Exercices: Maille et compacité

Une maille cubique simple contient un atome à chacun de ses 8 sommets, chaque atome étant partagé entre 8 mailles.

1. a) Calculer le nombre d'atomes par maille.
2. b) Les atomes sont tangents le long d'une arête de longueur $a$ : exprimer le rayon $r$ en fonction de $a$.

On définit la compacité d'un cristal par $C = \dfrac{N \times \frac{4}{3}\pi r^3}{V_{maille}}$, où $N$ est le nombre d'atomes par maille.

Pour la maille cubique simple, $N = 1$, $r = \dfrac{a}{2}$ et $V_{maille} = a^3$.

1. a) Calculer $C$.
2. b) Exprimer le résultat en pourcentage.

Une maille cubique à faces centrées (CFC) a un atome à chaque sommet (partagé entre 8 mailles) et un atome au centre de chaque face (partagé entre 2 mailles).

1. a) Calculer le nombre d'atomes par maille.
2. b) Une maille cubique centrée contient 8 sommets et un atome au centre : calculer le nombre d'atomes par maille.

Dans la maille CFC, les atomes sont tangents le long de la diagonale d'une face, de longueur $a\sqrt{2}$.

1. a) Montrer que $4r = a\sqrt{2}$.
2. b) Exprimer le volume des atomes dans la maille en fonction de $a$.
3. c) Calculer la compacité.

Le cuivre cristallise en CFC avec un paramètre de maille $a = 361$ pm. Sa masse molaire est $M = 63,5$ g·mol$^{-1}$ et $N_A = 6,02\times10^{23}$ mol$^{-1}$.

1. a) Calculer la masse d'une maille.
2. b) Calculer le volume de la maille en cm$^3$.
3. c) En déduire la masse volumique du cuivre en g·cm$^{-3}$.

Le fer à température ambiante cristallise en cubique centré, avec des atomes tangents le long de la grande diagonale du cube, de longueur $a\sqrt{3}$.

1. a) Montrer que $r = \dfrac{a\sqrt{3}}{4}$.
2. b) Calculer la compacité.
3. c) Comparer à celle de la maille CFC ($0,74$) et conclure.

L'aluminium cristallise en CFC avec $r = 143$ pm. Sa masse molaire est $27,0$ g·mol$^{-1}$ et $N_A = 6,02\times10^{23}$ mol$^{-1}$.

1. a) Calculer le paramètre de maille $a$.
2. b) Calculer la masse volumique de l'aluminium en g·cm$^{-3}$.
3. c) Comparer avec la valeur tabulée $2,70$ g·cm$^{-3}$ et commenter.

Le chlorure de sodium est décrit par un réseau CFC d'ions chlorure $Cl^-$ ($r_- = 181$ pm), avec les ions sodium $Na^+$ ($r_+ = 102$ pm) dans les sites octaédriques : au centre de la maille et au milieu de chaque arête. Les ions $Na^+$ et $Cl^-$ sont tangents le long d'une arête.

1. a) Compter le nombre d'ions $Cl^-$ et $Na^+$ par maille et vérifier la neutralité.
2. b) Exprimer $a$ en fonction de $r_+$ et $r_-$ et le calculer.
3. c) Calculer la compacité.

Le carbone existe sous forme de graphite ($\rho = 2,26$ g·cm$^{-3}$) et de diamant ($\rho = 3,52$ g·cm$^{-3}$). La maille du diamant est cubique de paramètre $a = 357$ pm et contient 8 atomes de carbone ($M = 12,0$ g·mol$^{-1}$, $N_A = 6,02\times10^{23}$ mol$^{-1}$).

1. a) Retrouver par le calcul la masse volumique du diamant.
2. b) Les atomes de carbone du diamant sont tangents le long du quart de la grande diagonale : $2r = \dfrac{a\sqrt{3}}{4}$. Calculer $r$ puis la compacité.
3. c) Expliquer pourquoi le diamant est plus dense que le graphite et relier cette différence à la pression de formation du diamant dans le manteau terrestre.