Échantillonnage et quantification

Un signal sonore est échantillonné à la fréquence $f_e = 44,1$ kHz.

1. a) Calculer la période d'échantillonnage $T_e$, en microsecondes.
2. b) Calculer le nombre d'échantillons enregistrés en une seconde.
3. c) Calculer le nombre d'échantillons pour une durée de 3 min.

Un convertisseur analogique-numérique code chaque échantillon sur $n$ bits.

1. a) Calculer le nombre de valeurs différentes possibles pour $n = 8$, puis $n = 16$.
2. b) Indiquer l'effet d'une augmentation du nombre de bits sur la qualité du signal numérisé.

Un convertisseur code des tensions comprises entre $-5,0$ V et $+5,0$ V sur 10 bits.

1. a) Calculer le nombre de niveaux de quantification.
2. b) Calculer le pas de quantification $q$ en millivolts (on prendra $q = \dfrac{\text{plage}}{2^{n}}$).
3. c) Donner la valeur numérique (le code, de 0 à $2^{10}-1$) la plus proche d'une tension de $+1,25$ V.

On numérise un signal de tension dont l'amplitude maximale est 2,0 V, sur une plage de $\pm 2,5$ V avec un convertisseur de $n$ bits. L'erreur de quantification maximale est $q/2$ où $q$ est le pas.

1. a) Exprimer $q$ en fonction de $n$.
2. b) Calculer le nombre minimal de bits pour que l'erreur maximale soit inférieure à 1,0 mV.
3. c) Calculer l'erreur relative maximale sur l'amplitude de 2,0 V pour ce nombre de bits.
4. d) Calculer l'erreur relative pour un signal très faible d'amplitude 10 mV et conclure sur l'intérêt de bien utiliser la plage du convertisseur.

Le domaine audible humain s'étend d'environ 20 Hz à 20 kHz. Selon le critère de Nyquist-Shannon, la fréquence d'échantillonnage doit être supérieure au double de la fréquence maximale du signal.

1. a) Calculer la fréquence d'échantillonnage minimale pour numériser tout le domaine audible.
2. b) Le CD utilise 44,1 kHz : cette valeur respecte-t-elle ce critère ?

Un signal sinusoïdal de fréquence 3,0 kHz est échantillonné à 4,0 kHz puis à 20 kHz.

1. a) Calculer le nombre d'échantillons par période dans chaque cas.
2. b) Dire dans quel cas le critère de Nyquist-Shannon est respecté.
3. c) Dans l'autre cas, calculer la fréquence apparente du signal reconstruit ($f_e - f$) et nommer ce phénomène (repliement de spectre).

Un son de fréquence $f = 15$ kHz est numérisé avec un échantillonnage de $f_e = 22$ kHz.

1. a) Le critère de Nyquist-Shannon est-il respecté ? Justifier.
2. b) Calculer la fréquence apparente du signal restitué.
3. c) Proposer, en justifiant par un calcul, une fréquence d'échantillonnage et un filtre antirepliement permettant de numériser correctement tout son jusqu'à 15 kHz.
4. d) Un technicien affirme qu'augmenter indéfiniment le nombre de bits compense une mauvaise fréquence d'échantillonnage. Réfuter cette affirmation.

Un enregistrement stéréo (2 voies) de 4 min est numérisé à 44,1 kHz, avec 16 bits par échantillon.

1. a) Calculer le nombre de bits par seconde.
2. b) Calculer la taille du fichier, en mégaoctets (1 octet $= 8$ bits ; 1 Mo $= 10^6$ octets).
3. c) Calculer la taille obtenue si on passe à 24 bits et 96 kHz.

Une radio numérique diffuse un son stéréo, échantillonné à 48 kHz sur 16 bits par voie, qui est ensuite compressé pour un débit de 128 kbit·s$^{-1}$.

1. a) Calculer le débit non compressé en kbit·s$^{-1}$.
2. b) Calculer le taux de compression (rapport des débits).
3. c) Calculer le volume de données diffusé en une heure de programme, en Mo, avec et sans compression (1 octet = 8 bits ; 1 Mo = $10^6$ octets).
4. d) Expliquer pourquoi une compression « avec perte » (MP3) est possible sur un son (limites de l'audition).