Loi de Wien et puissance du rayonnement solaire
Sur le toit d'un entrepôt près de Perpignan, des milliers de panneaux photovoltaïques captent la lumière du Soleil. Pourquoi cette lumière est-elle blanc-jaune, alors que celle d'un radiateur est rouge-orangé ? Combien de puissance arrive réellement sur un panneau ? Et pourquoi la Terre n'est-elle ni brûlante ni glacée ? Trois lois simples permettent d'y répondre.
Loi de Wien : la couleur dit la température
Un morceau de métal chauffé devient rouge, puis orange, puis blanc. Plus un objet est chaud, plus il émet de lumière vers les courtes longueurs d'onde. Tout objet émet un rayonnement qui dépend de sa température, même ceux qui ne brillent pas : ton corps émet de l'infrarouge.
On modélise un objet qui émet ainsi par un corps noir. Son spectre est continu et possède un maximum, à la longueur d'onde $\lambda_{max}$.
Observe : quand $T$ augmente, la courbe monte (le corps émet plus) et son maximum se décale vers la gauche (vers les petites longueurs d'onde).
Pourquoi un produit constant ? Si $T$ double, $\lambda_{max}$ est divisée par 2 : température et longueur d'onde varient en sens inverse. Cette loi est utile car elle permet de mesurer la température d'une étoile sans l'approcher, simplement en analysant sa lumière.
La loi de Wien relie la longueur d'onde $\lambda_{max}$ du maximum d'émission d'un corps noir à sa température absolue $T$ :…
La loi de Wien relie la longueur d'onde $\lambda_{max}$ du maximum d'émission d'un corps noir à sa température absolue $T$ : $\lambda_{max} \times T = 2,90 \times 10^{-3}$ m·K.
- a) Calculer $\lambda_{max}$ pour la surface du Soleil, de température $T = 5 800$ K.
- b) Exprimer le résultat en nanomètres et indiquer dans quel domaine du spectre il se situe.
Une étoile a une température de surface $T = 3 500$ K. On rappelle que $\lambda_{max} \times T = 2,90 \times 10^{-3}$ m·K. a) Calculer la longueur d'onde $\lambda_{max}$…
Une étoile a une température de surface $T = 3 500$ K. On rappelle que $\lambda_{max} \times T = 2,90 \times 10^{-3}$ m·K.
- a) Calculer la longueur d'onde $\lambda_{max}$ du maximum d'émission de cette étoile, en nanomètres.
- b) Cette étoile est-elle plus chaude ou plus froide que le Soleil ($T = 5 800$ K) ? Justifier à l'aide de la loi de Wien.
Le filament d'une ampoule à incandescence, assimilé à un corps noir, émet avec un maximum à $\lambda_{max} = 1,0\ \mu$m. On donne…
Le filament d'une ampoule à incandescence, assimilé à un corps noir, émet avec un maximum à $\lambda_{max} = 1,0\ \mu$m. On donne $\lambda_{max} \times T = 2,90 \times 10^{-3}$ m·K.
- a) Calculer la température du filament, en kelvins puis en degrés Celsius.
- b) Le maximum d'émission est-il dans le domaine visible ? Que peut-on en déduire sur le rendement lumineux de l'ampoule ?
Flux, puissance et énergie reçues
Le rayonnement transporte de l'énergie. Pour savoir ce qu'un panneau solaire reçoit, on distingue trois grandeurs.
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Le flux (ou éclairement) $S$, en $\mathrm{W\cdot m^{-2}}$ : la puissance reçue par mètre carré.
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La puissance $P$, en watts (W) : l'énergie reçue par seconde.
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L'énergie $E$, en joules (J) ou en kilowattheures (kWh).
Au sommet de l'atmosphère, le flux solaire reçu perpendiculairement aux rayons est la constante solaire $S_0 = 1\,361\ \mathrm{W\cdot m^{-2}}$. Le « perpendiculairement » est important : si les rayons arrivent obliquement, la même énergie s'étale sur une surface plus grande et le flux par mètre carré diminue.
De S₀ à la Terre entière
La Terre est une sphère, mais pour le Soleil elle ressemble à un disque de rayon $R_T$ : c'est ce disque, de surface $\pi R_T^2$, qui intercepte les rayons.
La puissance interceptée est $P = S_0 \times \pi R_T^2$. Mais cette puissance se répartit sur toute la sphère, de surface $4\pi R_T^2$ : jour et nuit, équateur et pôles. En moyenne, chaque mètre carré reçoit donc
$$\frac{S_0\,\pi R_T^2}{4\pi R_T^2} = \frac{S_0}{4}.$$Le facteur $4$ vient du rapport entre la surface de la sphère et celle du disque. Retiens que $\dfrac{S_0}{4} \approx 340\ \mathrm{W\cdot m^{-2}}$.
Le flux solaire reçu par une surface perpendiculaire aux rayons, au sommet de l'atmosphère terrestre, vaut $S_0 = 1 361$ W·m$^{-2}$. a) Calculer la puissance reçue par…
Le flux solaire reçu par une surface perpendiculaire aux rayons, au sommet de l'atmosphère terrestre, vaut $S_0 = 1 361$ W·m$^{-2}$.
- a) Calculer la puissance reçue par un panneau de 2,0 m$^2$ placé perpendiculairement aux rayons, à ce niveau.
- b) Calculer l'énergie reçue en 1 h, en joules puis en kilowattheures.
Le rayon de la Terre est $R_T = 6 371$ km et le flux solaire au sommet de l'atmosphère, perpendiculaire aux rayons, est $S_0 = 1 361$ W·m$^{-2}$. a) Exprimer la surface…
Le rayon de la Terre est $R_T = 6 371$ km et le flux solaire au sommet de l'atmosphère, perpendiculaire aux rayons, est $S_0 = 1 361$ W·m$^{-2}$.
- a) Exprimer la surface $\pi R_T^2$ du disque que la Terre présente au rayonnement solaire, en m$^2$.
- b) Calculer la puissance solaire totale interceptée par la Terre.
- c) Calculer la puissance moyenne reçue par mètre carré de la surface terrestre sphérique, sachant que sa surface est $4\pi R_T^2$. Comparer à $S_0$ et expliquer le facteur obtenu.
Une centrale photovoltaïque près de Perpignan occupe 12 000 m$^2$ de panneaux. L'éclairement moyen reçu sur les panneaux est de 220 W·m$^{-2}$ sur l'année et le…
Une centrale photovoltaïque près de Perpignan occupe 12 000 m$^2$ de panneaux. L'éclairement moyen reçu sur les panneaux est de 220 W·m$^{-2}$ sur l'année et le rendement de conversion est de 18 %.
- a) Calculer la puissance électrique moyenne fournie.
- b) Calculer l'énergie électrique produite en un an, en MWh (une année compte 8 760 h).
- c) Un foyer français consomme en moyenne 4 700 kWh par an. Estimer le nombre de foyers alimentés.
La puissance rayonnée par un corps noir
La loi de Wien donne la couleur du maximum. Mais combien d'énergie un corps noir émet-il en tout ? La réponse est la loi de Stefan-Boltzmann.
La puissance dépend de $T^4$ : si la température double, la puissance est multipliée par $2^4 = 16$. Un petit écart de température change donc beaucoup l'énergie émise.
Cas du Soleil. Pour une sphère de rayon $R_S$, la surface est $4\pi R_S^2$, donc $P_S = \sigma T_S^4 \times 4\pi R_S^2$. Cette puissance se répartit ensuite sur une sphère de rayon $d$ (la distance Terre-Soleil). Le flux reçu à la distance $d$ est donc
$$\Phi = \frac{P_S}{4\pi d^2}.$$Plus on est loin, plus l'énergie est diluée : le flux diminue comme $\dfrac{1}{d^2}$.
Le Soleil a une température de surface $T_S = 5 800$ K et un rayon $R_S = 6,96 \times 10^{8}$ m. Il rayonne comme un corps noir ($\sigma = 5,67 \times 10^{-8}$…
Le Soleil a une température de surface $T_S = 5 800$ K et un rayon $R_S = 6,96 \times 10^{8}$ m. Il rayonne comme un corps noir ($\sigma = 5,67 \times 10^{-8}$ W·m$^{-2}$·K$^{-4}$). La distance Terre-Soleil est $d = 1,50 \times 10^{11}$ m.
- a) Calculer la puissance totale émise par le Soleil.
- b) En déduire le flux reçu à la distance $d$ sur une surface perpendiculaire aux rayons.
- c) Comparer à la valeur mesurée $1 361$ W·m$^{-2}$ et commenter.
- d) Calculer la longueur d'onde du maximum d'émission avec $\lambda_{max} T = 2,90\times10^{-3}$ m·K.
Albédo et équilibre radiatif de la Terre
Toute la lumière reçue n'est pas absorbée : une partie est réfléchie vers l'espace par les nuages, les glaces, les océans ou le sol.
La puissance absorbée par la Terre est donc :
$$P_{abs} = (1-A)\,S_0\,\pi R_T^2$$Pour une température constante, il faut que la Terre renvoie à l'espace autant d'énergie qu'elle en absorbe : c'est l'équilibre radiatif. La Terre se comporte alors comme un corps noir à la température $T$, qui rayonne sur toute sa surface :
$$P_{emise} = \sigma T^4 \times 4\pi R_T^2$$Effet de serre
Pour la Terre, le même calcul donne une température d'équilibre voisine de $-18\ ^\circ\mathrm{C}$, alors que la température moyenne réellement observée est d'environ $15\ ^\circ\mathrm{C}$. L'écart d'environ $33$ °C est dû à l'effet de serre : la vapeur d'eau, le dioxyde de carbone ($\mathrm{CO_2}$) et d'autres gaz de l'atmosphère laissent passer le rayonnement visible du Soleil, mais absorbent une partie de l'infrarouge émis par la surface et en renvoient une partie vers le sol. Le sol est donc plus chaud que si l'atmosphère était absente.
Rétroaction de l'albédo
Imagine un refroidissement : les glaces s'étendent, l'albédo augmente, la Terre absorbe moins d'énergie et se refroidit encore plus. C'est une boucle de rétroaction positive : l'effet amplifie la cause. À l'inverse, la fonte des glaces diminue l'albédo et accentue le réchauffement.
La Terre, de rayon $R_T$, reçoit du Soleil un flux $S_0 = 1 361$ W·m$^{-2}$ et son albédo moyen est $A = 0,30$. On suppose le système en équilibre radiatif et la Terre…
La Terre, de rayon $R_T$, reçoit du Soleil un flux $S_0 = 1 361$ W·m$^{-2}$ et son albédo moyen est $A = 0,30$. On suppose le système en équilibre radiatif et la Terre rayonnant comme un corps noir, de loi $P = \sigma T^4 \times$ surface, avec $\sigma = 5,67 \times 10^{-8}$ W·m$^{-2}$·K$^{-4}$.
- a) Montrer que la puissance absorbée vaut $(1-A)\,S_0\,\pi R_T^2$.
- b) Établir que la température d'équilibre vérifie $\sigma T^4 = \dfrac{(1-A)S_0}{4}$.
- c) Calculer $T$ en kelvins puis en degrés Celsius.
- d) La température moyenne observée est d'environ 15 °C. Interpréter l'écart par l'effet de serre.
Une planète sans atmosphère, de rayon $R$, est à l'équilibre radiatif. Elle reçoit un flux $S$ et son albédo est $A$. a) Exprimer sa température d'équilibre $T_e$ en…
Une planète sans atmosphère, de rayon $R$, est à l'équilibre radiatif. Elle reçoit un flux $S$ et son albédo est $A$.
- a) Exprimer sa température d'équilibre $T_e$ en fonction de $S$, $A$ et $\sigma$.
- b) Calculer $T_e$ pour $S = 1 361$ W·m$^{-2}$ et $A = 0,30$, puis pour $A = 0,60$ (par exemple après une forte éruption volcanique ou un englacement).
- c) Expliquer pourquoi un accroissement de l'albédo dû à l'extension des glaces peut amplifier un refroidissement.
Retour au début : la lumière blanc-jaune du Soleil vient de sa température de surface (loi de Wien). La puissance reçue par un panneau se calcule avec $P = \Phi \times S_{surf}$, et le rendement dit ce qu'il en reste en électricité. Enfin, l'albédo et l'effet de serre expliquent pourquoi la Terre n'est ni brûlante ni glacée.
L'essentiel
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Loi de Wien : $\lambda_{max} \times T = 2{,}90 \times 10^{-3}\ \mathrm{m\cdot K}$, avec $T$ en kelvins. Plus un corps est chaud, plus $\lambda_{max}$ est petite.
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Puissance et énergie : $P = \Phi \times S_{surf}$ (surface perpendiculaire aux rayons) et $E = P \times \Delta t$. La constante solaire vaut $S_0 = 1\,361\ \mathrm{W\cdot m^{-2}}$.
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Terre entière : elle intercepte $S_0\,\pi R_T^2$ mais rayonne sur $4\pi R_T^2$, d'où un flux moyen de $\dfrac{S_0}{4}$.
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Loi de Stefan-Boltzmann : $P = \sigma T^4 \times S_{surf}$, avec $\sigma = 5{,}67\times10^{-8}\ \mathrm{W\cdot m^{-2}\cdot K^{-4}}$.
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Équilibre radiatif : $\sigma T^4 = \dfrac{(1-A)\,S}{4}$. L'albédo $A$ est la fraction réfléchie.
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Effet de serre : il explique l'écart entre la température d'équilibre (environ $-18\ ^\circ\mathrm{C}$) et la température observée (environ $15\ ^\circ\mathrm{C}$).