Exercices: Méthode d'Ératosthène

Ératosthène a observé qu'à midi, au solstice d'été, le Soleil est au zénith à Syène alors qu'à Alexandrie les rayons font un angle $\alpha = 7,2^\circ$ avec la verticale.

1. a) Expliquer pourquoi cet angle est égal à l'angle au centre de la Terre entre les deux villes.
2. b) Quelle fraction de la circonférence terrestre représente la distance entre les deux villes ?

La distance entre Syène et Alexandrie est de 5 000 stades, et l'angle entre les verticales des deux villes est de $7,2^\circ$.

1. a) Calculer la circonférence terrestre en stades.
2. b) Sachant que 1 stade vaut environ 157,5 m, convertir en kilomètres.

La circonférence de la Terre est $C = 40 000$ km.

1. a) Calculer le rayon terrestre $R = \dfrac{C}{2\pi}$.
2. b) Calculer la longueur d'arc correspondant à $1^\circ$ de latitude.

Au même instant, on mesure l'ombre d'un bâton vertical de 1,00 m : à Lille, l'ombre mesure 1,40 m ; à un lieu situé plus au sud, sur le même méridien, elle mesure 1,18 m. Les deux lieux sont distants de 540 km.

1. a) Calculer l'angle des rayons solaires avec la verticale dans chaque lieu.
2. b) En déduire l'angle au centre entre les deux lieux.
3. c) Estimer la circonférence puis le rayon de la Terre.

Deux villes, Strasbourg et Perpignan, sont à peu près sur le même méridien. Leurs latitudes sont respectivement 48,6° N et 42,7° N.

1. a) Calculer l'angle au centre entre les deux villes.
2. b) La distance mesurée le long du méridien est de 656 km. Calculer le rayon terrestre.
3. c) Comparer à $6 371$ km (écart relatif en %).

Dans la méthode d'Ératosthène, une erreur de mesure intervient. L'angle vaut $7,2^\circ$ avec une incertitude de $\pm 0,2^\circ$ et la distance vaut 800 km.

1. a) Calculer la circonférence pour $7,2^\circ$.
2. b) Calculer les valeurs extrêmes de la circonférence obtenues avec $7,0^\circ$ et $7,4^\circ$.
3. c) En déduire l'incertitude relative sur le résultat.

Le Soleil est à une distance $d = 1,5\times10^{8}$ km de la Terre. On souhaite justifier l'hypothèse des rayons parallèles utilisée par Ératosthène.

1. a) Calculer l'angle sous lequel on voit le diamètre terrestre ($12 742$ km) depuis le Soleil, en degrés.
2. b) En déduire l'erreur maximale commise sur l'angle de $7,2^\circ$ en supposant les rayons parallèles, puis conclure.
3. c) Expliquer pourquoi la même méthode, appliquée à la Lune éclairée, ne serait pas valable pour mesurer la circonférence terrestre.

On considère que la Terre est sphérique. Un observateur à Brest (latitude 48,4° N) et un observateur à Bordeaux (latitude 44,8° N) mesurent le même jour, chacun à son midi solaire local, la hauteur du Soleil. Brest et Bordeaux sont distantes d'environ 400 km sur le méridien (approximation).

1. a) Quel est l'écart de hauteur du Soleil attendu entre les deux lieux ?
2. b) Déterminer le rayon terrestre qu'on déduit de la distance de 400 km.
3. c) Montrer que si la distance mesurée est surestimée de 5 %, le rayon l'est aussi de 5 %. Calculer alors le rayon obtenu.

Ératosthène a trouvé, selon les interprétations, une circonférence comprise entre 39 400 km et 46 000 km. La valeur actuelle est $40 075$ km.

1. a) Calculer l'écart relatif pour chaque borne.
2. b) Discuter les principales sources d'erreur de sa méthode (non-alignement des villes sur le méridien, mesure de distance, mesure d'angle, hypothèse de sphéricité).
3. c) Calculer l'erreur en kilomètres sur la distance Syène-Alexandrie (valeur supposée de 800 km) qui correspond à 5 % d'erreur sur la circonférence.