Gammes, intervalles et harmoniques
Le 21 juin, à la Fête de la musique, un guitariste et un pianiste jouent la même note : un la. Pourtant, tu les distingues sans hésiter. Et avant de jouer ensemble, ils s'accordent en écoutant un son qui « bat ». Que se passe-t-il dans les fréquences ? Pourquoi deux notes « s'accordent-elles » bien ? Comment un accordeur règle-t-il un instrument ? Tu vas le comprendre avec un seul outil : le rapport de fréquences.
Intervalles et rapports de fréquences
Pour la hauteur d'un son, ce n'est pas la différence de fréquences qui compte, mais leur rapport. L'oreille entend le même « écart musical » entre 220 Hz et 440 Hz qu'entre 440 Hz et 880 Hz, alors que les différences valent 220 Hz et 440 Hz. À chaque fois, la fréquence est multipliée par 2.
Deux intervalles sont à connaître :
| Intervalle | Rapport de fréquences |
|---|---|
| Octave | $2$ |
| Quinte juste | $\dfrac{3}{2} = 1{,}5$ |
Pourquoi un rapport ? Une note est perçue de la même façon si on multiplie toutes les fréquences par un même nombre : la mélodie reste reconnaissable, seulement transposée. Seul le rapport est conservé par cette transposition.
Le la$3$ du diapason a une fréquence de 440 Hz. a) Calculer la fréquence du la$4$, situé une octave au-dessus. b) Calculer la fréquence du la$2$, situé une octave…
Le la$_3$ du diapason a une fréquence de 440 Hz.
- a) Calculer la fréquence du la$_4$, situé une octave au-dessus.
- b) Calculer la fréquence du la$_2$, situé une octave au-dessous.
- c) Donner le rapport de fréquences d'une octave.
Une quinte juste correspond à un rapport de fréquences de $\dfrac{3}{2}$. Une note a pour fréquence 264 Hz. a) Calculer la fréquence de la note située une quinte juste…
Une quinte juste correspond à un rapport de fréquences de $\dfrac{3}{2}$. Une note a pour fréquence 264 Hz.
- a) Calculer la fréquence de la note située une quinte juste au-dessus.
- b) Calculer la fréquence de la note située une quinte juste au-dessous.
Harmoniques et timbre
Un instrument qui joue une note ne produit pas une seule fréquence. Son spectre contient plusieurs raies.
La fréquence $f_1$ du fondamental est la fréquence du son complet : c'est elle qui donne sa hauteur. Voici le spectre d'un son de fondamental 220 Hz.
Les raies sont équidistantes : leur écart est égal à $f_1$. C'est la signature d'un son périodique.
Le timbre dépend du nombre d'harmoniques présents et de leurs amplitudes relatives. Deux instruments qui jouent la même note ont le même fondamental (même hauteur) mais des spectres différents, donc des timbres différents. C'est ce qui permet de distinguer la guitare du piano à la Fête de la musique.
Un instrument émet un son de fréquence fondamentale $f_1 = 220$ Hz. a) Définir les harmoniques d'un son. b) Calculer les fréquences des harmoniques de rang 2, 3 et 4.
Un instrument émet un son de fréquence fondamentale $f_1 = 220$ Hz.
- a) Définir les harmoniques d'un son.
- b) Calculer les fréquences des harmoniques de rang 2, 3 et 4.
Le spectre d'un son de clarinette contient des raies aux fréquences 147 Hz, 441 Hz, 735 Hz et 1 029 Hz, d'amplitudes décroissantes. a) Identifier la fréquence…
Le spectre d'un son de clarinette contient des raies aux fréquences 147 Hz, 441 Hz, 735 Hz et 1 029 Hz, d'amplitudes décroissantes.
- a) Identifier la fréquence fondamentale et justifier que le son est périodique.
- b) Pourquoi cette clarinette ne présente-t-elle que des harmoniques de rang impair ?
- c) Calculer la période du son et le rapport entre la fréquence de la raie la plus aiguë et le fondamental.
- d) Expliquer pourquoi deux instruments jouant la même note ont des timbres différents.
Gammes : Pythagore et tempérament égal
Une gamme est une suite de notes qui se répartissent dans une octave. Il existe plusieurs façons de les construire.
La gamme de Pythagore
On part d'une note et on enchaîne des quintes de rapport $\dfrac{3}{2}$. Quand la fréquence dépasse celle de l'octave de départ, on la divise par 2 pour revenir dans l'octave.
La gamme tempérée
Au piano, l'octave est découpée en 12 demi-tons égaux : entre deux notes voisines, le rapport de fréquences est toujours le même nombre $r$. Après 12 demi-tons, on doit avoir multiplié par 2 :
$$r^{12} = 2 \quad \text{donc} \quad r = 2^{1/12} \approx 1{,}0595.$$Pour monter de $k$ demi-tons, on multiplie par $r^k = 2^{k/12}$. Pourquoi des puissances ? Parce que les rapports se multiplient quand les intervalles s'enchaînent : deux demi-tons font $r \times r = r^2$.
La quinte tempérée (7 demi-tons) vaut $2^{7/12} \approx 1{,}4983$, très proche de la quinte juste $1{,}5$ : l'écart relatif est d'environ 0,1 %, inaudible pour la plupart des oreilles.
Pourquoi la gamme de Pythagore ne « boucle » pas
Si on enchaîne 12 quintes, on devrait retomber sur le do de départ, 7 octaves plus haut. Or $\left(\dfrac{3}{2}\right)^{12}$ ramené dans l'octave par division par $2^{7}$ donne $\dfrac{3^{12}}{2^{19}} \approx 1{,}0136$, et non 1. Cet écart de 1,36 % s'appelle le comma pythagoricien. Le tempérament égal le « répartit » sur les 12 quintes pour que la gamme se referme.
Dans la gamme tempérée, l'octave est divisée en 12 demi-tons de rapport de fréquences identique $r$. a) Montrer que $r = 2^{1/12}$ et calculer sa valeur. b) Calculer la…
Dans la gamme tempérée, l'octave est divisée en 12 demi-tons de rapport de fréquences identique $r$.
- a) Montrer que $r = 2^{1/12}$ et calculer sa valeur.
- b) Calculer la fréquence de la note située 7 demi-tons au-dessus du la$_3$ (440 Hz).
- c) Comparer à la quinte juste $\dfrac{3}{2}$ : calculer le rapport $2^{7/12}$ et l'écart relatif.
Dans la gamme de Pythagore, on construit les notes par quintes successives de rapport $\dfrac{3}{2}$, en ramenant dans l'octave par division par 2 si nécessaire. Partant…
Dans la gamme de Pythagore, on construit les notes par quintes successives de rapport $\dfrac{3}{2}$, en ramenant dans l'octave par division par 2 si nécessaire. Partant de do à 264 Hz :
- a) Calculer les fréquences des notes obtenues après 1, 2, 3 quintes ascendantes, en les ramenant dans l'octave $[264;528[$ Hz.
- b) Montrer que le rapport des fréquences entre la note obtenue après 12 quintes, ramenée dans l'octave, et le do vaut $\dfrac{3^{12}}{2^{19}}$.
- c) Calculer l'écart avec 1 (le « comma pythagoricien ») et expliquer pourquoi la gamme ne « boucle » pas.
Battements et accord
Quand on fait sonner ensemble deux sons purs de fréquences très proches, le son résultant voit son intensité monter et descendre régulièrement : ce sont les battements.
Pourquoi ? Les deux ondes sont tantôt en phase (elles s'ajoutent : son fort), tantôt en opposition de phase (elles se compensent : son faible). Le décalage s'accumule à raison de $|f_2 - f_1|$ cycles par seconde.
Pour accorder, on joue la note de référence et la note de l'instrument, puis on règle l'instrument jusqu'à ce que les battements disparaissent ($f_b \to 0$) : les fréquences sont alors égales.
Deux diapasons émettent des sons purs de fréquences $f_1 = 440$ Hz et $f_2 = 444$ Hz. On les fait sonner simultanément. a) Calculer la fréquence des battements. b)…
Deux diapasons émettent des sons purs de fréquences $f_1 = 440$ Hz et $f_2 = 444$ Hz. On les fait sonner simultanément.
- a) Calculer la fréquence des battements.
- b) Calculer la période des battements.
- c) Expliquer comment un accordeur utilise ce phénomène pour accorder un instrument.
Cordes et tuyaux
D'où viennent les harmoniques ? Une corde fixée à ses deux extrémités ne peut vibrer qu'avec certaines fréquences, car l'onde doit « tenir » exactement sur la corde : on parle de modes propres.
À célérité constante, la fréquence est inversement proportionnelle à la longueur. Pour doubler la fréquence, il faut diviser $L$ par 2 : c'est ce que fait un guitariste en appuyant sur une case au milieu de la corde.
Tuyaux sonores
Dans un tuyau d'orgue ou une flûte, c'est la colonne d'air qui vibre. Pour un tuyau ouvert aux deux bouts, on retrouve $f_n = n\dfrac{v}{2L}$. Pour un tuyau fermé à un bout, $f_n = (2n-1)\dfrac{v}{4L}$ : seuls les harmoniques de rang impair existent ($f_1$, $3f_1$, $5f_1$…), comme pour la clarinette. À fréquence fondamentale égale, un tuyau fermé est donc deux fois plus court qu'un tuyau ouvert.
Une corde de guitare de longueur $L = 0,65$ m vibre en mode fondamental. Les ondes se propagent sur la corde à la célérité $v = 260$ m·s$^{-1}$. On rappelle que…
Une corde de guitare de longueur $L = 0,65$ m vibre en mode fondamental. Les ondes se propagent sur la corde à la célérité $v = 260$ m·s$^{-1}$. On rappelle que $f_n = n\dfrac{v}{2L}$.
- a) Calculer la fréquence fondamentale.
- b) Calculer la fréquence de l'harmonique de rang 3.
- c) Calculer la longueur de la corde à vibrer pour obtenir une fréquence double, à célérité constante, et expliquer le geste du guitariste.
Un orgue possède un tuyau ouvert de longueur $L$ qui émet un fondamental $f_1 = \dfrac{v}{2L}$, avec $v = 340$ m·s$^{-1}$ dans l'air. a) Calculer la longueur du tuyau…
Un orgue possède un tuyau ouvert de longueur $L$ qui émet un fondamental $f_1 = \dfrac{v}{2L}$, avec $v = 340$ m·s$^{-1}$ dans l'air.
- a) Calculer la longueur du tuyau pour émettre le do$_2$ de fréquence 65,4 Hz.
- b) Calculer les fréquences des trois premiers harmoniques.
- c) Un tuyau fermé a pour fréquences $f_n = (2n-1)\dfrac{v}{4L}$. Calculer sa longueur pour émettre la même fréquence fondamentale et comparer.
- d) Un deuxième tuyau émet 66,0 Hz. Calculer la fréquence des battements entre les deux fondamentaux.
Retour au début : le guitariste et le pianiste jouent le même fondamental (même hauteur) mais des harmoniques d'amplitudes différentes (timbres différents). Pour s'accorder, ils règlent leurs instruments jusqu'à ce que les battements disparaissent.
L'essentiel
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Un intervalle est défini par un rapport de fréquences : octave $= 2$, quinte juste $= \dfrac{3}{2}$. Monter : multiplier ; descendre : diviser.
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Un son périodique de fondamental $f_1$ contient des harmoniques de fréquences $f_n = n f_1$ ; la hauteur est donnée par $f_1$, le timbre par les amplitudes des harmoniques.
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Gamme de Pythagore : quintes successives ramenées dans l'octave (division par 2). Elle ne boucle pas : comma pythagoricien $\dfrac{3^{12}}{2^{19}} \approx 1{,}0136$.
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Gamme tempérée : 12 demi-tons de rapport $2^{1/12} \approx 1{,}0595$ ; $k$ demi-tons correspondent au rapport $2^{k/12}$.
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Battements : $f_b = |f_2 - f_1|$, $T_b = \dfrac{1}{f_b}$ ; on accorde en les faisant disparaître.
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Corde ou tuyau ouvert : $f_n = n\dfrac{v}{2L}$ ; tuyau fermé : $f_n = (2n-1)\dfrac{v}{4L}$.