Moti composti
Un pallone calciato in alto e in avanti, un pacco che cade da un aereo in volo, una barca che attraversa un fiume mentre la corrente la trascina: in tutti e tre i casi ci sono due moti che avvengono insieme. Galileo capì una cosa che sembra semplice ma che chiarì secoli di confusione: i due moti si possono studiare separatamente, come se l'altro non esistesse, e poi si combinano con la somma vettoriale che già conosci.
Il principio di indipendenza dei moti
Un sasso lasciato cadere dalla cima dell'albero di una nave in movimento cade proprio ai piedi dell'albero, e non qualche metro più indietro, come pensavano gli antichi: come mai l'avanzamento orizzontale della nave non altera affatto la caduta verticale?
Una barca attraversa un fiume largo $40\ \text{m}$ con una velocità propria di $2\ \text{m/s}$, diretta perpendicolarmente alla corrente. Osserva lo schema…
Una barca attraversa un fiume largo $40\ \text{m}$ con una velocità propria di $2\ \text{m/s}$, diretta perpendicolarmente alla corrente. Osserva lo schema dell'attraversamento:
- a) Enuncia il principio di indipendenza dei moti di Galileo.
- b) Applicalo per calcolare il tempo che la barca impiega ad attraversare il fiume, ragionando sul perché la corrente non modifica questo tempo.
Un drone vola verso nord a $4\ \text{m/s}$ mentre il vento lo spinge verso est a $3\ \text{m/s}$. a) Calcola il modulo della velocità risultante del drone rispetto al…
Un drone vola verso nord a $4\ \text{m/s}$ mentre il vento lo spinge verso est a $3\ \text{m/s}$.
- a) Calcola il modulo della velocità risultante del drone rispetto al suolo.
- b) Tenendo conto dell'indipendenza dei moti, calcola quanto tempo impiega ad avanzare di $100\ \text{m}$ verso nord.
Un treno attraversa un ponte alto $19,6\ \text{m}$ quando un oggetto si stacca da un vagone. Prendi $g = 9,8\ \text{m/s}^2$. a) Calcola il tempo che l'oggetto impiega ad…
Un treno attraversa un ponte alto $19,6\ \text{m}$ quando un oggetto si stacca da un vagone. Prendi $g = 9,8\ \text{m/s}^2$.
- a) Calcola il tempo che l'oggetto impiega ad arrivare al suolo.
- b) Ragiona se questo tempo dipende dalla velocità orizzontale del treno.
Il lancio orizzontale
Se lanci una moneta orizzontalmente dal bordo di un tavolo e nello stesso istante lasci cadere un'altra moneta in verticale, senti un solo "clic" sul pavimento: perché due oggetti con velocità orizzontali così diverse impiegano lo stesso tempo a toccare terra?
La distanza orizzontale percorsa fino all'impatto si chiama gittata. Eliminando $t$ dalle due leggi orarie ($t = x/v_0$) si ottiene $y = h - \dfrac{g}{2v_0^2}\,x^2$: la traiettoria è un arco di parabola.
Un aereo per aiuti umanitari vola orizzontalmente a $100\ \text{m/s}$ e a $500\ \text{m}$ di altezza quando lascia cadere un pacco. Prendi $g \approx 10\ \text{m/s}^2$.…
Un aereo per aiuti umanitari vola orizzontalmente a $100\ \text{m/s}$ e a $500\ \text{m}$ di altezza quando lascia cadere un pacco. Prendi $g \approx 10\ \text{m/s}^2$. Osserva lo schema:
- a) Calcola il tempo che il pacco impiega a cadere.
- b) Calcola la distanza orizzontale che il pacco percorre prima di toccare il suolo.
Un elicottero vola orizzontalmente a $30\ \text{m/s}$ e a $20\ \text{m}$ di altezza quando lascia cadere un pacco. Prendi $g \approx 10\ \text{m/s}^2$. a) Calcola il…
Un elicottero vola orizzontalmente a $30\ \text{m/s}$ e a $20\ \text{m}$ di altezza quando lascia cadere un pacco. Prendi $g \approx 10\ \text{m/s}^2$.
- a) Calcola il tempo di caduta del pacco.
- b) Calcola la gittata orizzontale del pacco.
- c) Calcola le componenti della velocità all'arrivo al suolo e il suo modulo.
Un aereo vola orizzontalmente a $80\ \text{m/s}$ e a $720\ \text{m}$ di altezza e deve lasciar cadere un pacco in modo che cada su un punto preciso del suolo. Prendi…
Un aereo vola orizzontalmente a $80\ \text{m/s}$ e a $720\ \text{m}$ di altezza e deve lasciar cadere un pacco in modo che cada su un punto preciso del suolo. Prendi $g \approx 10\ \text{m/s}^2$.
- a) Calcola il tempo di caduta del pacco.
- b) Calcola la distanza orizzontale percorsa dal pacco durante la caduta.
- c) Ragiona a quale distanza orizzontale prima dell'obiettivo deve essere lasciato cadere il pacco.
Il moto parabolico
Il getto di un tubo da giardino inclinato disegna nell'aria un arco simmetrico, la cui altezza e la cui lunghezza cambiano con l'angolo: quale combinazione di moti semplici dà origine a questa traiettoria curva?
Eliminando $t$ dalle due leggi orarie ($t = \dfrac{x}{v_0\cos\alpha}$) si ottiene l'equazione della traiettoria: $y = x\tan\alpha - \dfrac{g\,x^2}{2v_0^2\cos^2\alpha}$, un polinomio di secondo grado in $x$, cioè una parabola.
La gittata è la stessa per due angoli complementari (per esempio $37^\circ$ e $53^\circ$), perché $\sin(2\alpha)=\sin(180^\circ-2\alpha)$; è massima per $\alpha = 45^\circ$, quando $\sin(2\alpha) = 1$.
Un pallone viene calciato con velocità iniziale $v_0 = 50\ \text{m/s}$ formando $37^\circ$ con l'orizzontale. Usa $\sen 37^\circ \approx 0,6$ e…
Un pallone viene calciato con velocità iniziale $v_0 = 50\ \text{m/s}$ formando $37^\circ$ con l'orizzontale. Usa $\sen 37^\circ \approx 0,6$ e $\cos 37^\circ \approx 0,8$. La figura mostra la scomposizione della velocità iniziale.
- a) Calcola la componente orizzontale della velocità iniziale.
- b) Calcola la componente verticale della velocità iniziale.
La componente verticale della velocità iniziale di un proiettile è $20\ \text{m/s}$. Prendi $g \approx 10\ \text{m/s}^2$. a) Calcola il tempo che impiega a raggiungere…
La componente verticale della velocità iniziale di un proiettile è $20\ \text{m/s}$. Prendi $g \approx 10\ \text{m/s}^2$.
- a) Calcola il tempo che impiega a raggiungere il punto più alto della sua traiettoria.
- b) Se parte dal suolo e ritorna al suolo, quanto dura il suo volo completo? Giustificalo.
Una pallina da golf parte dal tee con $v_0 = 50\ \text{m/s}$ formando $37^\circ$ con l'orizzontale. Usa $\sen 37^\circ \approx 0,6$, $\cos 37^\circ \approx 0,8$ e…
Una pallina da golf parte dal tee con $v_0 = 50\ \text{m/s}$ formando $37^\circ$ con l'orizzontale. Usa $\sen 37^\circ \approx 0,6$, $\cos 37^\circ \approx 0,8$ e $g \approx 10\ \text{m/s}^2$. La traiettoria del colpo è mostrata nella figura.
- a) Calcola le componenti della velocità iniziale.
- b) Calcola il tempo di volo.
- c) Calcola la gittata su terreno orizzontale.
- d) Calcola l'altezza massima.
In una rievocazione storica, un cannone spara proiettili con $v_0 = 40\ \text{m/s}$. Prendi $g \approx 10\ \text{m/s}^2$, $\sen 37^\circ \approx 0,6$,…
In una rievocazione storica, un cannone spara proiettili con $v_0 = 40\ \text{m/s}$. Prendi $g \approx 10\ \text{m/s}^2$, $\sen 37^\circ \approx 0,6$, $\cos 37^\circ \approx 0,8$ e ricorda che $\sen(2\theta) = 2 \cdot \sen\theta \cdot \cos\theta$.
- a) Calcola la gittata per un angolo di tiro di $37^\circ$.
- b) Calcola la gittata per l'angolo complementare, $53^\circ$, e confronta i due risultati.
- c) Calcola l'altezza massima e il tempo di volo in ciascuno dei due casi.
- d) Spiega quale proprietà hanno le coppie di angoli complementari nel moto parabolico e che cosa si guadagna e che cosa si perde scegliendo l'angolo più alto.
Barche e correnti: composizione delle velocità
Arrivare esattamente di fronte
Per avere deriva nulla la barca deve puntare un po' controcorrente, con un angolo $\theta$ rispetto alla perpendicolare alla riva. La componente di $\vec{v}_b$ parallela alla riva deve annullare la corrente: $v_b\sin\theta = v_c$. La componente perpendicolare, $v_b\cos\theta$, è quella che fa avanzare la barca verso l'altra riva e determina il tempo: $t = \dfrac{L}{v_b\cos\theta}$.
Con $v_b = 4$ a $90^\circ$ (barca perpendicolare alla riva) e $v_c = 1{,}5$ a $0^\circ$ (corrente parallela alla riva), la risultante $v$ è la velocità reale della barca rispetto alla riva: procede in diagonale, combinando traversata e deriva.
Una barca con velocità propria di $4\ \text{m/s}$ attraversa un fiume largo $80\ \text{m}$ dirigendo la prua perpendicolarmente alla corrente, che trascina a…
Una barca con velocità propria di $4\ \text{m/s}$ attraversa un fiume largo $80\ \text{m}$ dirigendo la prua perpendicolarmente alla corrente, che trascina a $1,5\ \text{m/s}$. Osserva lo schema dell'attraversamento:
- a) Calcola il tempo di attraversamento.
- b) Calcola la deriva: la distanza di cui la corrente l'ha spostata a valle all'arrivo sull'altra riva.
- c) Calcola il modulo dello spostamento totale tra il punto di partenza e quello di arrivo.
Un barcaiolo vuole attraversare un fiume largo $120\ \text{m}$ arrivando esattamente al punto di fronte. La sua barca raggiunge $5\ \text{m/s}$ in acqua ferma e la…
Un barcaiolo vuole attraversare un fiume largo $120\ \text{m}$ arrivando esattamente al punto di fronte. La sua barca raggiunge $5\ \text{m/s}$ in acqua ferma e la corrente scorre a $3\ \text{m/s}$. Il diagramma delle velocità è mostrato nella figura.
- a) Calcola l'angolo controcorrente con cui deve dirigere la prua, sapendo che soddisfa $\sen\theta = \frac{3}{5}$.
- b) Calcola il modulo della velocità risultante della barca rispetto alle rive.
- c) Calcola il tempo che impiega ad attraversare.
Una barca in grado di navigare a $5\ \text{m/s}$ in acqua ferma deve attraversare un fiume largo $100\ \text{m}$ con una corrente di $3\ \text{m/s}$. a) Se dirige la…
Una barca in grado di navigare a $5\ \text{m/s}$ in acqua ferma deve attraversare un fiume largo $100\ \text{m}$ con una corrente di $3\ \text{m/s}$.
- a) Se dirige la prua perpendicolarmente alla riva, calcola il tempo di attraversamento, la deriva e il modulo dello spostamento totale.
- b) Se vuole arrivare esattamente al punto di fronte, calcola l'angolo controcorrente che deve assumere (soddisfa $\sen\theta = \frac{3}{5}$), la velocità risultante e il tempo di attraversamento.
- c) Confronta le due strategie e ragiona su quale minimizza il tempo di attraversamento e quale minimizza la lunghezza della traiettoria rispetto alla riva, basandoti sui risultati ottenuti.