a) Perché l'accelerazione è negativa? b) Quanto tempo impiega a fermarsi…
Un'automobile che viaggia a $20\ \text{m/s}$ frena con un'accelerazione di $-4\ \text{m/s}^2$.
- a) Perché l'accelerazione è negativa?
- b) Quanto tempo impiega a fermarsi completamente?
Un pattinatore scende lungo una rampa: entra a $2\ \text{m/s}$ e accelera a $3\ \text{m/s}^2$. La scena è mostrata in figura. a) Quanto tempo impiega a raggiungere…
Un pattinatore scende lungo una rampa: entra a $2\ \text{m/s}$ e accelera a $3\ \text{m/s}^2$. La scena è mostrata in figura.
- a) Quanto tempo impiega a raggiungere $20\ \text{m/s}$?
- b) Quale distanza percorre in quel tempo?
La legge oraria
Nel grafico $v$-$t$ lo spazio percorso è l'area sottesa al grafico. Se la velocità varia in modo lineare, la velocità media è il punto di mezzo tra $v_0$ e $v$.
Sostituendo $v = v_0 + a t$ in $\Delta s = \dfrac{v_0 + v}{2}\, t$ si ottiene la legge oraria.
Eliminando il tempo tra le due leggi si ottiene una relazione molto utile quando il tempo non è noto.
Per leggere una legge oraria data in forma numerica basta confrontarla con quella generale. Per esempio, $s = 3 + 2t + t^2$ (unità SI) ha $s_0 = 3\ \mathrm{m}$, $v_0 = 2\ \mathrm{m/s}$ e $\frac{1}{2}a = 1$, cioè $a = 2\ \mathrm{m/s^2}$.
Un ciclista parte da fermo e accelera a $0,5\ \text{m/s}^2$ per $10\ \text{s}$. a) Calcola la velocità che raggiunge. b) Calcola la distanza che percorre usando…
Un ciclista parte da fermo e accelera a $0,5\ \text{m/s}^2$ per $10\ \text{s}$.
- a) Calcola la velocità che raggiunge.
- b) Calcola la distanza che percorre usando $x = x_0 + v_0 \cdot t + \frac{1}{2} a \cdot t^2$.
Un'automobile passa da $0$ a $90\ \text{km/h}$ in $10\ \text{s}$ con accelerazione costante. a) Esprimi la velocità finale in $\text{m/s}$. b) Calcola l'accelerazione.…
Un'automobile passa da $0$ a $90\ \text{km/h}$ in $10\ \text{s}$ con accelerazione costante.
- a) Esprimi la velocità finale in $\text{m/s}$.
- b) Calcola l'accelerazione.
- c) Calcola la distanza percorsa durante la partenza.
La posizione di un mobile, nelle unità del Sistema Internazionale, è data da $x = 3 + 2 \cdot t + t^2$. Confrontando con…
La posizione di un mobile, nelle unità del Sistema Internazionale, è data da $x = 3 + 2 \cdot t + t^2$. Confrontando con $x = x_0 + v_0 \cdot t + \frac{1}{2} a \cdot t^2$:
- a) Determina la sua posizione iniziale $x_0$, la sua velocità iniziale $v_0$ e la sua accelerazione $a$.
- b) Calcola la sua velocità quando $t = 4\ \text{s}$.
- c) Calcola la sua posizione nello stesso istante.
Una frenata reale: il tempo di reazione
Vai in bicicletta a 20 km/h e un cane attraversa a 10 metri: prima che tu stringa i freni passano alcuni decimi di secondo in cui continui alla velocità di prima. Perché la distanza per fermarsi non dipende solo dalla potenza dei freni?
Un'automobile che viaggia a $72\ \text{km/h}$ frena con un'accelerazione di $-5\ \text{m/s}^2$ fino a fermarsi. Il grafico $v$-$t$ della frenata è mostrato in figura. a)…
Un'automobile che viaggia a $72\ \text{km/h}$ frena con un'accelerazione di $-5\ \text{m/s}^2$ fino a fermarsi. Il grafico $v$-$t$ della frenata è mostrato in figura.
- a) Esprimi la velocità iniziale in $\text{m/s}$.
- b) Quanto dura la frenata?
- c) Quale distanza percorre mentre frena?
Un tram che viaggia a $54\ \text{km/h}$ frena con un'accelerazione di $-1,5\ \text{m/s}^2$ fino a fermarsi alla fermata. a) Esprimi la velocità iniziale in $\text{m/s}$.…
Un tram che viaggia a $54\ \text{km/h}$ frena con un'accelerazione di $-1,5\ \text{m/s}^2$ fino a fermarsi alla fermata.
- a) Esprimi la velocità iniziale in $\text{m/s}$.
- b) Calcola il tempo di frenata.
- c) Calcola la distanza percorsa durante la frenata.
Un'automobile viaggia a $90\ \text{km/h}$ quando il conducente vede un ostacolo. Impiega $0,8\ \text{s}$ a reagire (tempo di reazione) e poi frena con…
Un'automobile viaggia a $90\ \text{km/h}$ quando il conducente vede un ostacolo. Impiega $0,8\ \text{s}$ a reagire (tempo di reazione) e poi frena con $a = -6,25\ \text{m/s}^2$. Le due fasi dell'arresto sono mostrate in figura.
- a) Esprimi la velocità in $\text{m/s}$ e calcola la distanza che percorre durante il tempo di reazione.
- b) Calcola il tempo di frenata e la distanza di frenata.
- c) Qual è la distanza totale di arresto da quando vede l'ostacolo?
- d) Ragiona, alla luce dei risultati, sul perché sia così pericoloso guardare il cellulare mentre si guida.
Si vuole verificare se sia vero che «raddoppiare la velocità raddoppia la distanza di frenata». Considera un'automobile che frena con $a = -5\ \text{m/s}^2$. a) Calcola…
Si vuole verificare se sia vero che «raddoppiare la velocità raddoppia la distanza di frenata». Considera un'automobile che frena con $a = -5\ \text{m/s}^2$.
- a) Calcola il tempo e la distanza di frenata se viaggia a $20\ \text{m/s}$.
- b) Ripeti il calcolo se viaggia a $40\ \text{m/s}$.
- c) Quante volte maggiore è la distanza di frenata raddoppiando la velocità? L'affermazione era vera?
- d) Spiega il risultato tenendo conto che, raddoppiando la velocità, raddoppiano sia il tempo di frenata sia la velocità media durante essa.
Inseguimenti con accelerazione
Un caso classico: un'auto passa a velocità costante accanto a una volante ferma, che parte subito all'inseguimento. Riuscirà a raggiungerla, e dove?
Rispondiamo ora al gancio iniziale: i monopattini e le auto che accelerano percorrono distanze sempre maggiori nello stesso intervallo, e una frenata richiede la distanza di arresto, cioè reazione più frenata. Ogni secondo di distrazione a $90\ \mathrm{km/h}$ costa $25\ \mathrm{m}$ percorsi alla cieca.
Un'automobile viaggia a velocità costante di $20\ \text{m/s}$ e, passando accanto a un'auto della polizia ferma, questa parte e la insegue con accelerazione costante di…
Un'automobile viaggia a velocità costante di $20\ \text{m/s}$ e, passando accanto a un'auto della polizia ferma, questa parte e la insegue con accelerazione costante di $2\ \text{m/s}^2$.
- a) Scrivi le equazioni della posizione delle due auto, prendendo come origine il punto del sorpasso.
- b) Calcola l'istante in cui l'auto della polizia raggiunge l'altra. Otterrai due soluzioni matematiche: spiega perché una di esse viene scartata.
- c) A quale distanza dall'origine avviene il raggiungimento?
- d) Calcola la velocità dell'auto della polizia in quell'istante e confrontala con quella dell'altra auto.
Un ciclista viaggia a $10\ \text{m/s}$ e, nell'istante in cui passa accanto a un ciclomotore fermo, questo parte e lo insegue con un'accelerazione di $4\ \text{m/s}^2$.…
Un ciclista viaggia a $10\ \text{m/s}$ e, nell'istante in cui passa accanto a un ciclomotore fermo, questo parte e lo insegue con un'accelerazione di $4\ \text{m/s}^2$.
- a) Scrivi le equazioni della posizione dei due veicoli.
- b) Risolvi l'equazione di secondo grado che si ottiene uguagliandole e calcola l'istante del raggiungimento.
- c) A quale distanza dal punto di partenza avviene?
- d) Quale velocità ha il ciclomotore in quel momento?
In un allenamento, il corridore A passa per la linea di partenza a velocità costante di $6\ \text{m/s}$ nello stesso istante in cui il corridore B parte da fermo con…
In un allenamento, il corridore A passa per la linea di partenza a velocità costante di $6\ \text{m/s}$ nello stesso istante in cui il corridore B parte da fermo con $a = 1\ \text{m/s}^2$.
- a) Chi è davanti quando $t = 8\ \text{s}$? Calcola la posizione di ciascuno.
- b) Calcola l'istante in cui B raggiunge A e la posizione del raggiungimento.
- c) Quale velocità ha B in quell'istante?
- d) Spiega perché B, pur partendo più lentamente, finisce per raggiungere A.
Più fasi di moto
Molti problemi uniscono più tratti: il treno accelera, poi viaggia a velocità costante, poi frena. Si trattano un tratto alla volta, usando la velocità finale di un tratto come velocità iniziale del successivo.
Una monoposto da corsa passa da $0$ a $108\ \text{km/h}$ in $3\ \text{s}$. a) Esprimi la velocità finale in $\text{m/s}$. b) Calcola la sua accelerazione. c) Quanti…
Una monoposto da corsa passa da $0$ a $108\ \text{km/h}$ in $3\ \text{s}$.
- a) Esprimi la velocità finale in $\text{m/s}$.
- b) Calcola la sua accelerazione.
- c) Quanti metri percorre in quei $3\ \text{s}$?
Una bicicletta parte da ferma a un semaforo e accelera a $1,5\ \text{m/s}^2$ per $8\ \text{s}$. a) Quale velocità ha alla fine dell'accelerazione? b) Quale distanza ha…
Una bicicletta parte da ferma a un semaforo e accelera a $1,5\ \text{m/s}^2$ per $8\ \text{s}$.
- a) Quale velocità ha alla fine dell'accelerazione?
- b) Quale distanza ha percorso in quei $8\ \text{s}$?
Un treno della metropolitana parte da fermo con un'accelerazione di $1,2\ \text{m/s}^2$ per $15\ \text{s}$. a) Calcola la velocità che raggiunge ed esprimila anche in…
Un treno della metropolitana parte da fermo con un'accelerazione di $1,2\ \text{m/s}^2$ per $15\ \text{s}$.
- a) Calcola la velocità che raggiunge ed esprimila anche in $\text{km/h}$.
- b) Calcola la distanza percorsa in quel tempo.
Un treno parte da fermo e accelera a $0,5\ \text{m/s}^2$ per $60\ \text{s}$; poi mantiene costante la velocità raggiunta per $300\ \text{s}$. Il grafico $v$-$t$ del…
Un treno parte da fermo e accelera a $0,5\ \text{m/s}^2$ per $60\ \text{s}$; poi mantiene costante la velocità raggiunta per $300\ \text{s}$. Il grafico $v$-$t$ del percorso è mostrato in figura.
- a) Quale velocità raggiunge alla fine dell'accelerazione?
- b) Quale distanza percorre in ciascuna delle due fasi?
- c) Qual è la distanza totale?
- d) Calcola la velocità media dell'intero percorso, in $\text{m/s}$.
Due automobili viaggiano a $30\ \text{m/s}$ e frenano d'emergenza: la prima con $a = -5\ \text{m/s}^2$ e la seconda con $a = -6\ \text{m/s}^2$. a) Calcola il tempo di…
Due automobili viaggiano a $30\ \text{m/s}$ e frenano d'emergenza: la prima con $a = -5\ \text{m/s}^2$ e la seconda con $a = -6\ \text{m/s}^2$.
- a) Calcola il tempo di frenata e la distanza di frenata di ciascuna.
- b) Se c'è un ostacolo a $80\ \text{m}$ dal punto in cui iniziano a frenare, quale delle due lo raggiunge? Giustificalo con i calcoli.
- c) Spiega quale caratteristica di un'automobile descrive la distanza di frenata e perché è importante per la sicurezza stradale.
Un treno che viaggia a $30\ \text{m/s}$ deve fermarsi alla prossima stazione frenando con un'accelerazione di $-0,5\ \text{m/s}^2$. a) Quanto durerà la frenata? b) Quale…
Un treno che viaggia a $30\ \text{m/s}$ deve fermarsi alla prossima stazione frenando con un'accelerazione di $-0,5\ \text{m/s}^2$.
- a) Quanto durerà la frenata?
- b) Quale distanza percorrerà mentre frena?
- c) A quale distanza dalla stazione deve iniziare a frenare il macchinista?
- d) Ragiona sul perché tale distanza sia così grande nonostante l'accelerazione sia piccola.