Maille et compacité
Sur l'étal d'un marché, le primeur empile ses oranges en pyramide, en posant chaque fruit dans le creux formé par les fruits du dessous. Il n'a pas choisi cet empilement au hasard : c'est celui qui gaspille le moins de place. Les atomes d'un métal s'empilent de la même façon. Quelle fraction du volume d'un cristal est réellement occupée par la matière ? C'est la question de la compacité, et tu sauras y répondre à la fin de cette page.
De la maille au cristal
Un cristal est un solide ordonné : ses atomes, ions ou molécules se répètent régulièrement dans les trois directions de l'espace. L'ensemble des positions occupées forme le réseau cristallin.
Pour décrire ce cristal immense, on isole le plus petit morceau qui, répété par translation, reconstruit tout le réseau : c'est la maille élémentaire. Dans ce chapitre, toutes les mailles sont cubiques. Le côté du cube est le paramètre de maille $a$ (souvent en picomètres : $1\ \text{pm} = 10^{-12}\ \text{m}$).
On rencontre trois mailles cubiques pour les métaux :
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la cubique simple (CS) : un atome à chaque sommet ;
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la cubique centrée (CC) : un atome à chaque sommet et un au centre du cube ;
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la cubique à faces centrées (CFC) : un atome à chaque sommet et un au centre de chaque face.
Compter les atomes par maille
Dans la figure, chaque atome de sommet est dessiné entier, mais il n'appartient pas qu'à cette maille : les mailles voisines le partagent. Un atome de sommet touche 8 mailles, donc un huitième de lui se trouve dans chacune. On compte la part qui est dans la maille.
| Position de l'atome | Nombre de mailles qui le partagent | Part comptée |
|---|---|---|
| Sommet | 8 | $\dfrac{1}{8}$ |
| Arête (milieu) | 4 | $\dfrac{1}{4}$ |
| Face (centre) | 2 | $\dfrac{1}{2}$ |
| Intérieur de la maille | 1 | $1$ |
Une maille cubique simple contient un atome à chacun de ses 8 sommets, chaque atome étant partagé entre 8 mailles. a) Calculer le nombre d'atomes par maille. b) Les…
Une maille cubique simple contient un atome à chacun de ses 8 sommets, chaque atome étant partagé entre 8 mailles.
- a) Calculer le nombre d'atomes par maille.
- b) Les atomes sont tangents le long d'une arête de longueur $a$ : exprimer le rayon $r$ en fonction de $a$.
Une maille cubique à faces centrées (CFC) a un atome à chaque sommet (partagé entre 8 mailles) et un atome au centre de chaque face (partagé entre 2 mailles). a)…
Une maille cubique à faces centrées (CFC) a un atome à chaque sommet (partagé entre 8 mailles) et un atome au centre de chaque face (partagé entre 2 mailles).
- a) Calculer le nombre d'atomes par maille.
- b) Une maille cubique centrée contient 8 sommets et un atome au centre : calculer le nombre d'atomes par maille.
Atomes tangents et compacité
Pour calculer le volume occupé, on modélise les atomes comme des sphères dures de rayon $r$. Dans un métal, les atomes les plus proches se touchent : ils sont tangents. Cette condition de tangence relie $r$ au paramètre $a$, en utilisant la géométrie (théorème de Pythagore) selon la direction où les sphères se touchent.
Le sens de la formule : $\dfrac43\pi r^3$ est le volume d'un atome, $N$ le nombre d'atomes dans la maille, donc le numérateur est le volume total de matière dans la maille.
Maille cubique simple
Les atomes sont tangents le long d'une arête : $2r = a$, donc $r = \dfrac a2$. Avec $N = 1$ :
$$C = \frac{\frac43\pi\left(\frac a2\right)^3}{a^3} = \frac{\pi}{6} \approx 0{,}52$$Maille cubique à faces centrées
Les atomes sont tangents le long de la diagonale d'une face, de longueur $a\sqrt2$ (Pythagore dans un carré de côté $a$). Sur cette diagonale, il y a un rayon à chaque extrémité (atomes de sommet, soit 2 rayons) et un diamètre au milieu (atome du centre de la face, soit 2 rayons), soit en tout quatre rayons : $4r = a\sqrt2$.
Donc $r = \dfrac{a\sqrt2}{4}$ et $r^3 = \dfrac{a^3\sqrt2}{32}$. Avec $N = 4$ :
$$C = \frac{4 \times \frac43\pi \times \frac{a^3\sqrt2}{32}}{a^3} = \frac{\pi\sqrt2}{6} \approx 0{,}74$$Maille cubique centrée
Les atomes sont tangents le long de la grande diagonale du cube, de longueur $a\sqrt3$ : elle contient un rayon à chaque extrémité (2 rayons) et un diamètre central (2 rayons), soit $4r = a\sqrt3$. Avec $N = 2$, on trouve $C = \dfrac{\pi\sqrt3}{8} \approx 0{,}68$.
| Maille | $N$ | Contact | $C$ |
|---|---|---|---|
| CS | 1 | arête : $r = a/2$ | $0{,}52$ |
| CC | 2 | grande diagonale : $r = a\sqrt3/4$ | $0{,}68$ |
| CFC | 4 | diagonale de face : $r = a\sqrt2/4$ | $0{,}74$ |
On définit la compacité d'un cristal par $C = \dfrac{N \times \frac{4}{3}\pi r^3}{V_{maille}}$, où $N$ est le nombre d'atomes par maille. Pour la maille cubique simple,…
On définit la compacité d'un cristal par $C = \dfrac{N \times \frac{4}{3}\pi r^3}{V_{maille}}$, où $N$ est le nombre d'atomes par maille.
Pour la maille cubique simple, $N = 1$, $r = \dfrac{a}{2}$ et $V_{maille} = a^3$.
- a) Calculer $C$.
- b) Exprimer le résultat en pourcentage.
Dans la maille CFC, les atomes sont tangents le long de la diagonale d'une face, de longueur $a\sqrt{2}$. a) Montrer que $4r = a\sqrt{2}$. b) Exprimer le volume des…
Dans la maille CFC, les atomes sont tangents le long de la diagonale d'une face, de longueur $a\sqrt{2}$.
- a) Montrer que $4r = a\sqrt{2}$.
- b) Exprimer le volume des atomes dans la maille en fonction de $a$.
- c) Calculer la compacité.
Le fer à température ambiante cristallise en cubique centré, avec des atomes tangents le long de la grande diagonale du cube, de longueur $a\sqrt{3}$. a) Montrer que…
Le fer à température ambiante cristallise en cubique centré, avec des atomes tangents le long de la grande diagonale du cube, de longueur $a\sqrt{3}$.
- a) Montrer que $r = \dfrac{a\sqrt{3}}{4}$.
- b) Calculer la compacité.
- c) Comparer à celle de la maille CFC ($0,74$) et conclure.
Masse volumique d'un cristal
La maille donne aussi accès à une grandeur mesurable : la masse volumique $\rho$. Il suffit de calculer la masse d'une maille et de la diviser par son volume.
La masse d'un atome est $\dfrac{M}{N_A}$, avec $M$ la masse molaire et $N_A = 6{,}02 \times 10^{23}\ \text{mol}^{-1}$. Une maille contenant $N$ atomes :
Le cuivre cristallise en CFC avec un paramètre de maille $a = 361$ pm. Sa masse molaire est $M = 63,5$ g·mol$^{-1}$ et $N_A = 6,02\times10^{23}$ mol$^{-1}$. a) Calculer…
Le cuivre cristallise en CFC avec un paramètre de maille $a = 361$ pm. Sa masse molaire est $M = 63,5$ g·mol$^{-1}$ et $N_A = 6,02\times10^{23}$ mol$^{-1}$.
- a) Calculer la masse d'une maille.
- b) Calculer le volume de la maille en cm$^3$.
- c) En déduire la masse volumique du cuivre en g·cm$^{-3}$.
L'aluminium cristallise en CFC avec $r = 143$ pm. Sa masse molaire est $27,0$ g·mol$^{-1}$ et $N_A = 6,02\times10^{23}$ mol$^{-1}$. a) Calculer le paramètre de maille…
L'aluminium cristallise en CFC avec $r = 143$ pm. Sa masse molaire est $27,0$ g·mol$^{-1}$ et $N_A = 6,02\times10^{23}$ mol$^{-1}$.
- a) Calculer le paramètre de maille $a$.
- b) Calculer la masse volumique de l'aluminium en g·cm$^{-3}$.
- c) Comparer avec la valeur tabulée $2,70$ g·cm$^{-3}$ et commenter.
Cristaux ioniques et polymorphisme
Un minéral est un cristal, et une roche est une association de cristaux (ou de verre) : le quartz, par exemple, est un minéral, et le granite breton est une roche formée de cristaux de quartz, de feldspaths et de micas. À l'inverse, le verre est un solide amorphe : ses atomes ne sont pas rangés de façon périodique, il n'a donc pas de maille.
Dans un cristal ionique comme le chlorure de sodium (le sel de cuisine), il y a deux sortes de sphères : les anions $\text{Cl}^-$, gros, et les cations $\text{Na}^+$, plus petits, qui se logent dans les creux (« sites octaédriques ») laissés par les anions. Le principe de calcul reste le même.
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On compte séparément chaque espèce d'ions par maille, puis on vérifie la neutralité électrique.
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Les ions de signes opposés se touchent : la tangence donne une relation entre $a$, $r_+$ et $r_-$.
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Le volume des ions est la somme des volumes des deux espèces.
Le chlorure de sodium est décrit par un réseau CFC d'ions chlorure $Cl^-$ ($r_- = 181$ pm), avec les ions sodium $Na^+$ ($r_+ = 102$ pm) dans les sites octaédriques : au…
Le chlorure de sodium est décrit par un réseau CFC d'ions chlorure $Cl^-$ ($r_- = 181$ pm), avec les ions sodium $Na^+$ ($r_+ = 102$ pm) dans les sites octaédriques : au centre de la maille et au milieu de chaque arête. Les ions $Na^+$ et $Cl^-$ sont tangents le long d'une arête.
- a) Compter le nombre d'ions $Cl^-$ et $Na^+$ par maille et vérifier la neutralité.
- b) Exprimer $a$ en fonction de $r_+$ et $r_-$ et le calculer.
- c) Calculer la compacité.
Le carbone existe sous forme de graphite ($\rho = 2,26$ g·cm$^{-3}$) et de diamant ($\rho = 3,52$ g·cm$^{-3}$). La maille du diamant est cubique de paramètre $a = 357$…
Le carbone existe sous forme de graphite ($\rho = 2,26$ g·cm$^{-3}$) et de diamant ($\rho = 3,52$ g·cm$^{-3}$). La maille du diamant est cubique de paramètre $a = 357$ pm et contient 8 atomes de carbone ($M = 12,0$ g·mol$^{-1}$, $N_A = 6,02\times10^{23}$ mol$^{-1}$).
- a) Retrouver par le calcul la masse volumique du diamant.
- b) Les atomes de carbone du diamant sont tangents le long du quart de la grande diagonale : $2r = \dfrac{a\sqrt{3}}{4}$. Calculer $r$ puis la compacité.
- c) Expliquer pourquoi le diamant est plus dense que le graphite et relier cette différence à la pression de formation du diamant dans le manteau terrestre.
Retour au début : l'empilement des oranges du primeur correspond à la maille CFC, dont la compacité est $\dfrac{\pi\sqrt2}{6} \approx 0{,}74$. Environ 74 % du volume est occupé par la matière, et les 26 % restants sont du vide.
L'essentiel
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La maille élémentaire est le plus petit motif qui, répété, reconstruit le cristal ; pour une maille cubique, $V_{maille} = a^3$.
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Pour compter les atomes par maille : sommet $\dfrac18$, arête $\dfrac14$, face $\dfrac12$, intérieur $1$. On trouve $N = 1$ (CS), $2$ (CC), $4$ (CFC).
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La tangence des atomes (arête pour CS, grande diagonale pour CC, diagonale de face pour CFC) relie $r$ à $a$.
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Compacité $C = \dfrac{N \times \frac43\pi r^3}{a^3}$ : $0{,}52$ (CS), $0{,}68$ (CC), $0{,}74$ (CFC).
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Masse volumique : $\rho = \dfrac{N\,M}{N_A\,a^3}$, avec $a$ en cm si $M$ est en $\text{g·mol}^{-1}$ ($1\ \text{pm} = 10^{-10}\ \text{cm}$).
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Pour un cristal ionique, on compte chaque ion séparément, on vérifie la neutralité et on écrit la tangence entre ions de signes opposés.