Grandezze cinematiche: posizione, velocità e accelerazione vettoriali

Un drone per le consegne si trova nel punto di coordinate $(4, 3)$ di una mappa, con le distanze in metri. La figura mostra il punto e il suo vettore posizione.

1. a) Scrivi il suo vettore posizione $\vec{r}$ in funzione dei versori $\vec{i}$ e $\vec{j}$.
2. b) Calcola il modulo di $\vec{r}$ e spiega che cosa rappresenta fisicamente.

La posizione di un carrello da laboratorio è data, in unità del Sistema Internazionale, da $\vec{r}(t) = 3t\,\vec{i} + 2\,\vec{j}$.

1. a) Qual è la sua posizione iniziale?
2. b) Calcola la sua posizione quando $t = 4\ \text{s}$.
3. c) Spiega perché la traiettoria è una retta orizzontale: osserva che cosa accade alla coordinata $y$.

Un robot di un magazzino automatizzato passa dalla posizione $\vec{r}_1 = 2\,\vec{i} + \vec{j}$ alla posizione $\vec{r}_2 = 8\,\vec{i} + 9\,\vec{j}$, con le posizioni in metri. La figura rappresenta entrambe le posizioni e lo spostamento tra di esse.

1. a) Calcola il vettore spostamento $\Delta\vec{r} = \vec{r}_2 - \vec{r}_1$.
2. b) Calcola il suo modulo.

Un atleta compie esattamente un giro di pista e torna al punto di partenza dopo aver percorso $400\ \text{m}$.

1. a) Quanto vale il suo spostamento?
2. b) Quanto vale la distanza che ha percorso?
3. c) Spiega con parole tue la differenza tra la distanza percorsa e lo spostamento.

Un escursionista parte dal rifugio e si sposta di $1,2\ \text{km}$ verso est e poi di $1,6\ \text{km}$ verso nord, in un tempo totale di $0,5\ \text{h}$. Lo schema mostra il percorso dell'escursionista.

1. a) Calcola il modulo del suo spostamento totale.
2. b) Scrivi la sua velocità media vettoriale in $\text{km/h}$ e calcola il suo modulo.
3. c) Calcola l'angolo che il suo spostamento forma con la direzione est.

Una pattinatrice si muove in linea retta e si sposta di $20\ \text{m}$ nella direzione dell'asse $x$ in $4\ \text{s}$.

1. a) Scrivi il suo vettore spostamento in funzione del versore $\vec{i}$.
2. b) Calcola la sua velocità media $\vec{v}_m$ come vettore, ricordando che $\vec{v}_m = \frac{\Delta\vec{r}}{\Delta t}$.

Lo spostamento di un orientista tra due lanterne è $\Delta\vec{r} = 30\,\vec{i} - 40\,\vec{j}$, in metri, e lo completa in $10\ \text{s}$.

1. a) Calcola la sua velocità media vettoriale.
2. b) Calcola il modulo di tale velocità media.

Un robot per le pulizie di un centro commerciale si trova nella posizione $\vec{r}_1 = \vec{i} + \vec{j}$ quando $t = 0$ e nella posizione $\vec{r}_2 = 7\,\vec{i} + 9\,\vec{j}$ quando $t = 2\ \text{s}$, con le posizioni in metri.

1. a) Calcola il vettore spostamento e il suo modulo.
2. b) Calcola la velocità media vettoriale e il suo modulo.

Una persona cammina per $30\ \text{m}$ verso est in $10\ \text{s}$ e poi per $40\ \text{m}$ verso nord in altri $10\ \text{s}$.

1. a) Calcola la distanza totale percorsa e la velocità scalare media.
2. b) Calcola lo spostamento totale, il suo modulo e il modulo della velocità media.
3. c) Confronta i risultati dei due punti ed enuncia la relazione generale tra la velocità scalare media e il modulo della velocità media, indicando quando coincidono.

La posizione di una particella, in unità del Sistema Internazionale, è $\vec{r}(t) = 3t\,\vec{i} + (t^2 + 1)\,\vec{j}$.

1. a) Calcola le posizioni in $t = 0$ e in $t = 4\ \text{s}$.
2. b) Calcola lo spostamento in tale intervallo e il suo modulo.
3. c) Calcola la velocità media vettoriale in tale intervallo e il suo modulo.
4. d) La traiettoria tra i due punti è curva: spiega se la velocità scalare media in tale intervallo può coincidere con il modulo della velocità media.

Un carrello su una rotaia si muove secondo $\vec{r}(t) = t^2\,\vec{i}$, in unità del Sistema Internazionale. Il grafico $x$-$t$ del carrello, con due secanti e la retta tangente in $t = 1\ \text{s}$, è mostrato nella figura.

1. a) Calcola la sua velocità media tra $t = 1\ \text{s}$ e $t = 3\ \text{s}$.
2. b) Ripeti il calcolo per gli intervalli $[1, 2]\ \text{s}$, $[1;\ 1,1]\ \text{s}$ e $[1;\ 1,01]\ \text{s}$.
3. c) Osserva la successione dei valori ottenuti, prevedi il valore della velocità istantanea in $t = 1\ \text{s}$ e giustifica il ragionamento che ti porta a tale valore.

Una motocicletta in linea retta passa da $\vec{v}_1 = 5\,\vec{i}\ \text{m/s}$ a $\vec{v}_2 = 20\,\vec{i}\ \text{m/s}$ in $5\ \text{s}$. I vettori velocità iniziale e finale sono mostrati nella figura.

1. a) Calcola la variazione di velocità $\Delta\vec{v} = \vec{v}_2 - \vec{v}_1$.
2. b) Calcola la sua accelerazione media $\vec{a}_m = \frac{\Delta\vec{v}}{\Delta t}$.
3. c) Spiega che cosa significa il risultato: di quanto varia la sua velocità ogni secondo?

Un aereo in manovra passa da $\vec{v}_1 = 2\,\vec{i} + 3\,\vec{j}\ \text{m/s}$ a $\vec{v}_2 = 8\,\vec{i} + 9\,\vec{j}\ \text{m/s}$ in $2\ \text{s}$. La figura rappresenta entrambi i vettori velocità.

1. a) Calcola la variazione di velocità $\Delta\vec{v}$.
2. b) Calcola l'accelerazione media vettoriale e il suo modulo.

Un'automobile entra in una rotatoria con velocità $\vec{v}_1 = 12\,\vec{i}\ \text{m/s}$ e ne esce con $\vec{v}_2 = 12\,\vec{j}\ \text{m/s}$ dopo $3\ \text{s}$. La figura mostra la traiettoria nella rotatoria e i due vettori velocità.

1. a) Verifica che il modulo della velocità non è cambiato.
2. b) Calcola la variazione di velocità $\Delta\vec{v}$ e il suo modulo.
3. c) Calcola l'accelerazione media vettoriale e il suo modulo.
4. d) Spiega perché esiste accelerazione se la velocità scalare è rimasta costante.

La posizione di una barca telecomandata in uno stagno è, in unità del Sistema Internazionale, $\vec{r}(t) = 2t\,\vec{i} + t^2\,\vec{j}$. La traiettoria e le due posizioni sono mostrate nella figura.

1. a) Calcola le posizioni negli istanti $t_1 = 1\ \text{s}$ e $t_2 = 3\ \text{s}$.
2. b) Calcola lo spostamento tra questi istanti e il suo modulo.
3. c) Calcola la velocità media in tale intervallo e il suo modulo.

Un monopattino elettrico a noleggio parte dall'origine e la sua posizione, in unità del Sistema Internazionale, è $\vec{r}(t) = 3t\,\vec{i} + 2t\,\vec{j}$.

1. a) Calcola la sua posizione quando $t = 10\ \text{s}$.
2. b) In quale istante passa per un punto di coordinata $x = 90\ \text{m}$? Qual è la sua posizione completa in quel momento?
3. c) Ricava l'equazione della traiettoria $y(x)$ eliminando il tempo e spiega che tipo di curva è.

Una particella si muove secondo $\vec{r}(t) = 2t\,\vec{i} + t^2\,\vec{j}$, in unità del Sistema Internazionale.

1. a) Scrivi le equazioni parametriche $x(t)$ e $y(t)$.
2. b) Elimina il tempo e ricava l'equazione della traiettoria $y(x)$. Che tipo di curva è?
3. c) Verifica se la particella passa per il punto $(6, 9)$, in metri, e, in caso affermativo, indica in quale istante.

La posizione di una nave, in unità del Sistema Internazionale, è $\vec{r}(t) = (2 + 3t)\,\vec{i} + 4t\,\vec{j}$.

1. a) Qual è la sua posizione iniziale?
2. b) Ricava l'equazione della traiettoria $y(x)$ e classificala.
3. c) Verifica se passa per il punto $(8, 8)$, in metri, e indica in quale istante.
4. d) Calcola la distanza della nave dall'origine in quell'istante.

Un robot tagliaerba si muove in un giardino secondo $\vec{r}(t) = 2t\,\vec{i} + (12 - t)\,\vec{j}$, in unità del Sistema Internazionale.

1. a) Calcola la sua posizione iniziale.
2. b) Determina l'istante in cui attraversa la bisettrice del primo quadrante, cioè quando le sue coordinate $x$ e $y$ coincidono, e la posizione in quel momento.
3. c) Calcola la sua distanza dall'origine in quell'istante.
4. d) Calcola la velocità media tra $t = 0$ e quell'istante.

Due droni di sorveglianza si muovono, in unità del Sistema Internazionale, secondo $\vec{r}_A(t) = 5t\,\vec{i} + 3t\,\vec{j}$ e $\vec{r}_B(t) = (60 - 5t)\,\vec{i} + 18\,\vec{j}$. Le traiettorie dei due droni sono mostrate nella figura.

1. a) Scrivi le equazioni $x(t)$ e $y(t)$ di ciascun drone.
2. b) Determina l'istante e la posizione in cui si incontrano.
3. c) Calcola la distanza del punto di incontro dall'origine.
4. d) Spiega se le traiettorie dei due droni potrebbero incrociarsi in qualche altro punto diverso.