Exercices: Gammes, intervalles et harmoniques

Le la$_3$ du diapason a une fréquence de 440 Hz.

1. a) Calculer la fréquence du la$_4$, situé une octave au-dessus.
2. b) Calculer la fréquence du la$_2$, situé une octave au-dessous.
3. c) Donner le rapport de fréquences d'une octave.

Une quinte juste correspond à un rapport de fréquences de $\dfrac{3}{2}$. Une note a pour fréquence 264 Hz.

1. a) Calculer la fréquence de la note située une quinte juste au-dessus.
2. b) Calculer la fréquence de la note située une quinte juste au-dessous.

Un instrument émet un son de fréquence fondamentale $f_1 = 220$ Hz.

1. a) Définir les harmoniques d'un son.
2. b) Calculer les fréquences des harmoniques de rang 2, 3 et 4.

Dans la gamme tempérée, l'octave est divisée en 12 demi-tons de rapport de fréquences identique $r$.

1. a) Montrer que $r = 2^{1/12}$ et calculer sa valeur.
2. b) Calculer la fréquence de la note située 7 demi-tons au-dessus du la$_3$ (440 Hz).
3. c) Comparer à la quinte juste $\dfrac{3}{2}$ : calculer le rapport $2^{7/12}$ et l'écart relatif.

Deux diapasons émettent des sons purs de fréquences $f_1 = 440$ Hz et $f_2 = 444$ Hz. On les fait sonner simultanément.

1. a) Calculer la fréquence des battements.
2. b) Calculer la période des battements.
3. c) Expliquer comment un accordeur utilise ce phénomène pour accorder un instrument.

Une corde de guitare de longueur $L = 0,65$ m vibre en mode fondamental. Les ondes se propagent sur la corde à la célérité $v = 260$ m·s$^{-1}$. On rappelle que $f_n = n\dfrac{v}{2L}$.

1. a) Calculer la fréquence fondamentale.
2. b) Calculer la fréquence de l'harmonique de rang 3.
3. c) Calculer la longueur de la corde à vibrer pour obtenir une fréquence double, à célérité constante, et expliquer le geste du guitariste.

Dans la gamme de Pythagore, on construit les notes par quintes successives de rapport $\dfrac{3}{2}$, en ramenant dans l'octave par division par 2 si nécessaire. Partant de do à 264 Hz :

1. a) Calculer les fréquences des notes obtenues après 1, 2, 3 quintes ascendantes, en les ramenant dans l'octave $[264;528[$ Hz.
2. b) Montrer que le rapport des fréquences entre la note obtenue après 12 quintes, ramenée dans l'octave, et le do vaut $\dfrac{3^{12}}{2^{19}}$.
3. c) Calculer l'écart avec 1 (le « comma pythagoricien ») et expliquer pourquoi la gamme ne « boucle » pas.

Le spectre d'un son de clarinette contient des raies aux fréquences 147 Hz, 441 Hz, 735 Hz et 1 029 Hz, d'amplitudes décroissantes.

1. a) Identifier la fréquence fondamentale et justifier que le son est périodique.
2. b) Pourquoi cette clarinette ne présente-t-elle que des harmoniques de rang impair ?
3. c) Calculer la période du son et le rapport entre la fréquence de la raie la plus aiguë et le fondamental.
4. d) Expliquer pourquoi deux instruments jouant la même note ont des timbres différents.

Un orgue possède un tuyau ouvert de longueur $L$ qui émet un fondamental $f_1 = \dfrac{v}{2L}$, avec $v = 340$ m·s$^{-1}$ dans l'air.

1. a) Calculer la longueur du tuyau pour émettre le do$_2$ de fréquence 65,4 Hz.
2. b) Calculer les fréquences des trois premiers harmoniques.
3. c) Un tuyau fermé a pour fréquences $f_n = (2n-1)\dfrac{v}{4L}$. Calculer sa longueur pour émettre la même fréquence fondamentale et comparer.
4. d) Un deuxième tuyau émet 66,0 Hz. Calculer la fréquence des battements entre les deux fondamentaux.