Méthode d'Ératosthène

Le principe : un angle qui se retrouve au centre de la Terre

Ératosthène sait qu'à midi, au solstice d'été, le Soleil éclaire le fond d'un puits à Syène : il est au zénith, ses rayons sont verticaux. Le même jour, à Alexandrie, située plus au nord sur le même méridien, un bâton vertical projette une ombre : les rayons font un angle $\alpha$ avec la verticale.

Deux hypothèses permettent de conclure :

• la Terre est sphérique ;

• le Soleil est si loin que ses rayons arrivant sur la Terre sont parallèles.

Les deux rayons sont parallèles. Le prolongement de la verticale d'Alexandrie (qui passe par le centre de la Terre) est une sécante : l'angle $\alpha$ entre le rayon et la verticale d'Alexandrie est donc égal à l'angle $\widehat{SOA}$ entre les deux rayons terrestres, où $O$ est le centre de la Terre. Si on trace par Syène la parallèle au rayon solaire d'Alexandrie, on obtient des angles alternes-internes, égaux : tu connais cette propriété depuis le collège.

De l'angle à la circonférence : la proportionnalité

Sur un cercle, la longueur d'un arc est proportionnelle à l'angle au centre qui l'intercepte. Le tour complet correspond à $360^\circ$ et à la circonférence $C$. Si la distance $d$ entre les deux villes (mesurée le long du méridien) correspond à l'angle $\alpha$ :

Pourquoi cette formule ? Si l'angle est deux fois plus petit, l'arc est deux fois plus court : c'est une situation de proportionnalité, comme un prix proportionnel à une masse.

Mesurer l'angle : ombres et latitudes

Ératosthène mesurait l'ombre d'un bâton. Tu peux faire pareil : on plante un bâton (un gnomon) bien vertical, de hauteur $h$, et on mesure la longueur $\ell$ de son ombre. Le bâton, l'ombre et le rayon solaire forment un triangle rectangle dont l'angle $\alpha$ est l'angle entre le rayon et la verticale.

Dans ce triangle rectangle, le côté opposé à $\alpha$ est l'ombre $\ell$ et le côté adjacent est le bâton $h$ :

On obtient $\alpha$ avec la touche $\tan^{-1}$ de la calculatrice (mode degrés !).

Autre méthode : les latitudes. Si les deux lieux sont sur le même méridien, l'angle au centre est tout simplement la différence de leurs latitudes (du même hémisphère). On n'a même plus besoin d'un bâton.

Précision, hypothèses et limites

Le résultat d'Ératosthène est remarquable, mais pas parfait. Toute mesure comporte une incertitude, que l'on exprime souvent en valeur relative.

Pour comparer un résultat à une valeur de référence, on calcule l'écart relatif :

Pourquoi les rayons peuvent-ils être considérés comme parallèles ? Vu du Soleil, situé à $d = 1,5 \times 10^{8}$ km, le diamètre de la Terre ($12\,742$ km) est très petit. L'angle sous lequel on le voit, en radians, est environ $\dfrac{12\,742}{1,5 \times 10^{8}} \approx 8,5 \times 10^{-5}$ rad, soit environ $0,005^\circ$ (on multiplie par $\dfrac{180}{\pi}$ pour passer en degrés ; cette conversion n'est pas exigible, retiens seulement que l'angle est minuscule). C'est négligeable devant $7,2^\circ$ : l'hypothèse est excellente.

Autres sources d'erreur : villes pas exactement sur le même méridien, distance estimée (à l'époque, en comptant les pas de caravanes ou de bématistes), mesure d'angle peu précise, Terre non parfaitement sphérique (légèrement aplatie aux pôles).

Cette mesure s'inscrit dans l'étude de la Terre, un astre singulier (thème 3) : sa forme sphérique et son rayon $R \approx 6\,371$ km en découlent.

Pour revenir à la question du début : un angle (mesuré par une ombre ou par des latitudes) et une distance entre deux lieux suffisent à calculer la circonférence de la Terre, à condition que la Terre soit sphérique et que les rayons du Soleil soient parallèles.

Du stade aux kilomètres, puis au rayon

À l'époque d'Ératosthène, les distances se donnent en stades. La valeur du stade varie selon les sources : on retient souvent $1$ stade $\approx 157,5$ m. Cette incertitude sur l'unité explique en partie l'écart avec la valeur actuelle.

L'essentiel

• Deux lieux d'un même méridien, éclairés par des rayons solaires parallèles : l'angle entre le rayon et la verticale est égal à l'angle au centre $\alpha$.

• L'arc est proportionnel à l'angle : $\dfrac{d}{C} = \dfrac{\alpha}{360}$, donc $C = d \times \dfrac{360}{\alpha}$ et $R = \dfrac{C}{2\pi}$.

• On obtient $\alpha$ avec un bâton, $\tan\alpha = \dfrac{\ell}{h}$, ou avec la différence de latitudes (même méridien, mesures simultanées).

• Repère : $1^\circ$ de latitude $\approx 111$ km ; $C \approx 40\,000$ km ; $R \approx 6\,371$ km.

• Une erreur relative sur $d$ se retrouve à l'identique sur $C$ ; on évalue la précision par l'incertitude relative et l'écart relatif.