Esercizi: Moti composti

Una barca attraversa un fiume largo $40\ \text{m}$ con una velocità propria di $2\ \text{m/s}$, diretta perpendicolarmente alla corrente. Osserva lo schema dell'attraversamento:

1. a) Enuncia il principio di indipendenza dei moti di Galileo.
2. b) Applicalo per calcolare il tempo che la barca impiega ad attraversare il fiume, ragionando sul perché la corrente non modifica questo tempo.

Un drone vola verso nord a $4\ \text{m/s}$ mentre il vento lo spinge verso est a $3\ \text{m/s}$.

1. a) Calcola il modulo della velocità risultante del drone rispetto al suolo.
2. b) Tenendo conto dell'indipendenza dei moti, calcola quanto tempo impiega ad avanzare di $100\ \text{m}$ verso nord.

Un treno attraversa un ponte alto $19,6\ \text{m}$ quando un oggetto si stacca da un vagone. Prendi $g = 9,8\ \text{m/s}^2$.

1. a) Calcola il tempo che l'oggetto impiega ad arrivare al suolo.
2. b) Ragiona se questo tempo dipende dalla velocità orizzontale del treno.

Un aereo per aiuti umanitari vola orizzontalmente a $100\ \text{m/s}$ e a $500\ \text{m}$ di altezza quando lascia cadere un pacco. Prendi $g \approx 10\ \text{m/s}^2$. Osserva lo schema:

1. a) Calcola il tempo che il pacco impiega a cadere.
2. b) Calcola la distanza orizzontale che il pacco percorre prima di toccare il suolo.

Un pallone viene calciato con velocità iniziale $v_0 = 50\ \text{m/s}$ formando $37^\circ$ con l'orizzontale. Usa $\sen 37^\circ \approx 0,6$ e $\cos 37^\circ \approx 0,8$. La figura mostra la scomposizione della velocità iniziale.

1. a) Calcola la componente orizzontale della velocità iniziale.
2. b) Calcola la componente verticale della velocità iniziale.

Una pallina da tennis esce dalla racchetta con $v_0 = 20\ \text{m/s}$ formando $60^\circ$ con l'orizzontale. Usa $\sen 60^\circ \approx 0,87$ e $\cos 60^\circ = 0,5$.

1. a) Calcola la componente orizzontale della sua velocità iniziale.
2. b) Calcola la componente verticale della sua velocità iniziale.

La componente verticale della velocità iniziale di un proiettile è $20\ \text{m/s}$. Prendi $g \approx 10\ \text{m/s}^2$.

1. a) Calcola il tempo che impiega a raggiungere il punto più alto della sua traiettoria.
2. b) Se parte dal suolo e ritorna al suolo, quanto dura il suo volo completo? Giustificalo.

Una freccia esce dall'arco con una componente verticale della velocità di $30\ \text{m/s}$. Prendi $g \approx 10\ \text{m/s}^2$ e ricorda che nel punto più alto la velocità verticale si annulla.

1. a) Calcola il tempo che impiega a salire.
2. b) Calcola l'altezza massima che raggiunge rispetto al punto di partenza.

Una barca con velocità propria di $4\ \text{m/s}$ attraversa un fiume largo $80\ \text{m}$ dirigendo la prua perpendicolarmente alla corrente, che trascina a $1,5\ \text{m/s}$. Osserva lo schema dell'attraversamento:

1. a) Calcola il tempo di attraversamento.
2. b) Calcola la deriva: la distanza di cui la corrente l'ha spostata a valle all'arrivo sull'altra riva.
3. c) Calcola il modulo dello spostamento totale tra il punto di partenza e quello di arrivo.

Un barcaiolo vuole attraversare un fiume largo $120\ \text{m}$ arrivando esattamente al punto di fronte. La sua barca raggiunge $5\ \text{m/s}$ in acqua ferma e la corrente scorre a $3\ \text{m/s}$. Il diagramma delle velocità è mostrato nella figura.

1. a) Calcola l'angolo controcorrente con cui deve dirigere la prua, sapendo che soddisfa $\sen\theta = \frac{3}{5}$.
2. b) Calcola il modulo della velocità risultante della barca rispetto alle rive.
3. c) Calcola il tempo che impiega ad attraversare.

Un elicottero vola orizzontalmente a $30\ \text{m/s}$ e a $20\ \text{m}$ di altezza quando lascia cadere un pacco. Prendi $g \approx 10\ \text{m/s}^2$.

1. a) Calcola il tempo di caduta del pacco.
2. b) Calcola la gittata orizzontale del pacco.
3. c) Calcola le componenti della velocità all'arrivo al suolo e il suo modulo.

Un aereo vola orizzontalmente a $80\ \text{m/s}$ e a $720\ \text{m}$ di altezza e deve lasciar cadere un pacco in modo che cada su un punto preciso del suolo. Prendi $g \approx 10\ \text{m/s}^2$.

1. a) Calcola il tempo di caduta del pacco.
2. b) Calcola la distanza orizzontale percorsa dal pacco durante la caduta.
3. c) Ragiona a quale distanza orizzontale prima dell'obiettivo deve essere lasciato cadere il pacco.

Una pallina da golf parte dal tee con $v_0 = 50\ \text{m/s}$ formando $37^\circ$ con l'orizzontale. Usa $\sen 37^\circ \approx 0,6$, $\cos 37^\circ \approx 0,8$ e $g \approx 10\ \text{m/s}^2$. La traiettoria del colpo è mostrata nella figura.

1. a) Calcola le componenti della velocità iniziale.
2. b) Calcola il tempo di volo.
3. c) Calcola la gittata su terreno orizzontale.
4. d) Calcola l'altezza massima.

Un portiere di pallamano lancia la palla con $v_0 = 20\ \text{m/s}$ formando $30^\circ$ con l'orizzontale. Usa $\sen 30^\circ = 0,5$, $\cos 30^\circ \approx 0,87$ e $g \approx 10\ \text{m/s}^2$.

1. a) Calcola le componenti della velocità iniziale.
2. b) Calcola il tempo di volo fino a quando la palla torna all'altezza di partenza.
3. c) Calcola la gittata.
4. d) Calcola l'altezza massima.

Un giocatore di pallavolo effettua una battuta con $v_0 = 25\ \text{m/s}$ formando $53^\circ$ con l'orizzontale. Usa $\sen 53^\circ \approx 0,8$, $\cos 53^\circ \approx 0,6$ e $g \approx 10\ \text{m/s}^2$.

1. a) Calcola le componenti della velocità iniziale.
2. b) Ragiona su quanto vale la componente verticale della velocità nel punto più alto e calcola lì il modulo della velocità.
3. c) Calcola l'altezza massima e il tempo che impiega a raggiungerla.

Dalla cima di una scogliera alta $45\ \text{m}$ sul mare si lascia cadere un sasso e, nello stesso istante, se ne lancia un altro identico orizzontalmente con $10\ \text{m/s}$. Prendi $g \approx 10\ \text{m/s}^2$. Osserva lo schema della scogliera:

1. a) Calcola il tempo che il primo sasso impiega a cadere.
2. b) Ragiona, con il principio di indipendenza dei moti, quale dei due arriva prima in acqua.
3. c) Calcola la gittata orizzontale del secondo sasso.
4. d) Calcola il modulo della velocità di arrivo di ciascun sasso e confronta i risultati.

Un giocatore di rugby calcia il pallone da terra con $v_0 = 30\ \text{m/s}$ formando $53^\circ$ con l'orizzontale. Usa $\sen 53^\circ \approx 0,8$, $\cos 53^\circ \approx 0,6$ e $g \approx 10\ \text{m/s}^2$. La figura mostra la traiettoria del pallone e i pali.

1. a) Calcola le componenti della velocità iniziale.
2. b) Se i pali si trovano a $36\ \text{m}$ dal punto di battuta, calcola a che altezza passa il pallone sulla linea di meta e stabilisci se supera la traversa, situata a $3\ \text{m}$ di altezza.
3. c) Calcola l'altezza massima raggiunta dal pallone.
4. d) Calcola la gittata del pallone e stabilisci se uscirebbe dalla linea di fondo, situata a $80\ \text{m}$ dal punto di battuta.

Per un lancio su terreno orizzontale, la gittata è data da $x = \frac{v_0^2 \cdot \sen(2\theta)}{g}$, dove $\theta$ è l'angolo di lancio.

1. a) Giustifica, a partire da questa espressione, che la gittata è massima quando $\theta = 45^\circ$.
2. b) Una lanciatrice di giavellotto vuole raggiungere i $80\ \text{m}$ lanciando a $45^\circ$; prendi $g \approx 10\ \text{m/s}^2$ e calcola la velocità iniziale necessaria.
3. c) Con la stessa velocità iniziale, calcola la gittata se il lancio avviene a $30^\circ$ e verifica se raggiunge i $80\ \text{m}$. Usa $\sen 60^\circ \approx 0,87$.

In una rievocazione storica, un cannone spara proiettili con $v_0 = 40\ \text{m/s}$. Prendi $g \approx 10\ \text{m/s}^2$, $\sen 37^\circ \approx 0,6$, $\cos 37^\circ \approx 0,8$ e ricorda che $\sen(2\theta) = 2 \cdot \sen\theta \cdot \cos\theta$.

1. a) Calcola la gittata per un angolo di tiro di $37^\circ$.
2. b) Calcola la gittata per l'angolo complementare, $53^\circ$, e confronta i due risultati.
3. c) Calcola l'altezza massima e il tempo di volo in ciascuno dei due casi.
4. d) Spiega quale proprietà hanno le coppie di angoli complementari nel moto parabolico e che cosa si guadagna e che cosa si perde scegliendo l'angolo più alto.

Una barca in grado di navigare a $5\ \text{m/s}$ in acqua ferma deve attraversare un fiume largo $100\ \text{m}$ con una corrente di $3\ \text{m/s}$.

1. a) Se dirige la prua perpendicolarmente alla riva, calcola il tempo di attraversamento, la deriva e il modulo dello spostamento totale.
2. b) Se vuole arrivare esattamente al punto di fronte, calcola l'angolo controcorrente che deve assumere (soddisfa $\sen\theta = \frac{3}{5}$), la velocità risultante e il tempo di attraversamento.
3. c) Confronta le due strategie e ragiona su quale minimizza il tempo di attraversamento e quale minimizza la lunghezza della traiettoria rispetto alla riva, basandoti sui risultati ottenuti.

Uno sciatore di salto lascia il trampolino con velocità orizzontale di $20\ \text{m/s}$ da un'altezza di $80\ \text{m}$ sulla zona di atterraggio. Prendi $g \approx 10\ \text{m/s}^2$.

1. a) Calcola il tempo di volo e la gittata orizzontale.
2. b) Calcola le componenti della velocità all'arrivo nella zona di atterraggio e il suo modulo.
3. c) Calcola l'angolo che la velocità di arrivo forma con l'orizzontale.

Un aereo vola verso est con velocità propria di $200\ \text{m/s}$ mentre il vento soffia costantemente verso nord a $40\ \text{m/s}$.

1. a) Calcola il modulo della velocità risultante dell'aereo rispetto al suolo.
2. b) Calcola l'angolo di deriva: l'angolo di cui la sua traiettoria devia rispetto alla rotta est desiderata.
3. c) Se il volo dura $500\ \text{s}$, calcola la posizione dell'aereo (distanza percorsa verso est e verso nord rispetto al punto di partenza) e la distanza a cui si trova dal punto in cui sarebbe arrivato senza vento.

In un'esperienza di laboratorio, una sfera rotola su un tavolo alto $1,25\ \text{m}$ e ne esce orizzontalmente dal bordo. Sul pavimento si colloca un bicchiere il cui centro è a $1,5\ \text{m}$ dalla verticale del bordo del tavolo. Prendi $g \approx 10\ \text{m/s}^2$. Osserva lo schema:

1. a) Calcola il tempo che la sfera impiega a cadere dal bordo al suolo.
2. b) Calcola la velocità orizzontale con cui deve uscire dal tavolo per cadere nel bicchiere.
3. c) Con questa velocità, calcola le componenti e il modulo della velocità della sfera all'arrivo al suolo.

Un'arciera scocca una freccia con $v_0 = 25\ \text{m/s}$ formando $37^\circ$ con l'orizzontale. Usa $\sen 37^\circ \approx 0,6$, $\cos 37^\circ \approx 0,8$ e $g \approx 10\ \text{m/s}^2$.

1. a) Calcola le componenti della velocità iniziale.
2. b) Scrivi le equazioni $x(t)$ e $y(t)$, elimina il tempo e ottieni l'equazione della traiettoria $y(x)$.
3. c) C'è un pannello pubblicitario alto $5\ \text{m}$ a $20\ \text{m}$ dal punto di tiro: calcola a che altezza passa la freccia sopra di esso e stabilisci se lo supera.
4. d) Calcola la gittata della freccia su terreno orizzontale.

Sfida del tema. Indaga la cinematica di un lancio orizzontale analizzando l'influenza dell'ambiente.

1. Variabili termodinamiche: Consulta sul sito dell'servizio meteorologico la temperatura $T$ ($^\circ\text{C}$) e la pressione $P$ ($\text{hPa}$) attuali della tua località per registrare lo stato termodinamico dell'aria circostante.

2. Moti rettilineo e circolare: Usa un piano inclinato (moto rettilineo uniformemente accelerato) o una ruota di bicicletta capovolta che giri uniformemente (moto circolare uniforme) con raggio noto, per esempio $R = (30,0 \pm 0,1)\text{ cm}$, per lanciare una biglia con velocità iniziale orizzontale $v_0$. Determina $v_0$ in modo indipendente dalla gittata: con la ruota, misura $\omega$ cronometrando 10 giri e usa $v_0 = \omega R$; con il piano inclinato, cronometra il passaggio della biglia su un tratto finale orizzontale di lunghezza nota. Stima l'incertezza di ciascuna $v_0$.

3. Moto composto e misure: Lancia la biglia orizzontalmente dal bordo di un tavolo posto a un'altezza $h = (80,0 \pm 0,5)\text{ cm}$. Misura con un metro a nastro (incertezza $\pm 0,1\text{ cm}$) la gittata orizzontale $x$ per 5 velocità iniziali diverse, eseguendo 3 ripetizioni per ciascuna per calcolare il valore medio e la dispersione.

4. Prodotto finale: Elabora una breve relazione che contenga la tabella dei dati sperimentali, un grafico della gittata $x$ in funzione di $v_0$ e una discussione ragionata sul fatto che i valori delle variabili termodinamiche ambientali producano scostamenti apprezzabili rispetto al moto parabolico ideale nel vuoto.

Sarà valutato:

• Ottenimento rigoroso di misure sperimentali ed espressione adeguata delle loro incertezze.

• Qualità tecnica nell'elaborazione della tabella e del grafico cinematico.

• Integrazione coerente dei tipi di moto (rettilineo, circolare e composto) con le variabili termodinamiche.

• Capacità critica e chiarezza espositiva nelle conclusioni della relazione.