Exercices: Loi de Wien et puissance du rayonnement solaire

La loi de Wien relie la longueur d'onde $\lambda_{max}$ du maximum d'émission d'un corps noir à sa température absolue $T$ : $\lambda_{max} \times T = 2,90 \times 10^{-3}$ m·K.

1. a) Calculer $\lambda_{max}$ pour la surface du Soleil, de température $T = 5 800$ K.
2. b) Exprimer le résultat en nanomètres et indiquer dans quel domaine du spectre il se situe.

Une étoile a une température de surface $T = 3 500$ K. On rappelle que $\lambda_{max} \times T = 2,90 \times 10^{-3}$ m·K.

1. a) Calculer la longueur d'onde $\lambda_{max}$ du maximum d'émission de cette étoile, en nanomètres.
2. b) Cette étoile est-elle plus chaude ou plus froide que le Soleil ($T = 5 800$ K) ? Justifier à l'aide de la loi de Wien.

Le flux solaire reçu par une surface perpendiculaire aux rayons, au sommet de l'atmosphère terrestre, vaut $S_0 = 1 361$ W·m$^{-2}$.

1. a) Calculer la puissance reçue par un panneau de 2,0 m$^2$ placé perpendiculairement aux rayons, à ce niveau.
2. b) Calculer l'énergie reçue en 1 h, en joules puis en kilowattheures.

Le filament d'une ampoule à incandescence, assimilé à un corps noir, émet avec un maximum à $\lambda_{max} = 1,0\ \mu$m. On donne $\lambda_{max} \times T = 2,90 \times 10^{-3}$ m·K.

1. a) Calculer la température du filament, en kelvins puis en degrés Celsius.
2. b) Le maximum d'émission est-il dans le domaine visible ? Que peut-on en déduire sur le rendement lumineux de l'ampoule ?

Le rayon de la Terre est $R_T = 6 371$ km et le flux solaire au sommet de l'atmosphère, perpendiculaire aux rayons, est $S_0 = 1 361$ W·m$^{-2}$.

1. a) Exprimer la surface $\pi R_T^2$ du disque que la Terre présente au rayonnement solaire, en m$^2$.
2. b) Calculer la puissance solaire totale interceptée par la Terre.
3. c) Calculer la puissance moyenne reçue par mètre carré de la surface terrestre sphérique, sachant que sa surface est $4\pi R_T^2$. Comparer à $S_0$ et expliquer le facteur obtenu.

Une centrale photovoltaïque près de Perpignan occupe 12 000 m$^2$ de panneaux. L'éclairement moyen reçu sur les panneaux est de 220 W·m$^{-2}$ sur l'année et le rendement de conversion est de 18 %.

1. a) Calculer la puissance électrique moyenne fournie.
2. b) Calculer l'énergie électrique produite en un an, en MWh (une année compte 8 760 h).
3. c) Un foyer français consomme en moyenne 4 700 kWh par an. Estimer le nombre de foyers alimentés.

La Terre, de rayon $R_T$, reçoit du Soleil un flux $S_0 = 1 361$ W·m$^{-2}$ et son albédo moyen est $A = 0,30$. On suppose le système en équilibre radiatif et la Terre rayonnant comme un corps noir, de loi $P = \sigma T^4 \times$ surface, avec $\sigma = 5,67 \times 10^{-8}$ W·m$^{-2}$·K$^{-4}$.

1. a) Montrer que la puissance absorbée vaut $(1-A)\,S_0\,\pi R_T^2$.
2. b) Établir que la température d'équilibre vérifie $\sigma T^4 = \dfrac{(1-A)S_0}{4}$.
3. c) Calculer $T$ en kelvins puis en degrés Celsius.
4. d) La température moyenne observée est d'environ 15 °C. Interpréter l'écart par l'effet de serre.

Le Soleil a une température de surface $T_S = 5 800$ K et un rayon $R_S = 6,96 \times 10^{8}$ m. Il rayonne comme un corps noir ($\sigma = 5,67 \times 10^{-8}$ W·m$^{-2}$·K$^{-4}$). La distance Terre-Soleil est $d = 1,50 \times 10^{11}$ m.

1. a) Calculer la puissance totale émise par le Soleil.
2. b) En déduire le flux reçu à la distance $d$ sur une surface perpendiculaire aux rayons.
3. c) Comparer à la valeur mesurée $1 361$ W·m$^{-2}$ et commenter.
4. d) Calculer la longueur d'onde du maximum d'émission avec $\lambda_{max} T = 2,90\times10^{-3}$ m·K.

Une planète sans atmosphère, de rayon $R$, est à l'équilibre radiatif. Elle reçoit un flux $S$ et son albédo est $A$.

1. a) Exprimer sa température d'équilibre $T_e$ en fonction de $S$, $A$ et $\sigma$.
2. b) Calculer $T_e$ pour $S = 1 361$ W·m$^{-2}$ et $A = 0,30$, puis pour $A = 0,60$ (par exemple après une forte éruption volcanique ou un englacement).
3. c) Expliquer pourquoi un accroissement de l'albédo dû à l'extension des glaces peut amplifier un refroidissement.